Tài liệu ôn thi Đại Học môn Toán - GV: Nguyễn Tất Thu

Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 1 
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
A. Tóm tắt lý thuyết. 
I. Tọa độ trong mặt phẳng. 
 Cho r r1 1 2 2u(x , y ); v(x ;y ) và Îk R . Khi đó: 
+ = + + - = - -
=ìï= = + Û í
=ïî
= + Þ ^ Û = Û + =
r r r r
r r r r
r r r r r r
1 2 1 2 1 2 1 21 22 21 1 1 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2
1) u v (x x ;y y ) 2) u v (x x ;y y )x x3) ku (kx ;ky ) 4) u x y 5) u=v y y6) u.v x x y y u v u.v 0 x x y y 0 
· Hai véc tơ r r1 1 2 2u(x , y ); v(x ;y ) cùng phương với nhau =ìïÛ í =ïî 1 21 2x kxy ky 
· Góc giữa hai véc tơ r r1 1 2 2u(x , y ); v(x ;y ) : += =
+ +
r r
r r
r r 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2
u.v x x y ycos(u, v) u v x y x y . 
· Cho A A B BA(x ;y ) ; B(x ;y ) . Khi đó : = - - = - + -uuur uuur 2 2B A B A B A B A1) AB (x x ;y y ) 2) AB= AB (x x ) (y y ) 
+ì
=ïï
í
+ï =ïî
A BI A BI
x xx 23) y yy 2 trong đó I là trung điểm của AB . 
· ^ Û =uuur uurAB CD AB.CD 0 
· Cho tam giác ABC với A A B B C CA(x ;y ), B(x ;y ), C(x ;y ) . Khi đó trọng tâm ( )G GG x ;y của 
tam giác ABC là : + +ì =ïïí
+ +ï =ïî
A B CG A B CG
x x xx 3y y yy 3 . 
II. Phương trình đường thẳng 
1. Phương trình đường thẳng 
1.1. Véc tơ chỉ phương (VTCP), véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng : Cho đường thẳng d. · = ¹r rn (a;b) 0 gọi là véc tơ pháp tuyến của d nếu giá của nó vuông với d. · = ¹r r1 2u (u ;u ) 0 gọi là véc tơ chỉ phương của d nếu giá của nó trùng hoặc song song với đường thẳng d. Một đường thẳng có vô số VTPT và vô số VTCP ( Các véc tơ này luôn cùng phương với nhau) 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 2 
· Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP: =r rn.u 0. 
· Nếu =rn (a;b) là một VTPT của đường thẳng d thì = -ru (b; a) là một VTCP của đường thẳng d . 
· Đường thẳng AB có ABuuur là VTCP. 
1.2. Phương trình đường thẳng 1.2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0A(x ;y ) và có n (a;b)=r là VTPT, khi đó phương trình tổng quát của d có dạng: 0 0a(x x ) b(y y ) 0- + - = . 
 1.2.2. Phương trình tham số của đường thẳng : Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0A(x ;y ) và có u (a;b)=r là VTCP, khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: 00x x aty y bt= +ìïí = +ïî , t RÎ . 
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0;+ + = 2 2 2 2d : a x b y c 0+ + = . Khi đó vị trí tương đối giữa chúng phụ thuộc vào số nghiệm của hệ : 1 1 12 2 2a x b y c 0a x b y c 0+ + =ìïí + + =ïî (I) 
· Nếu (I) vô nghiệm thì 1 2d / /d . 
· Nếu (I) vô số nghiệm thì 1 2d dº 
· Nếu (I) có nghiệm duy nhất thì 1d và 2d cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. 
3. Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0;+ + = 2 2 2 2d : a x b y c 0+ + = . Gọi a là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 1d và 2d . Ta có : 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2a a b bcos a b a b+a = + + . 
4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Cho đường thẳng :ax by c 0D + + = và điểm 0 0M(x ;y ) . Khi đó khoảng cách từ M đến D được tính bởi công thức: 0 02 2ax by cd(M,( )) a b+ +D = + . 
5. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0+ + = và 2 2 2 2d : a x b y c 0+ + = Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là: 1 1 1 2 2 22 2 2 21 1 2 2a x b y c a x b y ca b a b+ + + += ±+ + . 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 3 
III. Phương trình đường tròn. 
1. Phương trình đường tròn : Cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R , khi đó phương trình của (C) là : 2 2 2(x a) (y b) R- + - = . Ngoài ra phương trình : 2 2x y 2ax 2by c 0+ - - + = với 2 2a b c 0+ - > cũng là phương trình của đường tròn có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b c= + - . 
2. Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : 2 2 2(x a) (y b) R- + - = . 
· Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM . 
· Đường thẳng : Ax By C 0D + + = là tiếp tuyến của (C) d(I, ) RÛ D = 
· Đường tròn (C) : 2 2 2(x a) (y b) R- + - = có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x a R= ± . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y kx m= + . 
IV. E líp 
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định 1 2F ,F có 1 2F F 2c= . Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 1 2MF MF 2a+ = (2a không đổi và a c 0> > ) là một đường elíp. 
· 1 2F ,F : là hai tiêu điểm và 2c là tiêu cự của elíp. 
· 1 2MF ,MF : là các bán kính qua tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của elíp: 2 22 2x y 1a b+ = với 2 2 2b = a c- . Vậy điểm 2 20 00 0 2 2x yM(x ;y ) (E) 1a bÎ Û + = và 0 0x a ; y b£ £ . 
3. Tính chất và hình dạng của elíp: Cho 2 22 2x y(E): 1a b+ = , a b> . 
· Trục đối xứng Ox,Oy . Tâm đối xứng O . 
· Đỉnh: ( )1 2 1A ( a;0), A a;0 , B (0; b)- - và ( )2B 0; b . 1 2A A 2a= gọi là độ dài trục lớn, 1 2B B 2b= gọi là độ dài trục bé. 
· Tiêu điểm: 1 2F ( c;0), F (c;0)- . 
· Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với 2 2 2b = a c- . 
· Tâm sai: 2 2c a be 1a a-= = < 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 4 
· Hai đường chuẩn: 2a ax e c= ± = ± 
· ( ) ( )0 0 1 0M x ;y E : MF a exÎ = + và 2 0MF a ex= - . 
x
yP Q
RS
B2
A2
A1 O
V. Hypebol 
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm 1 2F ,F có 1 2F F 2c= . Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 1 2MF MF 2a - = (2a không đổi và c a 0> > ) là một Hypebol. 
· 1 2F , F : là 2 tiêu điểm và 1 2F F 2c= là tiêu cự. 
· 1 2MF ,MF : là các bán kính qua tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của hypebol: 2 22 2x y 1a b- = với 2 2 2b = c a- . 
3. Tính chất và hình dạng của hypebol (H): 
· Trục đối xứng Ox (trục thực), Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O . 
· Đỉnh: ( )1 2A ( a;0),A a;0- . Độ dài trục thực: 2a và độ dài trục ảo: 2b . 
· Tiêu điểm ( )1 2F ( c; 0), F c; 0- . 
· Hai tiệm cận: by xa= ± 
· Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a,2b với 2 2 2b c a= - . 
· Tâm sai: 2 2c a be a a+= = 
· Hai đường chuẩn: 2a ax e c= ± = ± 
· Độ dài các bán kính qua tiêu của ( ) ( )0 0M x ;y HÎ : +) 1 0MF ex a= + và 2 0MF ex a= - khi 0x 0> . +) 1 0MF ex a= - - và 2 0MF ex a= - + khi 0x 0< . 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 5 
·
2 20 0 2 2x yM(x ;y ) (E): 1a bÎ - = Û 2 20 02 2x y 1a b- = và ta luôn có 0x a³ . 
VI. Parabol 
1. Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều một đường thẳng D cố định và một điểm F cố định không thuộc D . 
D : đường chuẩn; F : tiêu điểm và d(F, ) p 0D = > là tham số tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của Parabol: 2y 2px= 
3. Hình dạng của Parabol (P) : 
· Trục Ox là trục đối xứng, đỉnh O. Tiêu điểm pF( ;0)2 . 
· Đường chuẩn p: x 2D = - · ( ) ( ) pM x;y P : MF x 2Î = + với x 0³ . 
B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
1. Lập phương trình đường thẳng. Để lập phương trình đường thẳng D ta thường dùng các cách sau 
· Tìm điểm 0 0M(x ;y ) mà D đi qua và một VTPT n (a;b)=r . Khi đó phương trình đường thẳng cần lập là: 0 0a(x x ) b(y y ) 0- + - = . 
· Giả sử đường thẳng cần lập :ax by c 0D + + = . Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm được a mb,c nb= = . Khi đó phương trình : mx y n 0D + + = . Phương pháp này ta thường áp dụng đối với bài toán liên quan đến khoảng cách và góc 
· Phương pháp quỹ tích: 0 0 0 0M(x ;y ) : ax by c 0 ax by c 0ÎD + + = Û + + = . 
Ví dụ . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2(C):(x 1) (y 2) 25- + - = . 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4;6) , 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ điểm N( 6;1)- 3) Từ E( 6;3)- vẽ hai tiếp tuyến EA,EB ( A,B là tiếp điểm) đến (C). Viết phương trình đường thẳng AB . 
Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 5= . 1) Tiếp tuyến đi qua M và vuông góc với IM nên nhận IM (3;4)=uur làm VTPT 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 6 
Nên phương trình tiếp tuyến là: 3(x 4) 4(y 6) 0 3x 4y 36 0- + - = Û + - = . 2) Gọi D là tiếp tuyến cần tìm. Do D đi qua N nên phương trình có dạng :a(x 6) b(y 1) 0 ax by 6a b 0D + + - = Û + + - = , 2 2a b 0+ ¹ (*) Ta có: 2 2 2 2 22 27a bd(I, ) R 5 7a b 5 a b (7a b) 25(a b )a b+D = Û = Û + = + Û + = ++ 
22 2 3a ba a 424a 14ab 24b 0 24 12 24 0b b 4a b3
é =êæ öÛ + - = Û + - = Û êç ÷
è ø ê = -êë
. 
· 3a b4= thay vào (*) ta có: 3 7bx by b 0 3x 4y 14 04 2+ + = Û + + = . 
· 4a b3= - thay vào (*) ta có: 4 bx by 9b 0 4x 3y 27 03- + - = Û - + = . Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là: 3x 4y 14 0+ + = và 4x 3y 27 0- + = . 3) Gọi A(a;b). Ta có: 2 22 2 2 2A (C) a b 2a 4b 20 0(a 1) (b 2) 25IA.NA 0 (a 1)(a 6) (b 2)(b 3) 0 a b 5a 5b 0ìÎ ìì + - - - =- + - =ï ï ïÛ Ûí í í= - + + - - =ï ï + + - =ïî î îuur uuur 7a b 20 0Þ - + = Từ đó ta suy ra được A :7x y 20 0ÎD - + = . Tương tự ta cũng có được B AB AB:7x y 20 0ÎD Þ º D Þ - + = . 
2. Các lập phương trình đường tròn. Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường sử dụng các cách sau 
Cách 1: Tìm tâm I(a;b) và bán kính của đường tròn. Khi đó phương trình đường tròn có dạng: 2 2 2(x a) (y b) R- + - = . 
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn có dạng: 2 2x y 2ax 2by c 0+ - - + = . Dựa vào giả thiết của bài toán ta tìm được a,b,c . Cách này ta thương áp dụng khi yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm. 
Ví dụ . Lập phương trình đường tròn (C), biết 1) (C) đi qua A(3;4) và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. 2) (C) có tâm nằm trên đường tròn 2 21 4(C ):(x 2) y 5- + = và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 : x y 0D - = và 2 : x 7y 0D - = . 
Lời giải. 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 7 
1) Gọi 1 2A ,A lần lượt là hình chiếu của A lên hai trục Ox, Oy, suy ra 1 2A (3;0), A (0;4). Giả sử 2 2(C): x y 2ax 2by c 0+ - - + = . 
Do 1 2A, A ,A (C)Î nên ta có hệ: 
3a6a 8b c 25 26a c 9 b 28b c 16 c 0
ì =ï- - + = -ì
ïï- + = - Û =í í
ï ï- + = - =î ï
î
. 
Vậy phương trình (C): 2 2x y 3x 4y 0+ - - = . 2) Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn (C), vì 1I (C )Î nên: 2 2 4(a 2) b 5- + = (1) Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2,D D nên 1 2d(I, ) d(I, )D = D a b a 7b b 2a,a 2b2 5 2- -Û = Û = - = 
· b 2a= - thay vào (1) ta có được: 2 2 24 16(a 2) 4a 5a 4a 05 5- + = Û - + = phương trình này vô nghiệm 
· a 2b= thay vào (1) ta có: 2 2 4 4 8(2b 2) b b ,a5 5 5- + = Û = = . Suy ra 1 4R D(I, ) 5 2= D = . 
Vậy phương trình 2 28 4 8(C): x y5 5 25æ ö æ ö- + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø . 
3. Các điểm đặc biệt trong tam giác. Cho tam giác ABC . Khi đó: 
· Trọng tâm A B C A B Cx x x y y yG ;3 3+ + + +æ öç ÷è ø · Trực tâm AH.BC 0H : BH.AC 0ì =ïí =ïî
uuur uur
uuur uuur 
· Tâm đường tròn ngoại tiếp 2 22 2IA IBI : IA ICì =ïí =ïî 
· Tâm đường tròn nội tiếp AB.AK AC.AKAB ACK : BC.BK BA.BKBC AB
ì
=ïï
í
ï =ïî
uuur uuur uuur uuur
uur uuur uuur uuur 
Chú ý: Có thể tìm K theo cách sau: * Gọi D là chân đường phân giác trong góc A, ta có: ABBD DCAC=uuur uur , từ đây suy ra D 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 8 
* Ta có ABAK KDBD=uuur uuur từ đây ta có K. 
· Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A) AB.AJ AC.AJAB ACJ : BJ.BC AB.BJBC AB
ì
=ïï
í
ï =ïî
uuur uur uuur uur
uur uur uuur uur . 
Ví dụ . Cho tam giác ABC có 5 3A(1;3),B( 2;0),C ;8 8æ ö- ç ÷è ø . 1) Tìm tọa độ trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I và trọ ...  giải hệ này ta tìm được a 1,b 1= = hay H(1;1). 
Suy ra ( )HD 1; 2= -uuur nên phương trình BC : x 2y 4 0- - = . ( )HE 1;1=uuur nên phương trình AC : x y 4 0+ - = ( )HF 3;1= -uuur nên phương trình AB : 3x y 8 0- + = . 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 57 
Vì 3x y 8 0 x 1A AB AC A : A( 1;5)x y 4 0 y 5- + = = -ì ì= Ç Þ Û Þ -í í+ - = =î î Tương tự, ta tìm được B( 4; 4),C(4;0)- - . 
Ví dụ 18.5. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình ( ) ( )2 2: x 1 y 1 10- + - = . Điểm ( )M 0;2 là trung điểm cạnh BC và diện tích tam giác ABC bằng 12. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 
Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(1;1) , suy ra MI (1; 1)= -uur . Vì BC đi qua M và vuông góc với MI nên BC : x y 2 0- + = . 
Tọa độ B,C là nghiệm của hệ: 2 2 2y x 2 x 2,y 4(x 1) (y 1) 10 x 2,y 0x y 2 0 x 4= +ì ì = =é- + - =ï ïÛ Ûí í ê = - =- + = =ï ï ëî î Suy ra B(2;4),C( 2;0)- hoặc B( 2;0),C(2;4)- Gọi A(a;b), suy ra 2 2(a 1) (b 1) 10- + - = (1) Ta có: ABCa b 2d(A,BC) ,BC 4 2 S 2 a b 22 D- += = Þ = - + Nên ta có a b 2 6 a b 4,a b 8- + = Û = + = - . 
· a b 4= + thay vào (1) ta có: 2 2 2(b 3) (b 1) 10 b 2b 0 b 0,b 2+ + - = Û + = Û = = - 
· a b 8= - thay vào (1) ta có: 2 2(b 9) (b 1) 10- + - = vô nghiệm. Vậy A(0;4) hoặc A(2; 2)- . 
Ví dụ 19.5. Trong mặt pha ng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đı̉nh A(3; 7)- , trực tâm là H(3; 1)- , tâm đường tròn ngoại tie p là I( 2;0)- . Xác điṇh toạ độ đı̉nh C, bie t C có hoành độ dương. 
Lời giải. 
Cách 1: Gọi M(x;y) là trung điểm của BC , D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có BH / /CD,CH / /BD nên tứ giác BDCH là hình bình hành nên M là trung điểm HD 
Từ đó suy ra, 0 2( 2 x) x 2AH 2MI M( 2; 3)6 2( y) y 3= - - = -ì ì= Þ Û Þ - -í í= - = -î îuuur uur Nên đường thẳng BC qua M có ( )AH 0;6uuur là vtpt có phương trình là : y 3 0+ = . 
Gọi C(a; 3)- , do ( ) ( ) ( )2 2 22IA IC 5 7 a 2 3= Û + - = + + - 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 58 
2a 4a 61 0 a 2 65 C( 2 65; 3)Û + - = Û = - ± Þ - + - . 
H
M
I
A
B
C
 Cách 2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình 2 2(x 2) y 74+ + = . Phương trình AH : x 3= , do BC AH BC : y m^ Þ = ( m 7¹ - ) Tọa độ B, C là nghiệm của phương trình : 2 2 2 2(x 2) m 74 x 4x m 70 0+ + = Û + + - = (*) Vì (*) có hai nghiệm, trong đó có ít nhất một nghiệm dương nên m 70< 
Khi đó: 2 2B( 2 74 m ;m), C( 2 74 m ;m)- - - - + - Vì 2BH AC AC.BH 0 m 4m 21 0 m 3^ Þ = Û + - = Û =uuur uuur Vậy C( 2 65;3)- + . 
Ví dụ 20.5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1d : 3x y 0+ = và 2d : 3x y 0- = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A , cắt 2d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 32 và điểm A có hoành độ dương. 
Lời giải. Vì ABCD vuông tại B nên AC là đường kính của (T). Gọi · ( )·1 2ASB d , d t= = ta có · ·BAC ASB t= = (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Giả sử bán kính (T) là R ta có : 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 59 
2ABC BC.BA ACsin t.ACcostS 2R sin t cost2 2D = = = . 
Mặt khác 2 2 2 23. 3 1.( 1) 1cost t2 3( 3) 1 ( 3) ( 1)+ - p= = Þ =+ + - . 
Suy ra 2ABC 3S R 2D = từ đó có R 1= . Do 1 2A d ,C dÎ Î nên ( ) ( )A a; a 3 ,C c;c 3- thêm nữa vector chỉ phương của 1d là 
1u (1; 3)-uur có phương vuông góc với ACuuur nên: 
1AC.u 0 c a 3(c a) 0 c 2a= Û - - + = Û = -uuur r . 
Mặt khác 2 2AC 2R 2 (c a) ( 3(c a)) 2= = Û - + + = 2 a 3 2Û = vì a 0> nên 3a 3= . Tâm đường tròn là trung điểm của AC là : a c 3 a 3 3a 3 3I ; (c a) ; ;2 2 2 2 6 2æ ö æ ö æ ö+ - = - - = - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø . 
Vậy phương trình của (T) là 2 23 3x y 1.6 2æ ö æ ö+ + + =ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø 
Cách 2: Ta có 1d tiếp xúc với (T) có đường kính là AC nên 1AC d^ Từ giả thiết ta có : · · · ·0 0 0 0AOx 60 ,BOx 120 AOB 60 ; ACB 30= = Þ = = 
Nên 2 2ABC 1 3 3 3S AB.BC AB AB AB 12 2 2 2D = = Þ = Þ = 
Vì ( )2 2 2 1A d A x; 3x ,x 0;OA .AB A( ; 1)3 3 3Î Þ - > = = Þ - ; 4 2OC 2OA C ; 23 3æ ö= = Þ - -ç ÷è ø . 
Đường tròn (T) đường kính AC có: 2 3 ACI ; , R 12 23æ ö- - = =ç ÷è ø . 
Phương trình (T): 2 21 3x y 122 3æ ö æ ö+ + + =ç ÷ ç ÷è øè ø . 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 60 
Ví dụ 5.21. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;3) . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA,HB, HC có phương trình : 2 2(x 1) (y 1) 10- + - = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Lời giải. Gọi (C) là đường tròn 2 2(x 1) (y 1) 10- + - = , suy ra (C) có tâm I(1;1) , bán kính R 10= . Ta có kết quả sau đây trong hình học phẳng: “Trong tam giác, 9 điểm gồm trung điểm của ba cạnh, chân ba đường cao và ba trung điểm của các đoạn nối trực tâm với đỉnh nằm trên một đường tròn có tâm I , G, H thẳng hàng và IH 3IG= ”. 
I C'
A'
B'
G
M
H
E
A
B
C
 Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm BC. Ta có: Phép vị tự (G, 2)V :I E, M A- ® ® và M (C)Î nên ta có: E(4;7) và EA 2IM 2 10= = Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 2 2(x 1) (y 10) 40- + - = . 
Bài tập. 
Bài 1.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1),B(1;5);C( 4; 5)- - - Viết phương trình các đường thẳng sau: 1) Đường cao AD 2) Các đường trung tuyến BM,CN 3) Các đường phân giác trong BD,CE 
Bài 2.1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3;2) và phương trình hai đường trung tuyến BM :3x 4y 3 0,CN :3x 10y 17 0+ - = - - = . Tính tọa độ các điểm B, C. 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 61 
Bài 3.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A( 3;0)- và phương trình hai đường phân giác trong BD: x y 1 0,CE : x 2y 17 0- - = + + = . Tính tọa độ các điểm B, C. 
Bài 4.1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(5; 3)- và phương trình đường cao AA ' : x y 2 0- + = , đường trung tuyến BM :2x 5y 13 0+ - = .Tính tọa độ các điểm A, B. 
Bài 5.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 3)- và phương trình đường cao AD:2x y 1 0- + = , đường phân giác CE : x y 2 0+ - = .Tính tọa độ các điểm A, C. 
Bài 6.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x 2y 3 0- - = và 6x y 4 0- - = . Viết phương trình đường thẳng AC. 
Bài 7.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(2;2) và hai đường thẳng: 1d : x y 2 0,+ - = 2d : x y 8 0+ - = . Tìm tọa độ điểm B,C lần lượt thuộc 1 2d ,d sao cho tam giác ABC vuông tại A. 
Bài 8.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2(x 1) y 1- + = . Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho · 0IMO 30= . 
Bài 9.1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x= và điểm I(0;2) . Tìm toạ độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho IM 4IN=uur uur . 
Bài 10.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;2), các đường thẳng 1d : x y 3 0+ - = và: 2d : x y 9 0+ - = . Tìm tọa độ điểm 1B dÎ , và 2C dÎ sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
Bài 11.1. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABCD với A(2,3), B(2,1), C(6,3) . Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong góc ·BAC với BC. Tìm tất cả các điểm M thuộc đường tròn 2 2(C):(x 3) (y 1) 25- + - = sao cho : MDC ADBS 2S= . 
Bài 12.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y 4 0- - = và đường tròn 2 2(C): x y 4y 0+ - = . Tìm M thuộc d và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua A(3;1). 
Bài 13.1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;4). Tìm hai điểm M,N lần lượt năm trên hai đường tròn 2 21(C ):(x 2) (y 5) 13- + - = và 2 22(C ):(x 1) (y 2) 25- + - = sao cho tam giác MAN vuông cân tại A. 
Bài 14.1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 2 2 25(C):(x 2) (y 4) 9- + - = và đường thẳng d :5x 2y 11 0.+ - = Tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường tròn (C) biết A(1;2),B(3; 2).- 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 62 
Bài 15.1. Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng x y: 1d 0- + = và đường tròn (C) có phương trình 2 2x y 2x 4y 0+ + - = . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại A và B, sao cho · 0AMB 60= . 
Bài 16.1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; 5)- và đường thẳng :3x 4y 4 0D - + = .Tìm trên D hai điểm A và B đối xứng nhau qua 5I(2; )2 sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. 
Bài 17.1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2x y(E): 19 4+ = và hai điểm A(3; 2),- B( 3;2)- . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 
Bài 18.1. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( ) ( )A 2;1 ,B 4;3 và có tâm thuộc đường thẳng : x y 5 0D - + = . 
Bài 19.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm ( ) ( )A 0;5 ,B 2;3 . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R 10= . 
Bài 20.1. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm ( ) ( )A 1;0 ,B 2;0 và tiếp xúc với đường thẳng d : x y 0- = . 
Bài 21.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C): x y 2x 2y 1 0+ - - + = và đường thẳng d : x y 3 0- + = . Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm M nằm trên d, bán kính bằng 2 lần bán kính đường tròn (C) và (C’) tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). 
Bài 22.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y 1 2 0- + - = và điểm 
( )A 1;1- . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A,O và tiếp xúc với d. 
Bài 23.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C): x y 1+ = . Đường tròn (C’) tâm ( )I 2;2 cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 2= . Viết phương trình đường thẳng AB . 
Bài 24.1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;3) . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua M và tiếp xúc với hai trục tọa độ. 
Bài 25.1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2 4(C):(x 2) y 5- + = và hai đường thẳng 1 2: x y 0, : x 7y 0D - = D - = . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng D1, D2 và tâm K thuộc đường tròn (C). 
Bài 26.1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: 
Tài liệu ôn thi Đại Học 
GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 63 
( ) 2 21C :x y 10x 0+ - = và ( ) 2 22C :x y 4x 2y 20 0+ + - - = Viết phương trình đường tròn (C) đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng : x 6y 6 0D + - = . 
Bài 27.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2x y 2x 6y 6 0+ - - + = và điểm M( 3;1)- . Gọi 1 2T ,T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 2T ,T . 
Bài 28.1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1d : mx (m 1)y m 0+ - + = và 2d :(2m 2)x 2my 1 0- - + = . Chứng minh rằng d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên một đường tròn cố định. 
Bài 29.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2C : x y 2x 4y 0+ - + = và đường thẳng d : x y 0- = . Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d, biết từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) ( A, B là các tiếp điểm) và khoảng cách từ điểm ( )N 1; 1- đến AB bằng 35 .