Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

TRƯỜNG PT CẤP II – III VÕ THỊ SÁU 
TỔ TOÁN - TIN
 	SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC
Người viết : ĐOÀN NGỌC LAN
Đơn vị : TRƯỜNG CẤP II – III VÕ THỊ SÁU
Tuy an tháng 03 năm 2008
A. PHẦN MỞ ĐẦU 
1/ Lý do chọn đề tài:
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là một dạng toán rất quan trọng . Chúng ta thường thấy xuất hiện khá nhiều kì thi như tuyển sinh vào lớp 10 , tuyển sinh đại học và cao đẳng ,các kì thi học sinh giỏi .Học sinh gặp không ít khó khăn khi gặp các dạng toán này .Trong chuyên đề này tôi xin cung cấp cho học sinh cũng như giáo viên một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.Nhằm góp phần cho việc dạy và học ngày càng tốt hơn .
2/Mục đích nghiên cứu :
Tôi muốn đưa ra một số phương pháp cơ bản nhất .Nhằm làm tư liệu cho việc dạy và học ngày càng được nâng cao hơn .Góp phần đưa chất lượng giáo dục nước ta đáp ứng với xu hướng phát triển của đất nước.
3/Đối tượng ,phạm vi nghiên cứu :
Cùng trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp đang giảng dạy toán chương trình phân ban lớp 10 ,lớp 11 chương trình không phân ban của lớp 12 hiện nay, cũng như những học sinh muốn nâng cao, mở rộng vốn kiến thức toán học của mình .
4/ Nhiệm vụ nghiên cứu :
Tìm ra một phương pháp cơ bản nhất để khắc phục những khó khăn lúng túng của học sinh cũng như giáo viên .Trong quá trình học tập và giảng dạy môn toán , làm tư liệu tham khảo cho tổ toán của trường Võ Thị Sáu và những ai quan tâm đến đề tài này.
5/phương pháp nghiên cứu .
Trao đổi với đồng nghiệp đang giảng dạy toán thấy sự cần thiết của vấn đề .Vấn đề được đưa ra thảo luận trước tổ Toán- Tin của trường cấp II - III Võ Thị Sáu ,cùng những học sinh quan tâm. Làm sao cho học sinh cũng như giáo viên thấy được sự quan trọng và hấp dẫn của nó . Từ đó người viết tổng hợp và đưa ra các phương pháp cơ bản nhất , những điều trọng tâm nhất của vấn đề.
6/Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :
Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức. 
I. Phần mở đầu.
II. Nội dung đề tài.
- Chương 1: Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu.
- Chương 2: Thực trạng của đề tài nghiên cứu.
- Chương 3: Biện pháp giải pháp chủ yếu để thực hiện đềtài. 
III. Kết luận và kiến nghị.
B/NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Chương I: Cơ sở lý luận liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm
1/Cơ sở pháp lý :
Dựa trên nội dung vàchương trình phân ban và không phân ban của BGD & ĐT .Dựa trên sự xuất hiện của dạng toán này qua những kì thi trong các năm qua. 
	2/Cơ sở lý luận :
Trên cơ sở nội dung sách giáo khoa toán lớp 10 đã trình bày. Trước sự phát triển như vũ bão của khoa học - công nghệ hiện nay, nếu con người không tiếp cận được với những tri thức một cách cơ bản , những hiểu biết về khoa học cơ bản một cách chắc chắn họ sẽ nhanh chóng trở nên lạc hậu với thời cuộc và bị đào thải. Xã hội hiện đại đòi hỏi con người phải nhạy bén với cái mới, nhanh chóng tiếp cận và nắm bắt các thành tựu khoa học- công nghệ hiện đại.Tuy nhiên khoa học cơ bản vẫn là nền tản cho mọi vấn đề do vậy việc nghiên cứu tìm hiểu chắc chắn một vấn đề là cần thiết .
 Việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán học hiện nay ở trường THPT là gì? Là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Tích cực nhận thức là biểu thị sự nỗ lực, chủ động của học sinh trong quá trình học tập và nghiên cứu, là sự biểu hiện mức độ huy động cao các chức năng tâm lý nhằm giải quyết nhiệm vụ nhận thức, góp phần làm cho nhân cách tri thức của chủ thể phát triển.Trên cơ sở đó phát huy hoạt động tích cực của học sinh bằng cách cung cấp những tài liệu cần thiết, phù hợp với nội dung và chương trình đang giảng dạy làm cho học sinh có một cách nhìn tổng quát hơn về vấn đề mình đang học .Từ đó làm cho việc học tập môn toán thêm hấp dẫn lôi cuốn hơn , gặt hái được nhiều thành công hơn .
	3/Cơ sở thực tiễn:
Như chúng ta đã biết: Do lượng thông tin ngày nay tăng nhanh nên giáo dục phải tiếp cận với những thành tựu mới nhất của khoa học – công nghệ bằng cách chọn lọc nội dung, đổi mới phương pháp dạy học và ứng dụng các phương tiện dạy học hiện đại thì mới có thể giải quyết được mâu thuẫn giữa sự bùng nổ thông tin với thời gian học, trình độ, sức lực của người học hiện nay, mới có thể giải quyết được vấn đề quá tải trong việc học của người học.Với sự ra đời và phổ cập của nhiều thế hệ máy tính điện tử, tính chất của lao động đang dần dần thay đổi. Trong các lĩnh vực của đời sống xã hội, máy tính đã đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả, chất lượng của công việc và quản lí. Chính vì qua nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu các phương pháp dạy học của các bạn đồng nghiệp ở những tiết dạy tôi nhận thấy học sinh học tập ít sôi nỗi, ít tích cực hoạt động và còn tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Do vậy trong nhà trường hiện nay, việc sử dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại, nhất là máy vi tính để phát huy hoạt động tích cực của học sinh trong dạy học nhằm nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết phải thực hiện. Bên cạnh giáo viên cầng cung cấp cho học sinh những tư liệu cần thiết , tổ chức các buổi học ngoại khoá về các chuyên đề .
Chương 2: Thực trạng của đề tài.
	1. Khái quát phạm vi:
Trong phạm vi nghiên cứu ở trường, tôi nhận thấy đa số giáo viên trung học phổ thông là giáo viên trẻ và việc giảng dạy của giáo viên còn thiếu kinh nghiệm. Về phía học sinh sinh sống ở nông thôn, bố mẹ chủ yếu làm nghề nông, nghề biển . Ngoài việc đi học đa số học sinh về nhà còn lo phụ giúp gia đình việc đồng án, đi biển và có học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắng nên việc tự học, tự nghiên cứu của học sinh chưa cao.Một phần học sinh còn thiếu tư liệu phục vụ cho việc học tập của mình ,ngoài sách giáo khoa.
	2. Thực trạng của đề tài nghiên cứu:
Trước tình hình thực tế của trường hiện nay việc đa số các bài học không thể thực hiện một cách đầy đủ các nội mà giáo viên cần truyền đat, giáo viên còn sử dụng phương pháp thiết trình hoặc đàm thoại nên ít thu hút sự chú ý của học sinh, học sinh ít hứng thú học tập. Còn học sinh thì chưa biết cách tự học, tự nghiên cứu, tự tìm tòi học hỏi, vẫn còn thói quen với cách học cũ tiếp thu kiến thức một cách thụ động.
Chính vì thế cần phải có giải pháp khắc phục tình trạng nêu trên. Đó là sử dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại. Tổ toán cần cung cấp những tư liệu cần thiết ,tổ chức những buổi ngoại khoá về các vấn đề mà học sinh gặp khó khăn trong quá trình học toán, để phát huy hoạt động tích cực của học sinh trong dạy học .
	3. Nguyên nhân của thực trạng .
Nguyên nhân chính ở đây kinh nghiệm giảng dạy,khảûnăng truyền đạt của một số giáo viên còn thấp .Việc soạn giáo án chưa thật sự đi vào trọng tâm chính của vấn đề chưa có sự mở rộng và nâng cao những kiến thức liên quan dẫn đến việc học sinh chưa tìm thấy những vấn đề mới, chưa khơi gợi sự tò mò , hiểu và tiếp thu kiến thức ở một số bài bị hạn chế.
Chương 3: Biện pháp, giải pháp chủ yếu để thực hiện sáng kiến kinh 
 nghiệm.
	1. Cơ sở đề xuất các giải pháp:
Chúng ta đã biết nội dung giáo dục ở THPT có những đặc điểm:
- Bảo đảm củng cố, phát triển những nội dung đã học ở trung học cơ sở, hoàn chỉnh và nâng cao trình độ giáo dục phổ thông, bảo đảm kiến thức phổ thông cơ bản, toàn diện và hướng nghiệp cho học sinh.
- Chú trọng nâng cao tính khoa học hiện đại, tính tư tưởng, phù hợp với thực tiễn của đất nước và xu thế phát triển giáo dục của thế giới, phát triển năng lực, phẩm chất của người học, đáp ứng nhu cầu, hứng thú, nguyện vọng của học sinh, vừa chuẩn bị cho học sinh học lên bậc học cao hơn học tập suốt đời, học nghề và giúp cho học sinh có thể bước vào cuộc sống lao động.
- Bao gồm cả phần thực hành, rèn luyện trong và ngoài giờ lên lớp, trong và ngoài nhà trường.Quan tâm đến việc hình thành cách học chủ động, tìm tòi của học sinh, thay đổi phương pháp dạy học của giáo viên theo hướng tập trung vào hoạt động của người học và việc học. Dạy học hướng tới phát huy tính tích cực, vai trò chủ động , tính sáng tạo của học sinh là xu thế chung của đổi mới giáo dục trung học phổ thông ở các nước. Đồng thời, để nâng cao hiệu quả của phương pháp dạy học cần mở rộng việc áp dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại vào quá trình dạy học, cải thiện điều kiện môi trường giáo dục .
Trên cơ sở đó, để thực hiện dáng kiến có hiệu quả cần có các giải pháp chủ yếu sau.
2. Các giải pháp chủ yếu:
- Cần trang bị cho học sinh một phương pháp học tập đúng đắn ,có niềm say mê yêu thích môn học đặc biệt là môn toán , phù hợp với phương pháp dạy học mới.
- Mở lớp bồi dưỡng chuyên đề cho cho giáo viên .Nhằm giúp cho giáo viên biết soạn giáo án một cách chính xác đi vào trọng tâm của bài mở rộng nâng cao cho học sinh một cách phù hợp và giảng dạy một cách nhịp nhàng dễ hiểu.
- Với học sinh, cần hướng dẫn các em chuyển dần từ cách học cũ tiếp nhận kiến thức thụ động sang kiểu học mới tự nghiên cứu, tự thể hiện, tự tìm tòi, quan sát, mô tả, giải thích, phát hiện, định hướng giải quyết vấn đề.
	3. Tổ chức, triển khai thực hiện:
Thực tế thì việc học sinh tự tìm thấy chân lí, hiểu và tiếp thu kiến thức một cách chính xác và đầy đủ là rất khó khăn nếu thiếu tư liệu và sự hướng dẫn .Cụ thể với nội dung :
Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.
Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán và phương pháp giải nhằm tháo gỡ những khó khăn trong quá  ... ể biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Giải: Vì x > 0 nên > 0 do đó
	Ta có:
	=
Do đó dấu “ = “ sảy ra khi x = 2000 nên khi x= 2000
Vậy maxM = đạt được khi x = 2000
Bài4: Cho .Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
Giải: Ta có 
	Do đó : .Dấu bằng sảy ra chẳng hạng khi: 
	Vậy min T = -1/2
	Ta có :
Suy ra Dấu bằng sảy ra khi 
Vậy maxT = 1 khi
III-BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM THỨC BẬC HAI.
-Ta cần chú ý PT bậc hai :
	Nếu PT có nghiệm thì 
	Nếu thì 
-Xét bài toán GTLN và GTNN của hàm số với MXĐ là R
Ta chuyển biểu thức của y nêu trên về PT dạng :.Trong đó 
Hiển nhiên A , B, C là các giá trị phụ thuộc y.Phương trình này phải có nghiệm x. Từ đó dựa vào điều kiện để tìm GTLN và GTNN.
Chú Ý: 1)Ta cần xét A = 0 và so sánh giá trị y ở hai trường hợp và A = 0 trước khi kết luận.
	2)Đồ thị là một pẩ bol với đỉnh 
	3) Nếu dùng ẩn phụ để đưa về dạng bậc hai thì phải chú ý điié kiện kèm
 theo.
Bài1:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải: Ta có tập xacù định của hàm số là R	
	(*)	
	+ Xét y -1 = 0 y = 1 ta có x = -1
	+ xét y1 vì PT (*) có nghiệm x nên hay 
So sánh hai trường hợp trên ta có :	maxy = 2 khi x = 1
	 	miny = 6/7 khi x = -3
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
Giải: Đặt t = sinx điều kiện Ta có y = t2 – t + 4 ta có hoành độ đỉnh 
	Suy ra maxy = max 
Giá trị này đạt được khi sin x= -1 và min y = ys = f(1/2) = 15/ 4. Giá trị đạt được khi sinx = 1/2
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải: Điều kiện .Đặt 
	Ta có 
	Ta lại có : 
	Do đó với 
	Cần chú ý g(t) là một parabol lồi với đỉnh S có hoành độ t = 1. Hơn nữa 
	Nên minf = min g = 
	Maxf = max g = g(3) = 3
Bài4:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
	Giải: Ta có 
	Đặt Ta có 	
	Khi đó 
	Hoành độ đỉnh ts = -1 - 9/4 nên miny =f(-1) = -1
	Vì khi thì nên không tồn tại giá trị lớn nhất .
IV.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ.
	-Biến đổi kết hợp qui tắc , các hằng đẳng thức chú ý điểm chèn
 .trung điểm , trọng tâm, tâm ngoại tiếp 
-Khoảng cách giữa hai điểm 
	-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 
-Để ý bất đẳng thức :AB+BCAC dấu “ = “ sảy ra khi A ,B , C thẳng hàng theo thứ tự đó.
Bài1:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
	Giải:Trong mặt phẳng Oxy chọn 
	Với Ta có : 
Và 
	Suy ra : 
	Vì M nằm trong hình vuông OIJK cạnh nên 
	Vậy maxy = ; min y = 
Bài: Cho 2x + 2y – z – 9 = 0. Tìm GTNN của 
Giải: Trong không gian Oxyz ta xét điểm :A(1;2;3) và mặt phẳng 
:2x + 2y – z – 9 = 0
	Nếu M(x ; y ;z)thì :
Mà AM nên 
Dấu bằng sảy ra khi M(x;y;z) là chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng 
.	Vậy GTNN của biểu thức đã cho là 4.
V. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ 
BUNHIACÔPXKY-SHWARZ
-Ta có bất đẳng thức côsi : Với a,b0 ta có Dấu đẳng thức sảy ra khi a = b
	-Bất đẳng thức Côsi tổng quát :với ta có 
-Bất đẳng thức Bunhiacôpsky – Shwarz: Với hai cặp số thực bất kỳ (a;b) và (c;d) ta có :	
	Hay 
	Dấu bằng sảy ra khi ad = bc hay là 
	Tổng quát :Với hai bộ số thực bất kỳ :(a1;a2;;an)và (b1;b2;;bn) .Ta có :
	Dấu bằng sảy ra khi 
Chú ý: Có khi ta phải thêm , bớt , tách nhóm, chia nhân các số hạng để đưa về dạng có thể áp dụng được trực tiếp.
Bài1:Tìm GTLN của biểu thức :
	 Với a3 ; b4;c2
	Giải: Ta có 
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi
 ta có:
	Suy ra Dấu bằng sảy ra khi c – 2=2 c =4
	Tương tự :	Dấu bằng sảy ra khi a– 3= 3a = 6
	 	Dấu bằng sảy ra khi b– 4= 4b = 8
Vậy max A Khi a = 6 ; b= 8 ; c = 4
Bài2:Tìm GTNN của hàm số với x >0.
Giải:	Ta có = 
	Dấu bằng sảy ra khi 
	Vậy miny = 3
Bài: Cho x , y , z >0 thỏa điều kiện x +y +z = 1.Tìm GTLN của biểu thức :
Giải : Vói a, b ,c >0 ta có bất đẳng thức quen thuộc :
	Do đó 
	Dấu bằng sảy ra khi x = y= z = 1/3
	Vậy maxQ = ¾
Bài4: Cho x,y z thỏa điều kiện . Tìm GTLN và GTNN của biểu
 	thức P = x+y+z +xy+yz+zx.
Giải: Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky – swharz ta có :
	 và 
	Suy ra Dấu bằng sảy ra khi x=y=z=1/3.
	Vậy maxP = 
Mặt khác ta có 
	Suy ra 
	Dấu bằng sảy ra chẳng hạng khi x=-1; y= 0 ;z= 0
	Vậy minP = -1
Bài5: Cho ba góc a,b,c sao cho a+b+c= .Tìm GTLN của biểu thức :
Giải: Ta có 
	Nên tga.tgb+tgb.tgc+tga.tgc = 1.
Khi đó 
	=
	Dấu bằng sảy ra khi a = b=c=
	Vậy maxT =
VI.PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM .
GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng 
PP: Lập bảng biến thiên của hàm số trên rồi dựa vao bảng biến thiên để kết luận.
GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn .
 PP1:Để giải bài toán này ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên.
	PP2: Làm theo qui tắc sau:
	i)Tìm các điểm tới hạn của f(x) trên đoạn 
	ii) Tính f(a) ; f(x1);.;f(xn);f(b)
	iii)So sánh số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên và kết luận.
Bài1:Tìm GTNN của hàm số trên khoảng 
Giải: Ta có ; 
	Bảng biến thiên
Vậy 
Bài2:Tìm GTLNvà GTNN của hàm số 
Giải: Ta có TXĐ: R
	Bảng biến thiên
Vậy maxy= khi ;miny= khi 
Bài3:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải: Trước hết ta xét hàm số có TXĐ là 
	Ta có 
	Ta có Do đó : 
	Suy ra Vậy maxy = 1 và miny = 
Bài4:Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn 
	Ta có ; 
	Ta có :
	So sánh các giá trị trên suy ra : maxy ; miny 
	C/ KẾT LUẬN
Kết luận : Trên đây là một số dạng toán và cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức. 
Được triển khai áp dụng trong đơn vị trường cấp II-III Võ Thị Sáu .Được tập thể tổ Toán tin đánh giá cao ,về phía học sinh, các em xem đây là tư liệu tham khảo cần thiết cho việc học tập của mình . Với khả năng của mình không sao tránh khỏi những thiếu sót .Mong các đồng nghiệp góp ý xây dựng để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Kiến nghị :
 Qua giảng dạy tôi nhận thấy việc viết sáng kiến đem lại nhiều lợi ích thiết thực cho giáo viên cũng như học sinh .Về phía nhà trường nên yêu cầu mỗi giáo viên hàng năm nên viết sáng kiến kinh nghiệm của mình về lĩnh vực nào đó ,xem đây là một tiêu chí thi đua .Nhà trường tổ chức báo cáo kinh nghiệm đó để cùng nhau học tập . Về phía Sở giáo dục, hàng năm nên cung cấp những sáng kiến những đề tài có chất lượng cao cho các trường học tập .Qua đó nâng cao chất lượng giáo dục trong thời kỳ mới .
	Tuy an ngày 10 tháng 03 năm 2008
	Người viết 
	Đoàn Ngọc Lan
	MỤC LỤC
Nội dung trang
 II / PHẦN MỞ ĐẦU 	1
	1/Lý do chọn dề tài	1
	2/Mục đích nghiên cứu 	1
	3/Đối tượng phạm vi nghiên cứu	1	`	4/Nhiệm vụ nghiên cứu	1
 	5/Phương pháp nghiên cứu 	1 
	6/Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 	1 
II / NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM	2
 CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận liên quan đến SKKN	2
	1/Cơ sở pháp lý 	2
	2/Cơ sở lý luận	2
	3/ Cơ sở thực tiễn	2
 CHƯƠNG II : Thực trạng của đề tài nghiên cứu 	3
	1/Khái quát phạm vi :	3
	2/Thực trạng của sáng kiến kinh nghiệm	3
	3/Nguyên nhân của thực trạng .	3
CHƯƠNG III :Biện pháp giải pháp chủ yếu để thực hiện 
	sáng kiến kinh nghiệm	3
	1/ Cơ sở đề xuất giải pháp	3
2/Các giải pháp chủ yếu	4
	3/Tổ chức triển khai thực hiện	4
	Dạng I	5
Dạng II	6
Dạng III	7
Dạng IV	8
 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 	9
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 	9
 MỤC LỤC	10 
	PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CÁC CẤP 
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................