Tổng hợp kiến thức Toán Lớp 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

 Trang 35 
BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 
1. Khái niệm cực trị của hàm số 
Định nghĩa 
Giả sử hàm số f xác định trên  K K  và 0x K 
a) 
0x được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b K chứa điểm 0x sao 
cho        0 0, ; \ .f x f x x a b x   
Khi đó  0f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f. 
b) 0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b K chứa điểm 0x sao 
cho        0 0, ; \ .f x f x x a b x   
Khi đó  0f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. 
Chú ý: 
1) Điểm cực đại (cực tiểu) 0x được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu)  0f x của hàm 
số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K. 
2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu)  0f x không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên 
tập K;  0f x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng  ;a b chứa 0x . 
3) Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm   0 0;x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm 
số f. 
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 
Định lí 1 
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm 0x thì  0 0.f x  
Chú ý: 
 Trang 36 
1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f  có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm số f không đạt 
cực trị tại điểm
0x . 
2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. 
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 
Định lí 2 
a) Nếu  f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại 
điểm 0x . 
b) Nếu  f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại 
điểm 0x . 
Định lí 3 
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  ;a b chứa điểm  0 0, 0x f x  và f có đạo hàm cấp hai 
khác 0 tại điểm 0x . 
a) Nếu  0 0f x  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0.x 
b) Nếu  0 0f x  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0.x 
Nếu  0 0f x  thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm. 
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI TẬP 
Dạng 1: Cho hàm số ( )f x hoặc ( )'f x . Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị 
1. Phương pháp 
Cách 1: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu 
Bước 1. Tìm  f x 
Bước 2. Tìm các điểm  1,2,...ix i  tại đó đạo hàm bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo 
hàm. 
 Trang 37 
Bước 3. Xét dấu  f x . Nếu  f x đổi dấu khi x qua điểm ix thì hàm số đạt cực trị tại điểm ix . 
Cách 2: Dùng định lý 3 
Bước 1: Tìm  f x 
Bước 2: Tìm các nghiệm  1, 2,...ix i  của phương trình   0.f x  
Bước 3: Tính  if x 
 Nếu   0if x  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm .ix 
 Nếu   0if x  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm .ix 
Nếu   0if x  thì ta lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị. 
* Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm  f x : Ta đi đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Giá trị cực đại của hàm số   22 1f x x x   là số nào dưới đây? 
A. 
3
.
3
 B. 3. C. 3. D. 
3
.
3
 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Hàm số đã cho xác định trên . 
Ta có:  
2
2
1 .
1
x
f x
x
  

Từ đó:   2
2 2
2 0 3
0 1 2 .
31 4
x
f x x x x
x x

       
 
Bảng biến thiên: 
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm
3
3
x  , giá trị cực đại của hàm số là
3
3.
3
f
 
   
 
Bài tập 2: Các điểm cực đại của hàm số   2sinf x x x  có dạng (với k ) 
A. 2 .
3
x k

   B. 2 .
3
x k

  
 Trang 38 
C. 2 .
6
x k

   D. 2 .
6
x k

  
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Hàm số đã cho xác định trên . 
Ta có:   1 2cosxf x   . Khi đó    
1
0 cosx 2 ,
2 3
f x x k k

         
  2sinf x x  
Vì 2 2sin 2 2sin 0
3 3 3
f k k
  
 
   
        
   
nên 2
3
x k

  là điểm cực tiểu. 
Vì 2 2sin 2 2sin 2sin 0
3 3 3 3
f k k
   
 
     
               
     
nên 2
3
x k

   là điểm cực đại 
Bài tập 3: Cho hàm số (x)y f có đạo hàm 2 3 2(x) (x 1)(x 3x 2)(x 2x)f       . 
Số điểm cực trị của hàm số (x)y f là 
A. 6. B. 2. C. 3. D. 5. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Ta có: 3(x) (x 2)(x 1) x(x 1)(x 2)f       và (x) 0f   có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị. 
Bài tập 4: Cho hàm số (x)y f có đạo hàm 2 2(x) x (x 1)(x 4)f     . Tìm số điểm cực trị của hàm số 
2(x )y f . 
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có: 2 2 5 2 2 2(x ) 2x.f (x ) 2x (x 1)(x 4)f
        
Phương trình 2(x ) 0f
    có 3 nghiệm bội lẻ là x 0,x 1   nên số điểm cực trị của hàm số 
2(x )y f 
là 3. 
Chú ý: 
 Đạo hàm của hàm số hợp         .f u x f u x u x   hay . .x u xf f u  
Bài tập 5: Cho hàm số (x)y f liên tục trên , có 
2
1 7
(x) 3x , x 0
x 2
f       . 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. Hàm số có đúng một điểm cực trị trên . 
B. Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên (0; ) . 
 Trang 39 
C. Hàm số không có điểm cực trị nào trên (0; ) . 
D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Với x 0  ta có: 
2
3
2 2
1 7 3 3 1 7 3 7
(x) 3x x x 3 0
x 2 2 2 x 2 2 2
f
 
           
 
. 
Vậy hàm số không có cực trị trên (0; ) . 
Bài tập 6: Cho hàm số (x)y f liên tục trên , có đạo hàm 
2 3 2(x) (x x 2)(x 6x 11x 6) (x)f g       với (x)g là hàm đa thức 
có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( (x)g đồng biến trên ( ; 1)  và 
trên (2; ) . Số điểm cực trị của hàm số (x)y f là 
A. 5. B. 2. 
C. 3. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Dựa vào đồ thị, phương trình (x) 0g  có 3 nghiệm bội lẻ là x 0, x 1, x 2   và một nghiệm bội chẵn là 
x 1  . 
Tóm lại, phương trình ' 0y  chỉ có x 1,x 0,x 2    và x 3 là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4 
điểm cực trị. 
Dạng 2. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm 
Bài tập 1: Cho hàm số (x)y f liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây. 
Số điểm cực tiểu của hàm số (x)y f là 
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương 1 lần nên có 1 điểm cực tiểu. 
Bài tập 2: Cho hàm số (x)y f liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số (x)y f là 
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. 
 Trang 40 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị. 
Bài tập 3: Cho hàm số (x)y f liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số (x)y f là 
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Chắc chắn hàm số có 3 điểm cực trị là x 1, x 2, x 3    . 
Xét tại điểm x 0 , đạo hàm đổi dấu, hàm số không có đạo hàm tại điểm x 0 , nhưng theo đề bài, hàm 
số liên tục trên nên (0)f xác định. Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị. 
Bài tập 4: Cho hàm số (x)y f liên tục trên  \ 1 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số (x)y f là 
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Hàm số có 3 điểm cực trị là x 2,x 2,x 3    (hàm số không đạt cực trị tại điểm x 1 vì hàm số không 
xác định tại điểm x 1 ). 
Bài tập 5: Cho hàm số (x)y f có bảng biến thiên của (x)f  như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số (x)y f là 
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
 Trang 41 
Dễ thấy phương trình (x) 0f   có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị. 
Dạng 3. Tìm (điểm) cực trị thông qua đồ thị  , ,f f f 
Bài tập 1: Cho hàm số (x)y f có đạo hàm đến cấp hai trên và có đồ thị hàm số  y f x như hình 
vẽ dưới đây (đồ thị (x)y f  chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa 
của hàm số là 
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Ta có bảng biến thiên của hàm số (x)y f  như sau 
Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số (x)y f  tại tối đa 2 điểm nên (x) 0f   có tối đa 2 nghiệm phân 
biệt. Vậy hàm số (x)y f có tối đa 2 điểm cực trị. 
Bài tập 2: Cho hàm số (x)y f là hàm đa thức. Trên hình vẽ là đồ thị hàm số (x)y f trên ( ; ]a (và 
hàm số (x)y f nghịch biến trên  ; 1  ), đồ thị của hàm số (x)y f  trên  ;a b (và 0(x ) 0f   ), đồ 
thị của hàm số (x)y f  trên  ;b  (và hàm số (x)y f  luôn đồng biến trên  ;b  , 1(x ) 0f   ). 
Hỏi hàm số (x)y f có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? 
 Trang 42 
A. 1. B. 6. C. 5. D. 3. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau: 
* Hàm số (x)y f nghịch biến trên  ; 1  nên  (x) 0, x ; 1f       và đồng biến trên  1;a nên 
 (x) 0, x 1;f a     . 
* Hàm số (x)y f  có  0(x) 0, x ;xf a    và  0(x) 0, x x ;f b    
 0(x) 0, x x ; .f b    
* Hàm số (x)y f  có  1(x) 0, x ;xf b    mà  1( ) 0 (x)<0, x ;xf b f b     
Lại có  1(x) 0, x x ;f      . Vậy trong khoảng  1x ; , phương trình (x) 0f   có tối đa 1 nghiệm, 
và nếu có đúng 1 nghiệm thì (x)f  đổi dấu khi qua nghiệm ấy. 
Vậy (x)f  có tối đa 3 nghiệm (bội lẻ) nên hàm số (x)y f có tối đa 3 điểm cực trị. 
Bài tập 3: Cho hàm số (x)y f có đạo hàm cấp hai liên tục trên . Trên hình vẽ là đồ thị hàm số 
(x)y f trên đoạn 2;3 , đồ thị của hàm số (x)y f  trên  ; 2  , đồ thị của hàm số (x)y f  
trên 3; . Hỏi hàm số (x)y f có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? 
 Trang 43 
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau: 
+ Đồ thị của hàm số (x)y f  trên  3; cắt trục hoành tại điểm 5, (x) 0x f   khi  x 3;5 và 
(x) 0f   khi  x 5;  . 
+ Đồ thị của hàm số ( )y f x trên  ; 2  cắt trục hoành tại điểm x 5, (x) 0f    khi  x ; 5   và 
( ) 0f x  khi  x 5; 2   . 
+ Đồ thị hàm số (x)y f trên đoạn  2;3 : hàm số đồng biến trên  2; 1  và  2;3 ; hàm số nghịch biến 
trên  1;2 
Từ bảng xét dấu trên, đồ thị (x)f  cắt trục hoành tối đa tại 2 điểm trên  3; , khi đó trên  2; thì 
(x)f  đổi dấu 2 lần, trên  ;2 thì (x)f  đổi dấu 3 lần nên hàm số (x)y f có tối đa 5 điểm cực trị. 
Dạng 4: Cực trị hàm bậc ba 
1. Phương pháp 
Bước 1. Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 0x thì  0 0f x  , tìm được tham số. 
Bước 2. Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại. 
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau: 
+) Hàm số đạt cực tiểu tại
 
 
0
0
0
0
.
0
f x
x x
f x
 
  
 
+) Hàm số đạt cực đại tại
 
 
0
0
0
0
.
0
f x
x x
f x
 
  
 
 Trang 44 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Tìm m để hàm số  3 2 2
1
4 3
3
y x mx m x     đạt cực đại tại điểm x = 3. 
A. 1.m   B. 5.m   C. 5.m  D. 1.m  
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có 2 22 4 2 2 .y x mx m y x m        
Hàm số đạt cực đại tại 3x  thì 
  2
1
3 0 6 5 0 .
5
m
y m m
m

        
 Với  1, 3 ...  6. 6 0g f    nên ta có bảng xét dấu  g x như sau: 
Bài tập 2. Cho hàm số  y f x có đạo hàm liên tục trên . Hàm 
số  y f x có đồ thị như hình vẽ. 
Số cực trị của hàm số    2 2h x f x x  là 
A. 2. B. 4. 
C. 3. D. 5. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có:      2h 2 2 . 2 .   x x f x x 
Dựa vào đồ thị, ta có   2
2
1
h 0 2 1
2 3.


     
  
x
x x x
x x
Phương trình trên chỉ có 3 nghiệm bội lẻ là 1, 3  x x nên hàm số 
 h x chỉ có 3 điểm cực trị. 
dấu của một khoảng nào đó sẽ 
suy ra dấu ở các khoảng còn 
lại. Do hàm số liên tục, nên chỉ 
cần biết dấu tại 1 điểm, ta sẽ 
biết dấu ở khoảng chứa điểm 
đó. 
Ở bài này, ta xét tại điểm 
( )3 2;x = Î + ¥ . 
Chú ý: Ta chỉ cần quan tâm 
đến nghiệm bội lẻ, nên trong 
bài này ta bỏ qua nghiệm x=0 
của phương trình ( )' 0f x = 
(là nghiệm bội chẵn nên đạo 
hàm không đổi dấu khi qua 
nghiệm này). Ta cũng không 
cần xét đến phương trình 
2 2 1x x   
Bài tập 3. Cho hàm số  y f x có đồ thị hàm số  y f x như hình vẽ: 
 Trang 97 
Biết        0; 0 .   f a f c f b f e 
Số điểm cực trị của hàm số    
2
   g x f x m là 
A. 5. B. 7. C. 6. D. 8. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Từ đồ thị của đạo hàm, ta có bảng biến thiên sau: 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy  y f x có 4 điểm cực trị, suy ra hàm số   y f x m cũng có 4 điểm 
cực trị và   0  f x m có 4 nghiệm bội lẻ phân biệt. Khi        0; 0   f a f c f b f e thì đồ thị 
hàm số  y f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên đồ thị hàm số   y f x m cũng cắt trục hoành 
tại 3 điểm phân biệt. 
Ta có          
2
2 . .        g x f x m g x f x m f x m 
Cho  
 
 
0
0
0
  
   
 
f x m
g x
f x m
 
 
1
2 .
Phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt, phương trình  2 có 3 nghiệm phân biệt khác với 4 nghiệm của 
phương trình  1 . Vậy  g x có 7 nghiệm (bội lẻ) phân biệt hay  g x có 7 điểm cực trị. 
Bài tập 4. Cho hàm số  y f x có đạo hàm liên tục trên , hàm số  2 y f x có đồ thị như hình 
dưới. Số điểm cực trị của hàm số  y f x là 
 Trang 98 
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có số điểm cực trị của hàm số  y f x bằng với số điểm cực trị của  2 y f x . Vì hàm số 
 2 y f x có 2 điểm cực trị nên hàm số  y f x có 2 điểm cực trị. 
Bài tập 5. Cho hàm số  y f x liên tục trên có đồ thị  2 y f x như hình vẽ. Số điểm cực trị 
của hàm số  2 3 4  y f x là 
A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số  2 3 4  y f x bằng với số điểm cực trị của hàm số  y f x 
và bằng với số điểm cực trị của hàm số  2 y f x . Ta có đồ thị hàm số  2 y f x cắt trục hoành 
tại 4 điểm phân biệt nên hàm số  2 y f x có 4 điểm cực trị. Vậy hàm số  2 3 4  y f x có 4 điểm 
cực trị. 
Dạng 17. Biết được  f x hoặc bảng xét dấu, bảng biến thiên của  f x , tìm số điểm cực trị của 
hàm ẩn 
Bài tập 1. Cho hàm số  y f x có đạo hàm     34 1 2f x x x x     , .x  Số điểm cực trị của 
hàm số    2 4g x f x x m   là 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. 
Hướng dẫn giải 
 Trang 99 
Chọn A. 
Ta có        2 6 2 3 2 62 4 1 2 4 2 4 1g x x x x x x x x x           . 
 
0
0 1
2.
x
g x x
x

    

  
Lập bảng xét dấu  g x : 
Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số  g x có 2 điểm cực tiểu. 
Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm, ta có thể lập bảng xét dấu thu gọn như sau: 
Bài tập 2. Cho hàm số  y f x có đạo hàm     
42 1 2f x x x x    , .x  Số điểm cực trị của 
hàm số    2 1g x f x x   là 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có: 
     22 1 1g x x f x x     
     
2 4
2 2 22 1 1 2 3x x x x x x x        
Dễ thấy   0g x  có 3 nghiệm đơn là 
1
2, , 1
2
x x x     nên hàm số có 3 điểm cực trị. 
Bài tập 3. Cho hàm số  y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: 
Số điểm cực trị của hàm số     3 2
3
6 2020
2
g x f x x x x     là 
A. 3. B. 2. 
C. 1. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
 Trang 100 
Ta có:      23 2 .g x f x x x     
Nhận xét:    1 2 0.g g    
 Khi 
2
1
x
x

  
 thì 
 
 
 
2
0
0
3 2 0
f x
g x
x x
 
 
   
. 
 Khi 1 2x   thì 
 
 
 
2
0
0
3 2 0
f x
g x
x x
 
 
   
. 
Tức là  g x đổi dấu khi đi qua 2 điểm 1x   và 2x  . 
Vậy hàm số  g x có hai điểm cực trị. 
Bài tập 4. Cho hàm số  y f x có đạo hàm      2 21 2f x x x x    với .x  Có bao nhiêu giá trị 
nguyên dương của tham số m để hàm số  2 8f x x m  có 5 điểm cực trị? 
A. 17. B. 16. 
C. 14. D. 15. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Đặt    2 8g x f x x m   . 
Ta có:      
2
1 2f x x x x    suy ra 
     22 8 8g x x f x x m     
     
2
2 2 22 8 8 1 8 8 2 .x x x m x x m x x m          
 
   
   
   
2
2
2
2
4
8 1 0 1
0
8 0 2
8 2 0 3
x
x x m
g x
x x m
x x m


   
  
  

   
Các phương trình  1 ,  2 ,  3 không có nghiệm chung từng đôi một và  1 nếu có các nghiệm thì 
nghiệm ấy là nghiệm bội chẵn. 
Suy ra  g x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi  2 và  3 đều có 2 nghiệm phân biệt khác 4 
16 0 16
16 2 0 18
16.
16 32 0 16
16 32 2 0 18
m m
m m
m
m m
m m
   
       
    
      
Do m nguyên dương và 16m  nên có 15 giá trị m cần tìm. 
 Trang 101 
Bài tập 5. Cho hàm số  y f x có đạo hàm        2 21 2 3 2 5f x x x x x mx       với mọi 
x . Có bao nhiêu số nguyên 20m   để hàm số    g x f x có đúng 5 điểm cực trị? 
A. 6. B. 7. C. 9. D. 5. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm số  f x nên hàm số    g x f x có đúng 5 điểm 
cực trị  f x có 2 điểm cực trị dương   0f x  có 2 nghiệm bội lẻ phân biệt và dương  * . 
Xét  
 
 
2
2
1
2
0
3 0
2 5 0 1 .
x
x
f x
x
x mx

 

     

   
Để thỏa mãn  * ta có các trường hợp sau: 
+)  1 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm khi và chỉ khi 
2 5 0 5 5m m        . 
Do m nguyên âm nên  2; 1;0;1;2m   . 
+)  1 có 2 nghiệm dương phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1, nghiệm còn lại khác 2. 
Ta có  1 nhận 1x  là nghiệm khi 21 2.1. 5 0 3m m      . Khi 3m   , thế vào  1 ta thấy 
phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt là 1x  và 5x  . Vậy 3m   thỏa mãn. 
+)  1 có 2 nghiệm dương phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 2, nghiệm còn lại khác 1. 
Nếu  1 nhận 2x  là nghiệm thì 2
9
2 2.2. 5 0
4
m m       . 
Trường hợp này không có giá trị nguyên của m thỏa mãn. 
Vậy  3; 2; 1;0;1;2 .m    
Bài tập 6. Cho hàm số  y f x có đạo hàm liên tục trên và bảng xét dấu đạo hàm như sau: 
Hàm số    4 2 6 4 23 4 6 2 3 12g x f x x x x x       có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? 
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
 Trang 102 
Ta có:         22 2 212 2 2 2 1 .g x x x f x x            
Dựa vào bảng xét dấu, ta có      0, ; 2 2; .f x x        
Ta có  
2
22 2 2x     nên  
2
22 2 0.f x     
  
Suy ra    
2
2 22 2 1 0, .f x x x         
  
Do đó  
0
0
2
x
g x
x

   
 
 , cả 3 nghiệm đều là nghiệm bội lẻ. 
Vì     22 212 2 2 1 0f x x       nên  g x cùng dấu với    2 2h x x x  nên dễ thấy hàm số 
 g x có 2 điểm cực tiểu. 
Bài tập 7. Cho hàm số  y f x có bảng biến thiên như sau: 
Số cực đại của hàm số    
2
22g x f x x    là 
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có 
          
 
2 2 2
2
1
4
2. 4 1 . 2 . 2 0 2 0
2 0.
x
g x x f x x f x x f x x
f x x

 

         

 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có 
 
2
2
2
1
2 2
2 0 1
.2 1
2
x
x x
f x x
xx x
         
   
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình   00 1.f x x x    
Khi đó  2 2 02 0 2 0.f x x x x x      
Vì  02 0ac x   nên phương trình này luôn có 2 nghiệm trái dấu là 
 Trang 103 
0 0
1 2
1 8 1 81 1
; .
4 4 4 4
x x
x x
 
      
Ta có 
1
1 1 8
1
4 4
x

     và 2 0
1 1 8 1
, 1
4 4 2
x x

      . 
Ta có bảng xét dấu của  g x : 
Từ đó suy ra hàm số  g x chỉ có 2 điểm cực đại. 
Bài tập 8. Cho hàm số  y f x liên tục trên , có bảng biến thiên  f x như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số    3 5 3
1 2
3 3 20
5 3
g x f x x x x x      trên đoạn  1;2 là 
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có:      2 3 21 3 3 3 .g x x f x x x        
Dễ thấy khi  1;2x  thì    3 3 2;2x x   và khi ấy    3 3 3;1f x x    . 
Suy ra  3 23 3 3 0f x x x     . 
Dấu " " xảy ra khi 
 
 
3
2
3 1
0 1
0
f x x
f
x
   
 

 (vô lí). 
Vậy    3 23 3 3 0, 1;2f x x x x        . 
Khi đó   0 1g x x     (đều có 2 nghiệm đơn). 
Bảng xét dấu    , 1;2g x x   là 
 Trang 104 
Vậy hàm số    3 5 3
1 2
3 3 20
5 3
g x f x x x x x      trên đoạn  1;2 chỉ có 1 điểm cực trị. 
Bài tập 9. Cho hàm số  y f x có đạo hàm       1 2 4 5f x x x x x      với x . Có bao 
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số    g x f x mx  có 4 điểm cực trị? 
A. 5. B. 6. 
C. 7. D. 8. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có:    x .g f x m   
Cho       2 2x 0 0 6 5 6 8 0.g f x m x x x x m            
Đặt  
2
3t x  , 0t  , phương trình trở thành: 
   24 1 0 5 4 0t t m t t m          1 . 
Hàm số    g x f x mx  có 4 điểm cực trị khi và chỉ khi  1 có 2 nghiệm dương phân biệt 
 25 4 4 0
9
5 0 4.
4
4 0
m
S m
P m
    

      
   
Do m nguyên và 
9
;4
4
m
 
  
 
 nên  2; 1;0;1;2;3 .m   
Bài tập 10. Cho hàm số  y f x có đạo hàm   28 , 8; 8 .f x x x x         Có tất cả bao nhiêu giá 
trị nguyên của tham số m để hàm số     2 2g x f x m x m   có 2 điểm cực trị? 
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Hàm số     2 2g x f x m x m   xác định trên 8; 8   . 
Đạo hàm     2 2 2x 8g f x m x x m      . 
Hàm số     2 2g x f x m x m   có 2 điểm cực trị khi   0g x  có 2 nghiệm phân biệt và  g x đổi 
dấu qua các nghiệm đó  1 . 
Ta có: 
2 2 2 28 0 8x x m x x m       * . 
Xét hàm số   28 , 8; 8 .h x x x x       
 Trang 105 
Có  
2
2
8 2
.
8
x
h x
x

 

 Cho   0 2.h x x     
Bảng biến thiên của hàm  h x : 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra  * có tối đa 2 nghiệm hay   0g x  có tối đa 2 nghiệm. 
Vậy   2
2 2
1 0 4
0.
m
m
m
  
    

Vì m nguyên nên  1;1 .m 