Vấn đề Phương trình chứa trị tuyệt đối

 115
CHƯƠNG 3: 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ 
TUYỆT ĐỐI. 
A. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
1.Định nghĩa và tính chất: 
a. Định nghĩa : 
a nếu a 0
a
a nếu a 0
≥⎧= ⎨− ≤⎩
b. Tính chất : 
* a 0≥ * a a a− ≤ ≤ * a b a b+ ≤ + dấu “ =” khi ab 0≥ 
* a b a b− ≤ + dấu “ =” xảy ra khi ab 0≤ 
2. Phương pháp giải toán: 
a. Dạng cơ bản: 
A B A B A B= ⇔ = ∨ = − cách1 
2 2A B⇔ = cách 2 
B 0
A B
A B
≥⎧= ⇔ ⎨ = ±⎩
 cách 1 
A 0 A 0
A B A B
≥ ≤⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨= = −⎩ ⎩
 cách 2 
b. Các dạng khác: 
Ta thường xét dấu các biểu thức trong các dấu trị tuyệt đối để 
khử dấu trị tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi 
khoảng. 
Có thể dùng ẩn phụ. 
 116
II. CÁC VÍ DỤ. 
Ví dụ 1: 
Giải phương trình: 2 x 2 3 x 1 5 (1)+ + − = 
Giải 
Xét dấu x + 2 và x – 1 
. 7x 2 : (1) 2(x 2) 2(x 1) 5 x
4
≤ − ⇔ − + − − = ⇔ = − (loại) 
. 2 x 1: (1) 2(x 2) 2(x 1) 5 0x 6 5 :− < < ⇔ + − − = ⇔ + = vô nghiệm 
. 3x 1: (1) 2(x 2) 2(x 1) 5 x
4
≥ ⇔ + + − = ⇔ = (loại) 
Vậy phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 2: 
Giải hệ phương trình: 
3 x 5y 9 0 (1)
2x y 7 0 (2)
⎧ + + =⎪⎨ − − =⎪⎩
(ĐH Hàng Hải năm 1998). 
Giải 
Nhận xét: (1) Cho ta: y 0, x R< ∀ ∈ 
(2) Cho ta: x 0, y R> ∀ ∈ 
⇒ hệ chỉ có nghiệm khi x > 0, y < 0 
Hệ 
3x 5y 9 0
2x y 7 0
+ + =⎧⇔ ⎨ + − =⎩
 giải ra: 44 39x ,y
7 7
= = − 
Vậy hệ có nghiệm 44 39x ,y
7 7
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 117
Ví dụ 3: 
Định m để phương trình: 
2 22x 10x 8 x 5x m− + − = − + có 4 nghiệm phân biệt. 
Giải 
Phương trình cho 2 22x 10x 8 x 5x m⇔ − + − − + = 
Đặt f(x) = 2 22x 10x 8 x 5x− + − − + 
Ta có: 
2
2
x 5x 8 với x 1 x 4
f(x)
3x 15x 8 với 1 x 4
⎧ − + ≤ ∨ ≥⎪= ⎨− + − ≤ ≤⎪⎩
2x 5 với x 1 x 4
f '(x)
6x 15 với 1 x 4
− ≤ ∨ ≥⎧= ⎨− + ≤ ≤⎩
Bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 
khi và chỉ khi: 434 m
4
< < . 
Ví dụ 4: 
Giải và biện luận: 
22m x m mx (m 0) (1)
x x
++ = ≠ 
Giải 
Điều kiện: x ≠ 0 
(1) 2 2x 2m x m m (2)⇔ + + = 
Đặt 2 2 2t x m x t m x t 2mt m= + ⇒ = − ⇒ = − + 
 118
2 2 2(2) t 2mt m 2m t m⇔ − + + =
2
2
t 0
t 0
t 0
t 4mt
⎡ ≥⎧⎪⎢⎨ =⎪⎢⎩⇔ ⎢ <⎧⎪⎢⎨⎢ −⎪⎩⎣
t 0
t 4m
m 0
=⎡⎢ =⎧⎢⎨⎢ <⎩⎣
. t 0 x m= ⇒ = − 
. t 4m x 3m(m 0)= ⇒ = < 
Tóm lại: 
m < 0: Phương trình có 2 nghiệm: x1 = 3m ; x2 = - m 
m > 0: một nghiệm x2 = - m 
m = 0: VN (loại vì x = 0) 
Ví dụ 5: 
Định m để phương trình có nghiệm duy nhất: 
2x 2mx 1 x 1 (1)+ + = + 
Giải 
Ta có: 2 2 2
x 1
(1)
(x 2mx 1) (x 1)
≥⎧⎪⇔ ⎨ + + = +⎪⎩
2 2
x 1 x 1
x (2m 1)x 0 (2) x (2m 1)x 2 0 (3)
≥ − ≥ −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨+ − = + + + =⎪ ⎪⎩ ⎩
(2) x 0 x 1 2m⇔ = ∨ = − 
Ta nhận thấy x = 0 thỏa điều kiện x 1,≥ − nê điều kiện cần để phương 
trình (1) có nghiệm duy nhất là: 
1 2m 0 1m m 1
1 2m 1 2
− =⎡ ⇔ = ∨ >⎢ − < −⎣
Thử lại: + với 21m : (3) x 2x 2 0
2
= ⇔ + + = VN 
+ Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 0 
+ Với m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0 
⇒ (3) có nghiệm x > -1 ⇒ không có nghiệm duy nhất (loại) 
Vậy 1m
2
= . 
 119
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 
1.1. Giải phương trình: 
3 2x x
5
2 3x x 2
− − =+ + − 
1.2. Xác định k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt. 
2(x 1) 2 x k− = − 
1.3. Tìm tham số a sao cho phương trình: 2 22x 3x 2 5a 8x 2x− − = − − 
có nghiệm duy nhất. 
1.4. Định m để phương trình có nghiệm: 2 2x 2x m x 3x m 1− + = + − − 
1.5. Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt : 
2 22x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m− + + + = − − + − 
 120
Hướng dẫn và giải tóm tắt 
1.1. Bảng xét dấu : 
Xét các trường hợp : 
* 2x :
3
≤ − phương trình cho 
23x3 x 235 x9
2x 4 9x 2
⎧ = −− ⎪⇔ = ⇔ ⇔ = −⎨− − ⎪ ≠ −⎩
thỏa 2x
3
≤ − . 
* 2 x 0 :
3
− < ≤ phương trình cho 
1x3 x 15 x7
4x 7x 0
⎧ =− ⎪⇔ = ⇔ ⇔ =⎨⎪ ≠⎩ không 
thoả điều kiện 2 x 0
3
− < ≤ . 
* 30 x :
2
< ≤ phương trình cho 3 3x 35 x
4x 23
−⇔ = ⇔ = thỏa điều kiện 
30 x
2
< ≤ . 
* 3x :
2
> phương trình cho 
3x
3 x 195 x
4x 3x
2
⎧ = −⎪− + ⎪⇔ = ⇔ ⇔ ∈∅⎨⎪ >⎪⎩
Tóm lại nghiệm : 23 3x x
9 23
= − ∨ = . 
 121
1.2. 
2
2
2
2(x k) (x 1)
(x 1) 2 x k (1)
2(x k) (x 1)
⎡ − = −− = − ⇔ ⎢⎢ − = − −⎣
2
2
x 4x 2k 1 0 (2)
x 2k 1 (3)
⎡ − + + =⇔ ⎢⎢ = −⎣
Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ Điều kiện là phương trình (2), 
(3), mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chúng không có 
nghiệm chung. 
Nhận xét nếu (2) và (3) có nghiệm chung thì nghiệm chung phải là 
nghiệm của hệ phương trình : 
2
2
x 4x 2k 1 0 (2)
x 2k 1 (3)
⎧ − + + =⎪⎨ = −⎪⎩
(3) 22k x 1⇔ = + thế vào (2), ta được : 
2 2 2x 4x x 2 0 (x 1) 0 x 1 k 1− + + = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = 
Ta loại k = 1 
Với k 1≠ , điều kiện : 
' 0
1 32k 1 0 k k 1
2 2
k 1
∆ >⎧⎪ − > ⇔ < < ∧ ≠⎨⎪ ≠⎩
1.3. 2 22x 3x 2 5a 8x 2x− − = − − 2 22x 8x 2x 3x 2 5a⇔ + + − − = 
Đặt 
2
2 2
14x 5x 2 nếu x x 2
2f(x) 2x 8x 2x 3x 2
111x + 2 nếu - x 2
2
⎧ + − ≤ − ∨ ≥⎪⎪= + + − − = ⎨⎪ < <⎪⎩
18x 5 nếu x x 2
2f '(x)
111 nếu x 2
2
⎧ + ≤ − ∨ ≥⎪⎪⇒ = ⎨⎪ − < <⎪⎩
 122
Bảng biến thiên: 
Bảng biến thiên cho ta phương trình có nghiệm duy nhất 
57 57a
16.5 80
−⇔ = − = 
1.4. 2 2x 2x m x 3x m 1− + = + − − (*) 
(*) 
2
2 2 2 2
x 3x m 1 0
(x 2x m) (x 3x m 1)
⎧ + − − ≥⎪⇔ ⎨ − + = + − −⎪⎩
2
2
x 3x m 1 0
5x 2m 1 2x x 1 0
⎧ + − − ≥⎪⇔ ⎨ = + ∨ + − =⎪⎩
2 2x 3x m 1 0 x 3x m 1 0
 2m 1 1x x 1 x
5 2
⎧ ⎧+ − − ≥ + − − ≥⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨+= = − ∨ =⎪ ⎪⎩ ⎩
Đặt 2f(x) x 3x m 1= + − − 
* Có nghiệm 
2m 1 3f 0 m 3 m5 4
f( 1) 0 m 3 m R
31 mf 0
42
⎡ +⎛ ⎞ ⎡≥ ≤ − ∨ ≥⎢ ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠⎢ ⎢⎢⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ∈⎢⎢ ⎢⎛ ⎞⎢ ⎢ ≤≥⎜ ⎟⎢ ⎢⎣⎝ ⎠⎣
 123
1.5. 2 22x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m− + + + = − − + − 
2 2
2 2
2x (2m 1)x m x (m 1)x 2 m
2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m
⎡ − + + + = − − + −⇔ ⎢⎢ − + + + = − + − − +⎣
2
2
g(x)
x (m 2)x 2m 0 (1)
3x 3mx 4 0 (2)
⎡ − + + =⇔ ⎢⎢ − + =⎣	
Để phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân 
biệt, (2) có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm phân biệt của (1) và (2) 
khác nhau. 
(1) có : 21 1 2(m 2) 0 m 2 : x m,x 2∆ = − > ⇔ ≠ = = 
(2) có : 
2
2
4 3 4 39m 48 0 m m
3 3g(m) 0
8g(2) 0 m
3
⎧ −⎧∆ = − > ⎪⎪ ⎪≠ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪≠ ≠⎩ ⎪⎩