Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

¤N TËP M«n to¸n 
Biên soạn: Đỗ Cao Long 
THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 
A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu Nội dung kiến thức Điểm 
I 
· Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. 
· Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị 
của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, 
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ 
thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ 
thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);... 
3,0 
II 
· Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 
· Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 
Tìm nguyên hàm, tính tích phân. 
· Bài toán tổng hợp. 
3,0 
III 
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh 
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối 
lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; 
tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 
1,0 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương 
trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu Nội dung kiến thức Điểm 
IV.a 
Phương pháp toạ độ trong trong không gian: 
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ. 
- Mặt cầu. 
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí 
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
2,0 
V.a 
· Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. 
Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực 
có biệt thức D âm. 
· Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích 
khối tròn xoay. 
1,0 
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu Nội dung kiến thức Điểm 
IV.b 
Phương pháp toạ độ trong trong không gian: 
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ. 
- Mặt cầu. 
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt 
phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối 
của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
2,0 
V.b 
· Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. 
Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số 
phức. Dạng lượng giác của số phức. 
· Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 
2 + +
=
+
ax bx c
y
px q
 và 
một số yếu tố liên quan. 
· Sự tiếp xúc của hai đường cong. 
· Hệ phương trình mũ và lôgarit. 
· Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích 
khối tròn xoay.. 
1,0 
┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 3 4 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Chuyên đề I: 
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng 
dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 
1. Chiều biến thiên của hàm số. 
Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số ( )y f x= 
1. Tìm tập xác định 
2. Tính đạo hàm ( )y f x¢ ¢= . Giải phương trình ( ) 0f x¢ = để 
tìm các nghiệm ( )1,2...,ix i n= . 
3. Sắp xếp các nghiệm ix theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải 
và lập bảng biến thiên của hàm số. 
4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà ( ) 0f x¢ > và 
ngược lại). 
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số 24y x= - 
Gợi ý giải: 
· Đ/k xác định: 24 0x- ³ 2 4 2 2x xÛ £ Û - £ £ 
Tập xác định của hàm số [ ]2;2D = - . 
· Đạo hàm: ( )
2
2 2
4
2 4 4
x x
y
x x
¢- -¢ = =
- -
0 0y x¢ = Û = thuộc [ ]2;2- 
Dấu của y¢ cùng dấu với biểu thức x- . 
· Ta có bảng biến thiên 
x -2 0 2 
y¢ + 0 - 
y 
0 
 2 
0 
· Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng 
( )2;0- và nghịch biến rtreen khoảng ( )0;2 
Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng ( );a b 
hoặc hàm số gián đoạn tại 0x thì ta cần tính các giới hạn 
lim
x a
y
+®
, lim
x b
y
-®
 và 
0
lim
x x
y
+®
, 
0
lim
x x
y
-®
 để điền vào bảng biến 
thiên. 
Bài tập: 
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác 
định của chúng: 
1) 5 3
1 4
3 1
5 3
y x x x= - + + ; 
2) 
4
1
y x
x
= +
-
; 
3) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) tan sin , 0
2
x x x
p
> < < 
b) 1 1 , 0
2
x
x x+ . 
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch 
biến của hàm số 4 28 2y x x= - + . 
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch 
biến của hàm số 3 3 1y x x= - + . 
Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng ( ) ( )2;0 , 2;- +¥ 
H/số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ); 2 , 0;2-¥ - 
Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng ( )1;1-
┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 5 6 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
2. Cực trị của hàm số. 
Lý thuyết: 
- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12. 
Dạng 1: Tìm m để hàm số ( ),y f x m= đạt cực đại (hoặc cực tiểu) 
tại 0x x= . 
Cách giải: 
· Tính ( ),y f x m¢ ¢= 
· Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại 
0x x= là ( ) ( )0 0, 0y x f x m¢ ¢= = . 
Giải phương trình này tìm được m. 
· Thử lại (Điều kiện đủ) 
Với giá trị của m tìm được, ta tính ( )0y x¢¢ . 
- Nếu ( )0 0y x¢¢ > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x x= 
- Nếu ( )0 0y x¢¢ < thì hàm số đạt cực đại tại 0x x= . 
Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn. 
· Kết luận. 
Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm 
tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại 0x x= . 
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 
2 1x mx
y
x m
+ +
=
+
 đạt cực đại tại 2x = . 
Gợi ý giải: 
Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được 1y x
x m
= +
+
· Đ/k xác định 0x m x m+ ¹ Û ¹ - 
· Đạo hàm 
( )2
1 1
1y x
x m x m
¢æ ö¢ = + = -ç ÷+è ø +
( )
( )2
1
2 1
2
y
m
¢ = -
+
· Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại 2x = là ( )2 0y¢ = 
( )
( )22
1
1 0 2 1
2
m
m
Û - = Û + =
+
2 1 1
2 1 3
m m
m m
+ = = -é é
Û Ûê ê+ = - = -ë ë
· Thử lại (đ/k đủ) 
Ta có 
( ) ( )2 3
1 2
1 0y
x m x m
¢æ ö
¢¢ ç ÷= - = +
ç ÷+ +è ø ( )
3
2
x m
=
+
- Với 1m = - , ta có ( )
( )3
2
2 2 0
2 1
y¢¢ = = >
-
 nên trường hợp này 
hàm số đạt cực tiểu tại 2x = (không thỏa đề bài). 
- Với 3m = - ta có ( )
( )3
2
2 2 0
2 3
y¢¢ = = - <
-
 nên trường hợp này 
hàm số đạt cực đại tại 2x = (thỏa đề bài) 
· Kết luận: Giá trị của m phải tìm là 3m = - . 
Dạng 2: Chứng minh hàm số ( ),y f x m= luôn có cực trị với mọi 
giá trị của tham số m. 
Cách giải: 
Chứng tỏ ( ), 0fy x m = luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy 
qua các nghiệm đó. 
- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y¢ có delta dương; 
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để 
tìm m để y¢ có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm. 
┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 7 8 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số 3 2 1y x mx x= - - + luôn có 
một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. 
Gợi ý giải: 
· Tập xác định của hàm số: D = ¡ 
· Đạo hàm 23 2 2y x mx¢ = - - là tam thức bậc hai có 
( ) ( )2 22 4.3. 2 4 24m mD = - - = + 0, m> " Ρ . 
Suy ra 0y¢ = có hai nghiệm phân biệt và y¢ đổi dấu (có thể lập 
bảng xét dấu với hai nghiệm 1 2,x x ) khi x đi qua hai nghiệm đó. 
· Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m. 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số 3 26 9y x x x= - + có đồ 
thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng 
2y x m m= + - đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm 
cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). 
Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2 5
3
y x mx m xæ ö= - + - +ç ÷
è ø
 có cực trị 
tại 1x = . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị 
tương ứng ? 
Câu 3: (TN BTTH 2006) 
Chứng minh hàm số ( )3 21 2 3 9
3
y x mx m x= - - + + luôn có 
cực trị với mọi giá trị của tham số m ? 
Gợi ý – đáp số: 
Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số ( )3;0A , ( )1;4B 
Trung điểm hai cực trị ( )2;2M . Cho ( )2;2M thuộc đường 
thẳng 2y x m m= + - , ta có 22 2 m m= + - . Giải tìm m. 
Câu 2: 7 3m = . Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = . 
3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. 
Lý thuyết: 
Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )C và ( )0 0;M x y là điểm trên 
( )C . Tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại ( )0 0;M x y có: 
- Hệ số góc: ( )0k f x¢= 
- Phương trình: ( )0 0y y k x x- = - 
Hay ( )( )0 0 0y y f x x x¢- = - 
Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại ( )0 0;M x y chúng ta cần đủ ba 
yếu tố sau: 
- Hoành độ tiếp điểm: 0x 
- Tung độ tiếp điểm: 0y {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng 
cách thay 0x vào hàm số ( )0 0y f x= } 
- Hệ số góc ( )0k f x¢= 
Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm ( )0 0;M x y , 
hoặc hoành độ 0x , hoặc tung độ 0y . 
Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 22 1y x x= - + 
tại điểm ( )2;9M - . 
Gợi ý giải: 
· Ta có (đạo hàm): 34 4y x x¢ = - 
· T/tuyến tại ( )2;9M - có: 
- Hệ số góc ( ) ( ) ( )32 4 2 4 2 24k y¢= - = - - - = - 
- P/trình: ( )( )9 24 2y x- = - - - 
Hay 24 39y x= - - 
Ở đây cần biết: 
┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 9 10 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
0 2x = - , 0 9y = ở tọa độ của M (đề đã cho). 
Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số 1
1
x
y
x
-
=
+
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . 
b) Tại điểm có tung độ bằng 3 . 
Gợi ý giải: 
a) Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
¢ ¢- + - + -
¢ =
+ ( )2
2
1x
=
+
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )0 0;x y . Theo giả thiết có 0 2x = . 
· Tung độ tiếp điểm: 00
0
1 2 1 1
1 2 1 3
x
y
x
- -
= = =
+ +
· Hệ số góc của tiếp tuyến tại 12;
2
æ ö
ç ÷
è ø
 bằng : 
( )
( )2
2 2
2
92 1
k y¢= = =
+
· P/trình tiếp tuyến: ( )1 2 2
3 9
y x- = - . Hay 
2 1
9 9
y x= - 
Với dạng này, đề cho 0 2x = , ta cần tính 00
0
1
1
x
y
x
-
=
+
 và tính 
đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến ( )0k y x¢= ( )2y¢= . 
b) Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
¢ ¢- + - + -
¢ =
+ ( )2
2
1x
=
+
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )0 0;x y . Theo giả thiết có 0 3y = . 
· Vậy 00
0
1
3
1
x
y
x
-
= =
+
( )0 01 3 1x xÛ - = + 0 2xÛ = - 
· Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0; 2;3x y = - là: 
( )
( )2
2
2 2
2 1
k y¢= - = =
- +
· P/trình tiếp tuyến cần tìm: ( )( )3 2 2y x- = - - . 
Hay 2 7y x= + . 
Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. 
Dấu hiệu: 
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 0d ax by c+ + = 
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : 0d ax by c+ + = 
Cách giải: 
· Cần biết (rút y theo x) 
( ) : a cd y x
b b
= - - nên ( )d có hệ số góc ak
b
¢ = - . 
· Khi t/tuyến song song với ( )d thì hế số góc của t/tuyến bằng 
hệ số góc của ( )d và bằng ak k
b
¢= = - . 
· Khi t/tuyến vuông góc với ( )d thì hế số góc k của t/t ... 
1
1
x x
x
e e
I dx
e
+
=
-
ò . 
Gợi ý: Đặt 1xt e= - 2 1xt eÞ = - 
Suy ra 2 1xe t= + và 2 xtdt e dx= 
Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính 
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx
x
p
=
-ò
. 
Câu 4 (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính 
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x
p
=
+ò . 
Câu 5 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): 
Tính tích phân ( )
1 42 3
1
1I x x dx
-
= -ò 
Đáp số: Câu 1: 4I = ; Câu 2: 26
3
I = ; Câu 3: 
4
ln
3
I = 
 Câu 4: ln 2I = ; Câu 5: 
32
15
I = 
3. PP tích phân từng phần 
Lý huyết 
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -ò ò 
Dấu hiệu: Tích phân có dạng 
( )1 .sin
b
a
I f x xdx= ò ; ( )2 .cos
b
a
I f x xdx= ò ; ( )3 .
b
x
a
I f x e dx= ò 
Cách giải: Đặt ( ) ( )u f x du f x dx¢= Þ = 
Còn sindv xdx= , ta có cosv x= - 
 cosdv xdx= , ta có sinv x= 
 xdv e dx= , ta có xv e= 
Ví dụ 1: Tính ( )
4
1
0
2 3 sinI x xdx
p
= +ò 
Giải: 
· Đặt ( )2 3 2 3 2u x du x dx dx¢= + Þ = + = 
Với sindv xdx= , ta có cosv x= - . 
· Khi đó: ( )( ) ( )( )
4
4
1 0
0
2 3 cos cos 2I x x x xdx
p
p
= + - - -ò 
( )( )1 2 3 cos 2.0 3 cos04 4I
p pæ öæ ö= + - - + -ç ÷ç ÷
è øè ø
4
0
2 cos xdx
p
+ ò 
( ) 41 0
2
3 3 1 2sin
2 2
I x
pp æ öæ ö= + - - - +ç ÷ç ÷
è øè ø
2
3 3 2 sin sin 0
2 2 4
p pæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2
3 3 2 0
2 2 2
p æ öæ ö= - + + -ç ÷ç ÷
è ø è ø
2 2
3
2 4
p
= - - 
Nhận xét: Các em có thể tách 
4 4
0 0
2 sin 3sinI x xdx xdx
p p
= +ò ò 
┼- 26Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 51 52 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Sau đó tính 
4 4
0 0
2 sin 2 sinx xdx x xdx
p p
=ò ò bằng PP tích phân 
từng phần với cách đặt u x= . 
Và tính 
4 4
4
0
0 0
3sin 3 sin 3cosxdx xdx x
p p
p
= = -ò ò . 
Tính xong, cộng hai kết quả trên lại. 
Ví dụ 2: Tính ( )
2
2
0
5 2 xI x e dx= -ò 
Giải: 
· Đặt ( )5 2 5 2 2u x du x dx dx¢= - Þ = - = - 
Với xdv e dx= , ta có xv e= 
· Khi đó ( ) ( )
22
2 0
0
5 2 2x xI x e e dx= - - -ò 
( ) ( )
2
2 0
2
0
5 4 5 0 2 xI e e e dx= - - - + ò 
22
0
1. 5.1 2 xe e= - + ( )2 2 05 2e e e= - + - ( )2 25 2 1e e= - + - 
· Vậy 22 3 7I e= - 
Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến 
nhưng chúng ta không đổi cận. 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính ( )
1
0
2 1 xI x e dx= +ò . 
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): 
Tính tích phân ( )
2
0
2 1 cosI x xdx
p
= -ò . 
Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính ( )
1
0
4 1 xI x e dx= +ò . 
Đáp số: Câu 1: 1I e= + ; Câu 2: 3I p= - ; Câu 3: 3I e= + 
4. Tính diện tích hình phẳng 
Lý huyết 
Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b= = ( )a b< . 
( )
b
a
S f x dx= ò 
Cách tính ( )
b
a
S f x dx= ò : 
· Giải ph/trình : ( ) 0f x = tìm các nghiệm 1 2; ;...; nx x x thuộc 
đoạn [ ];a b . (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ) 
· Phân tích 
( )
b
a
S f x dx= ò ( ) ( ) ( )
1 2
1
...
n
x x b
a x x
f x dx f x dx f x dx= + + +ò ò ò 
Trên mỗi khoảng ( ) ( ) ( )1 1 2; , ; ,..., ;na x x x x b thì ( )f x có dấu 
xác định không thay đổi. 
Nên ( ) ( ) ( )
1 2
1
...
n
x x b
a x x
S f x dx f x dx f x dx= + + +ò ò ò 
{Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân} 
┼- 27Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 53 54 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
3y x x= - , trục hoành và các đường thẳng 0; 2x x= = 
Lời giải: 
· Diện tích hình phẳng cần tìm bằng 
2
3
0
S x x dx= -ò 
· Ta có ( )3 20 1 0x x x x- = Û - = 0; 1x xÛ = = ± 
Trên đoạn [ ]0;2 , ta loại bỏ 1x = - 
· Suy ra 
1 2
3 3
0 1
S x x dx x x dx= - + -ò ò 
( ) ( )
1 2
3 3
0 1
x x dx x x dx= - + -ò ò
1 2
4 2 4 2
0 1
4 2 4 2
x x x xæ ö æ ö
= - + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1 1 16 4 1 1
4 2 4 2 4 2
æ ö æ ö= - + - - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1 1 5
2
4 4 2
= + + = 
Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính và kiểm 
tra đáp án nhé ! 
Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét dấu để khử 
dấu giá trị tuyết đối của 3x x- trên đoạn [ ]0;2 . 
Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 
( )y f x= và ( )y g x= . 
Cách giải: 
· Giải ph/trình ( ) ( )f x g x= tìm được các nghiệm 1 2; ;..., nx x x 
(Giả sử 1 2 ... nx x x< < < ) 
· Diện tích hình phẳng cần tìm ( ) ( )
1
nx
x
S f x g x dx= -ò 
Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng ( )1 2;x x , 
( )2 3;x x ,, ( )1;n nx x- để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra 
ngoài dấu tích phân. 
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
...
n
n
xx
x x
S f x g x dx f x g x dx
-
= - + + -ò ò 
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
...
n
n
xx
x x
S f x g x dx f x g x dx
-
= é - ù + + é - ùë û ë ûò ò 
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
3 2y x x= - và 0y = 
Giải: 
· Ph/trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho : 3 2 0x x- = 
( )2 1 0 0; 1x x x xÛ - = Û = = 
· Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ( )
1
3 2
0
0S x x dx= - -ò 
( )
11 4 3
3 2
0 0
4 3
x x
S x x dx
æ ö
= - = -ç ÷
è ø
ò
1 1
4 3
= -
1
12
= 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
3 23y x x= + , trục hoành và các đường thẳng 2, 1x x= - = - . 
Câu 2 (Đề TN 2006, KPB): 
┼- 28Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 55 56 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số xy e= , 
2y = và đường thẳng 1x = . 
Gợi ý: Đề đã cho một cận là 1x = . 
Để tìm cận còn lại ta giải ph/trình 2xe = log 2 ln 2exÛ = = 
Chú ý: ln 2 1< 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng 
1
ln 2
2xS e dx= -ò . 
Các em tự tính tiếp nhé ! 
Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi các đường 2 6y x x= - + , 0y = . 
5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox) 
Lý huyết 
Dạng 1: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng 
( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường 
thẳng ;x a x b= = ( )a b< quay quanh trục hoành. 
( ) 2
b
a
V f x dxp= é ùë ûò 
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình 
phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số cosy x= , trục hoành và 
hai đường thẳng ;
6 2
x x
p p
= = quay quanh trục hoành. 
Giải: 
· Thể tích cần tìm bằng ( )
2
2
6
cosV x dx
p
p
p= ò 
( )
2 2
2
6 6
1
cos 1 cos 2
2
V xdx x dx
p p
p p
p p= = +ò ò 
2
6
1
sin 2
2 2
x x
p
p
p æ ö= +ç ÷
è ø
1 1 2
sin sin
2 2 2 6 2 3
p p p pp
æ öæ ö= + - -ç ÷ç ÷è øè ø
1 1 3
.0 .
2 2 2 6 2 2
p p pæ öæ ö
= + - -ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới 
hạn bởi các đường siny x= , 0y = , 0,
2
x x
p
= = . 
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) 
quanh trục hoành. 
Chuyên đề VII: Số phức 
1. Mô đun, các phép toán 
Lý huyết 
· Số phức z có dạng z a bi= + , trong đó ,a bΡ . 
· Môđun của số phức 2 2z a bi a b= + = + 
· Biết cách nhân hai số phức (Chú ý 2 1i = - ) 
Chia hai số phức: 
( )( )
( )( )
a bi c dia bi
c di c di c di
+ -+
=
+ + -
( )( )
2 2
a bi c di
c d
+ -
=
+
Số phức nghịch đảo: 
( )( ) 2 2
1 a bi a bi
a bi a bi a bi a b
- -
= =
+ + - +
┼- 29Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 57 58 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Ví dụ 1: Tính mô đun của số phức 4 2 5z i= - . 
Giải: 
( )224 2 5 36 6z = + - = = 
Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau. 
a) ( )( )3 5 3i i- + b) ( )
2
3 2i+
Giải: 
a) ( )( )3 5 3i i- + ( )215 9 5 3 15 3 1 4 18 4i i i i i+ - - = - - + = + 
b) 
( )
2
3 2i+
( )
( )( ) 2 2
2 3 2 6 4 6 4
3 2 3 2 133 2
i i i
i i
- - -
= = =
+ - +
6 4
13 13
i= - 
Ví dụ 3: Tính ( )32 3P i= + . 
Giải: 
( ) ( )22 3 2 3P i i= + + ( )( )22 6 2 9 2 3i i i= + + + 
( )( ) ( )( )2 9 6 2 2 3 7 6 2 2 3i i i i= - + + = - + + 
( )2 27 2 21 6 2 18 2i i i= - - + + 
7 2 18 2 21 12i i= - - - + 25 2 9i= - - 
Cách 2: Khải triển P (theo hằng đẳng thức) 
{ ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + } 
( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 32 3 2 .3 3 2 3 3P i i i= + + + 
2 2 18 27 2 27 25 2 9i i i= + - - = - - 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): 
Tính giá trị của biểu thức ( ) ( )2 21 3 1 3P i i= + + - 
2. Căn bậc hai của số thực âm 
Lý huyết 
· Căn bậc hai của số thực âm: Căn bậc hai của số thực 0a < gồm 
hai số i a- và i a 
Ví dụ: Căn bậc hai của 28- gồm 28 2 7i i- = - và 2 7i . 
Ghi nhớ: Chúng ta không viết 28- , mà chúng ta chỉ nói là 
các căn bậc hai của 28- . 
Bài tập: 
Tìm các căn bậc hai của 27- ; 45- . 
3. Phương trình bậc hai không có nghiệm thực 
Lý huyết 
· Giải phương trình bậc hai ( )2 0 0ax bx c a+ + = ¹ trên tập số 
phức £ . Với 2 4 0b acD = - < (Delta âm) 
Phương trình có hai nghiệm phức 
2
b i
x
a
- ± D
= 
Ví dụ: Giải phương trình 22 5 0x x- + = trên tập số phức £ . 
Giải: 
· Ta có ( )21 4.2.5 1 40 39 0D = - - = - = - < . 
· Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm ( )1 39
2.2
i
x
- - ±
= 
Hay 
1 39
4
i
x
±
=
1 39
4 4
i= ± 
┼- 30Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 59 60 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình sau trên tập số 
phức 22 5 4 0x x- + = . 
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau trên 
tập số phức 2 6 25 0x x- + = . 
Câu 3 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau trên 
tập số phức 2 2 2 0x x- + = . 
Lời nhắn: 
- Để ôn tập có trọng tâm, các em cần tập trung ôn tập bám sát 
theo các dạng toán mà cấu trúc đề thi đã đưa ra. 
- Làm thêm các bài tập tương tự các dạng trên ở SGK (để đối 
chiếu với đáp án SGK cho). 
- Dành thời gian để giải một số đề thi thử (theo cấu trúc của 
Bộ GD&DDT) để rèn luyện thêm. Khi làm, cần tạp trung và 
làm nghiêm túc theo đúng thời gian đã định (150 phút). 
- Sau mỗi lần giải đề, tự đánh giá xem phần nào đã đạt yêu 
cầu, phần nào chưa, còn yếu thì cố gắng rèn luyện thêm. 
- Trong quá trình biên soạn, thời gian gấp rút nên không thể 
tránh được các thiếu sót. Rất mong các em học sinh thông 
cảm, phát hiện và góp ý giúp thầy hoàn thiện bộ tài liệu này 
để có thể lưu hành cho các năm sau. 
Chúc các em ôn tập tốt ! 
Hãy vững tinh và bình tĩnh, đọc cẩn thận đề trước khi làm bài ! 
Nam Đông, ngày 10 tháng 04 năm 2009 
 Biên soạn 
 Đỗ Cao Long 
Địa chỉ liên hệ: 
Cụm 3, khu vực 2, thị trấn Khe Tre, huyện Nam Đông, tỉnh Thừa Thiên Huế.