Sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ quay giải bài toán dao động điều hòa

Trường ĐHSPTN- Khoa Vật lý
Bài tập chuyên đề: Sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ quay giải bài toán dao động điều hòa
Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Quang Linh
Nhóm sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Miền 
 Nguyễn Thị Tân
 Nguyễn Thị Hà My
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2010
Mục lục:
Nội dung Trang
Phấn A: Kiến thức cơ bản. 1
Phần B: Phân loại bài tập. 2
 I. Các dạng bài tập cơ bản. 
II. Phương pháp giải và một số bài tập minh họa.
Phần C: Bài tập. Bài toán tổng hợp. 13
Phần A: Kiến thức cơ bản:
Cho một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương 0x có phương trình: x = A cos(ωt+) (1.1)
Có một hệ trục tọa độ như hình vẽ: 
O2
P1

+
X
- Để biểu diễn dao động điều hòa (1.1) người ta dùng một véc tơ có độ dài là A(biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục 0x với tốc độ góc là ω. 
- Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục 0x và là  (pha ban đầu).
- Ở thời điểm t, góc giữa trục 0x và là ωt + , góc đó là pha dao động.
- Độ dài đại số của hình chiếu vec tơ quay trên trục 0x sẽ là:
	 = A cos(ωt+).
Đó chính là biểu thức trong vế phải của (1.1) và là li độ x của dao động.
Phần B: Phân loại bài tập.
I. Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định thời gian vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2.
Dạng 2: Xác định vị trí tại thời điểm t bất kỳ. 
Dạng 3: Xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian ∆t.
Dạng 4: Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t.
Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước.
Dạng 6: Xác định số lần vật đi qua một vị trí bất kỳ trong khoảng thời gian ∆t.
 II. Phương pháp giải và một số bài tập minh họa:
Dạng 1: Xác định thời gian vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2:
X2
X1
. Phương pháp giải:
 Cho phương trình dao động vật có dạng: x = A cos(ωt+) (cm)
M
N
 Bước 1: Xác định vị trí x1 trên đường tròn và
 chiều chuyển động của vật(v1>0, v1<0). 
 Bước 2: Xác định vị trí x2 trên đường tròn.
 Bước 3: Biểu diễn dao động điều hòa 
 trên đường tròn.
 - Vật đi từ vị trí x1 đến x2 tương ứng với một 
 chuyển động tròn đều đi từ M → N với vận tốc góc 
 ω, bán kính là A.
 Bước 4: Xác định góc = .
 - Thời gian vật đi từ vị trí x1 → x2 là : ∆t = .
1.2. Bài tập ví dụ : 
Bài 1: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình : 
 x = 5cos(5πt +π/2) (cm).
Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = 2,5cm theo chiều dương.
Giải:
 Tại vị trí cân bằng có : x1=0 và v1>0, ứng với điểm J trên đường tròn.
-5
5
M
φ
O
N
H
2,5
Tại vị trí x2=2,5 cm ứng với điểm N trên đường tròn.
Biểu diễn dao động điều hòa trên đường tròn.
+Vật đi từ vị trí x1=0 đến vị trí x2=2,5 cm tương ứng với 
2,5
một chuyển động tròn đều đi từ vị trí J → N với 
vận tốc góc ω, bán kính A.
+Xác định góc = ; sin= ==
Vậy thời gian vật đi từ vị trí x1→ x2 là: ∆t = 
Bài 2: Cho một con lắc lò xo có m= 200g, k=80N/m, 
ấn xuống lò xo bị nén 6,5cm rồi cung cấp cho vật 
vận tốc v=60cm/s hướng lên, vật dao động điều hòa, chọn chiều 
dương hướng xuống dưới, lấy g=10m/s2.
1. Viết phương trình dao động của vật.
 2. Tìm khoảng thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ dao động.
Giải: 
1. Viết phương trình dao động của vật:
Tại vị trí cân bằng, ta có: P = Fđh
 ↔ mg = k.∆l
 ↔ ∆l = 
 →ω = = 20 rad/s
Khi ấn xuống lò xo bị nén 6,5cm → khi đó vật ở li độ : x = l - ∆l = 6,5 - 2,5 = 4cm, được cung cấp vận tốc v = 60cm/s.
Biên độ của dao động: A = = 5cm
Phương trình dao động có dạng: x = Asin (ωt+) cm
Tại thời điểm t = 0 vật ở vị trí thấp nhất:
M1
-A
O
M2
A
+
Vậy phương trình dao động của vật: x = 5sin(20t+ π/2) cm.
2. Khoảng thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ :
Ta có :  = t.ω → t = 
Khoảng thời gian vật bị nén trong một chu kỳ chính là 
khoảng thời gian từ lúc vật đi từ li độ x = -2,5cm đến +5cm
 theo chiều dương
Vậy thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ là :t = π/15(s)	
1.3. Bài tập vận dụng :
Bài 3: Cho con lắc lò xo có m = 250g, k = 100N/m. Tại thời điểm ban đầu kéo vật cho lò xo giãn 7,5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục tọa độ theo chiều dương hướng lên, gốc thời gian là lúc thả vật.
1. Viết phương trình dao động của vật.
2. Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí buông tay tới vị trí không giãn và không nén.
3. Tìm khoảng thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ.
 Đáp số :1. x = 5sin(20t - π/2) cm.
 2. Vị trí lò xo không giãn và không nén(∆l0 = 0) :∆t = π/30(s).
 3. Chính bằng 2 lần thời gian vật đi từ x1 = 2,5cm đến x2 = 5cm :
 ∆t = π/30(s) . 
Bài 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình :
 x = 2sin(10t+π/4) cm
Xác định thời điểm đầu tiên vật ở vị trí có li độ x = -2cm. Vật ở vị trí đó tại các thời điểm nào.
Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có x1 = -2cm đến vị trí 
 x2 = 2cm.
Đáp số : 1. ∆t = (s). 
 Vật ở vị trí x = -2tại các thời điểm :
 ∆t + nT = (s).
 2. ∆t = π/20(s).
2. Dạng 2 : Xác định vị trí của vật sau khoảng thời gian ∆t.
2.1. Phương pháp giải: 
Bước 1 : Xác định vị trí x1 của vật tại thời điểm t1 trên đường tròn và chiều chuyển động của vật(v>0, v<0).
Bước 2 : Xác định góc quay của vật sau khoảng thời gian ∆t :  = ω.∆t
Bước 3 : Xác định vị trí x2 của vật tại thời điểm t2 trên đường tròn.
2.2. Bài tập ví dụ :
Bài 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình : x = 8cos(4πt + π) cm
Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động, chiều dương hướng lên. Xác định vị trí của vật tại thời điểm 1/6(s) kể từ lúc vật bắt đầu dao động.
Giải : 
8
x1
-8
O
N
P

+ Tại t =0: x1= -8cm, v > 0 →vật chuyển động theo chiều dương.
+ 
+ OP = ON. cos = ON. cos (π - )
 = 8. cos = 4cm.
 Vậy vị trí của vật tại thời điểm 1/6(s) 
kể từ lúc vật bắt đầu dao động là 4cm.
Bài 2: Cho một vật dao động điều hòa theo phương trình:
 x = 6cos(2πt +π/2) (cm)
Tìm vị trí của vật kể từ x=3(cm) sau thời gian t bất kỳ, ngay sau đó 7/12 (s).
∆
+
M1
N
M
3
-3
φ
O
Giải: 
Tại t = 7/12(s) ta có góc 
 Chia làm hai trường hợp :
- Nếu vật đi theo chiều dương : 
Góc quay φ =, như hình bên.
 Vậy vị trí của vật là: x = -3(cm).
- Nếu vật đi theo chiều âm, ta có  = , tương tự ta 
tìm được vị trí của vật là : x = 0.
. Bài tập vận dụng :
Bài 3: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k, và một vật có m = 100g. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 25cm. Người ta kích thích cho vật dao động điều hòa dọc theo trục lò xo. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên, phương trình dao động của vật là: 
x = 8cos()cm. Nếu tại thời điểm t1 vật có li độ là 4cm và đang đi xuống thì tại thời điểm 1/3s tiếp theo li độ của vật là ?
 Đáp số: x = - 8cm.
 Bài 4: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình . Vào một thời điểm nào đó vật có ly độ là 5cm thì ly độ vào thời điểm 1/8s ngay sau đó là bao nhiêu ?
Đáp số: x = 17,2cm hoặc -10,2cm
3. Dạng 3: Xác định quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian ∆t.
3.1. Phương pháp giải: 
 Bước 1: Tính: ∆t = t2 – t1= n.T + t0, suy ra : S= 4n.A+ S0
 Bước 2: Tính S0 : trường hợp đặc biệt:
Nếu t0= T/4→ S0 = A.
Nếu t0= T/2→ S0 = 2A.
Nếu t0= 3T/4→ S0 = 3A.
Trường hợp khác: trước tiên xét vị trí x1 tại thời điểm t1 trên đường tròn và chiều chuyển động của vật (v>0, v<0). Sau đó xác định góc quay của vật trong khoảng thời gian t0: =ω.t0, xác định vị trí x2 của vật trên đường tròn. Từ giản đồ véc tơ suy ra quãng đường S0.
3.2. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x = 10sin(10t – π/2)cm. Tính quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian kể từ lúc vật bắt đầu dao động.
Giải:
-10
10
x1
x2
O
x
O
Ta có T = 
Tại t = 0: 
Tại t = 
Suy ra → S0 = x2 – 2.x1 = 5 + 2.10 = 25cm.
 → S = 2.4.10 + 25 = 105cm.	
	Bài 2: Cho vật dao động điều hòa có phương trình : x = 8cos(3πt – π/2)cm. Tính quãng đường vật đi được sau 11/18(s) kể từ thời điểm t = 0.
Giải: 
Ta có: Tại t = 0: x = 0 và v < 0 → vật chuyển động theo chiều âm.
8
- 8
M
N
O
 Tại t = (s) :  = ω.t = π + .
Từ giản đồ véc tơ có:  = , chiều dương 
ngược chiều kim đồng hồ, suy ra quãng đường vật đi được:
 S = 3A + 4 = 28 (cm)
Vậy quãng đường vật đi được sau 11/18 (s) 
kể từ t = 0 là S = 28 (cm).
3.3. Bài tập vận dụng:
Bài 3: Một con lắc lò xo dao động với phương trình: x = 4cos4πt(cm). Xác định quãng đường vật đi được trong thời gian 3s kể từ lúc vật bắt đầu dao động.
Đáp số: S = 96cm.
Bài 4: Cho con lắc lò xo treo như hình vẽ, g = 10m/s2; π2 = 10. 
Khi vật ở vị trí cân bằng lò xo giãn 4cm; tại t = 0, x0 = -4cm, 
v0 = (cm/s). Bỏ qua mọi ma sát.
Viết phương trình dao động của vật.
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 
từ t1 = 0,2s đến t2 = 0,6s.
Đáp số: a. x = 8cos()cm.
 b. S = 32cm.
4. Dạng 4 : Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t.
 4.1. Phương pháp giải: Xét hai trường hợp: 
 - Trường hợp 1: nếu tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t thì quy về bài toán tìm quãng đường trong khoảng thời gian đó.
 - Trường hợp 2: nếu tìm vận tốc trung bình trên đoạn đường S thì quy về bài toán tính thời gian chuyển động của vật trên đoạn đường S.
4.2. Bài tập ví dụ: 
Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 2,5cos10πt(cm). Vận tốc trung bình của chuyển động trong 1/8 chu kì kể từ lúc bắt đầu dao động là ?
- 2,5
2,5
M
N
O
P
Giải: 
 Ta có: t = 0 
 → vật đang ở vị trí biên.
Tại t = 	
Từ giản đồ véc tơ ta có: OP =
Suy ra S = PM = OM – OP = 2,5 – 1,76 = 0,74cm.
Vận tốc trung bình của vật là: 	
4.3. Bài tập vận dụng: 
Bài 2: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox, vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là 62,8 cm/s, và gia tốc cực đại của vật là 4m/s2, lấy 
Viết phương trình dao động của vật. Gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian la lúc vật qua vị trí (cm) theo chiều dương
Tìm vận tốc trung bình của vật trên đoạn đường từ lúc vật bắt đầu dao động đến vị trí có li độ cm lần thứ 2 theo chiều dương.
Đáp án: 1.	
	2.
5. Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước.
5.1. Phương pháp giải:
 Bài toán tổng quát: Cho một dao động điều hoà có phương trình:
Xác định những thời điểm vật qua vị trí x = x1? Biện luận các trường hợp có thể xảy ra.
Bước 1: Cần xác định chính xác vị trí của vật ở thời điểm ban đầu trên đường tròn(Vị trí M0).
Bước 2: Xác định vị trí mà vật sẽ đi qua theo bài ra trên đường tròn(vị trí M1 hoặc M2)
Chú ý - vị trí có toạ độ x=x1 tương ứng có 2 vị trí trên đường tròn, vị trí đó khi vật đang đi theo chiều +(M1) và vị trí đó khi vật đang đi theo chiều âm(M2) .
Bước 3: Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều âm ta làm như sau:
Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M0 tới M1 lần đầu tiên từ công thức:
 .
Bước 4: Thời điểm cần tìm là:
 (1).
Bài toán thường gặp: Vật đi qua vị trí x = x1 lần thứ k theo chiều.....
Trong biểu thức(1) lấy n=k-1.
5.2. Bài tập ví dụ:
Cho một dao động điều hoà có phương trình: 
Xác định thời điểm vật qua vị trí x=-3cm lần thứ 4 theo chiều âm.
Giải:
Dựa vào phương trình dao động ta xác định được vị trí ban đầu của vật là vị trí M1 trên đường tròn.
Vị trí vật qua x = -3cm theo chiều âm là vị trí M2 trên đường tròn.
Thời gian vật đi từ M1 đến M2 là(HV):
 (với ; ω = 2π(rad/s)
- Thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ 4 theo chiều âm, suy ra ta có n=3
Thay số ta được: 
5.3. Bài tập áp dụng: 
 Một vật dao động điều hòa có phương trình: .
Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5cm lần thứ 2009 và 2010 theo chiều dương.
Đáp số: t1 =  ; t2 = .
6. Dạng 6: Xác định số lần vật đi qua vị trí cho trước trong khoảng thời gian ∆t.
6.1. Phương pháp giải: 
- A
A
M1
O
M2
x1
x2
x0
Cho một vật dao động điều hòa theo phương trình: . Xác định số lần vật đi qua vị trí x0 trong khoảng thời gian từ t1 đến t2.
- Bước 1: Xác định vị trí của vật tại thời 
 điểm t1 là x1, tại thời điểm t2 là x2 
 và chiều chuyển động của vật(v > 0, v < 0).
- Bước 2: ∆t = t2 – t1 = nT + ∆t0
- Bước 3: Từ hình vẽ ta xác định được 
 trong khoảng thời gian ∆t0 vật 
 chuyển động từ M1 → M2 qua 
 vị trí x0 n0 lần(với n0 = 0,1,2...). 
Suy ra số lần vật đi qua vị trí x0 trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 là: N = 2n + n0. 
6.2. Bài tập ví dụ: 
M
- 3
3
N
O
1
Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: . Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, số lần chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1cm là ?
Giải: 
Ta có: 
Từ giản đồ véc tơ có: số lần chất điểm qua vị trí 
có li độ x = +1cm là 5 lần.
Bài 2: Cho một vật dao động điều hòa theo phương trình: 
 .
 Xác định số lần vật đi qua vị trí từ thời điểm t1 = 1/5(s) đến 
t2 = 13/15(s).
Giải: 
Tại thời điểm t1 = 1/5(s) suy ra x1 = 4cm theo chiều dương.
Tại thời điểm t2 = 13/15(s): 
- 8
8
M1
O
M2
Suy ra x2 = - 8cm.
Ta có: 
- Từ hình vẽ ta thấy trong khoảng thời gian vật chuyển động từ M1 đến M2 qua vị trí 2 lần, suy ra số lần vật đi qua vị trí từ thời điểm t1 = 1/5(s) đến t2 = 13/15(s) là: N = 2.1 + 2 = 4 lần.
6.3. Bài tập áp dụng:
Cho vật dao động điều hòa theo phương trình: 
Xác định số lần vật đi qua vị trí x = 5cm trong khoảng thời gian từ t1 = 1/2(s) đến
t2 = 2s.
Đáp số: 2 lần.	
	Phần C : Bài tập. Bài toán tổng hợp: 
Bài 1: Cho con lắc lò xo thẳng đứng có chiều dài l0 = 30cm, g = 10(m/s2), 
 ∆l = 10cm.
Tìm chiều dài lò xo khi vật ở vị trí cân bằng.
Kéo vật khỏi vị trí cân bằng theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo có chiều dài 42cm rồi thả vật có vận tốc 20(cm/s). Chọn t0 = 0 lúc thả vật. Viết phương trình dao động.
Xác định thời điểm đầu tiên để vật ở vị trí có li độ x = -2cm.
Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có x1 = -2cm đến vị trí x2 = 2cm.
Đáp số: a. L = 40cm
 b. x = 2sin ( 10t + ) cm.
 c. t = (s).
 d. t = .
Bài 2: Cho con lắc lò xo như hình vẽ: 
M = 100g, k = 25(N/m), g = 10(m/s2), π2 = 10.
Kéo vật theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới, kéo 
khỏi vị trí cân bằng 2cm rồi thả có vận tốc 10π(cm/s) 
ngược chiều dương. Chọn t = 0 lúc thả vật, biết vật dao động điều hòa. 
Viết phương trình dao động điều hòa.
Tìm thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí lò xo giãn 2cm.
Đáp số: a. x = 4 sin( 5) cm.
 b. t = 
Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos() cm. Kể từ thời điểm ban đầu, quãng đường vật đi được trong 0,5s là 2A va quãng đường vật đi được trong 1/3s là 12cm.
Tìm biên độ và tần số góc của dao động.
Tìm li độ của vật khi động năng của nó có giá trị bằng 8 lần thế năng.
Tại thời điểm t vật đi qua li độ 6cm theo chiều dương. Tìm li độ và vận tốc của vật trước đó 2/3s.
Đáp số: a. A = 12cm, (rad/s).
 b. x = 4cm hoặc x = - 4cm.
 c. xt = 0, v = 45(cm/s).
Bài 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos( )cm. Kể từ thời điểm ban đầu, quãng đường vật đi được trong 1s là 2A và quãng đường vật đi được trong 2/3s là 9cm.
Tìm biên độ và tần số góc của dao động.
Tìm li độ của vật khi động năng của nó có giá trị bằng 3 lần thế năng.
Tại thời điểm t vật đi qua li độ 3cm theo chiều dương. Tìm li độ và vận tốc của vật trước đó 4/3s.
 Đáp số: a. A = 6cm, ω = π (rad/s).
 b. x = cm.
 c. xt = 3, v = 11,25(cm/s).
Bài 5: Cho con lắc lò xo treo, lấy g = 10m/s2, π2 = 10. Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn 6,25cm. Tại t = 0, x0 = - 2cm, 	. Bỏ qua mọi ma sát.
Viết phương trình dao động của vật.
Tìm thời điểm vật qua li độ x = 2cm lần thứ hai kể từ t = 0.
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 0,25s đến t2 = 0,75s.
Xác định số lần vật đi qua vị trí trong khoảng thời gian từ t1 = 1/2(s) đến t2 = 2/3(s).
Đáp số: 
a. Phương trình dao động: 	
b. 
c. S = 4A = 16cm.
d. 1 lần.
Bài 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ 4s, biên độ dao động là S0 = 6cm; chọn t = 0 là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tính thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ:
Từ vị trí cân bằng đến vị trí S = 3cm.
Vị trí S = 3cm đến S0 = 6cm.
Đáp số: a. tmin = 1/3s
 b. tmin = 2/3s.