Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay

 Cộng ho∙ x∙ hội chủ nghĩa việt nam 
Độc lập-tự do-hạnh phúc 
o0o 
đề tài 
Phân loại bài toán 
tính thể tích khối tròn xoay 
 I. sơ yếu lí lịch 
• Họ và tên: Nguyễn Đông Bắc 
• Sinh ngày: 31/10/1980 
• Năm vào nghành: 09/2007 
• Ngày vào Đoàn TNCS Hồ Chí Minh: 22/12/1998 
• Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THPT Vạn Xuân 
• Trình độ: Cử nhân Toán 
• Hệ đào tạo: Chính quy 
• Bộ môn giảng dạy: Toán 
• Ngoại ngữ: Anh 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 2 
II. Nội dung đề tμi: 
 1. Tên đề tài: 
Phân loại bài toán 
tính thể tích khối tròn xoay 
 2. Lý do chọn đề tài: 
 Tính thể tích vật thể nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng là một ứng 
dụng quan trọng của tích phân, dạng toán này th−ờng xuyên xuất hiện trong các 
đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các tr−ờng cao đẳng và đại học. Thời 
l−ợng cho phần này theo phân phối ch−ơng trình là 2 tiết, với thời gian ít nh− vậy 
cộng với hình dạng trừu t−ợng của khối tròn xoay- một đối t−ợng của hình học 
không gian, học sinh th−ờng bị lúng túng, mất định h−ớng và thiếu tự tin vào bản 
thân khi làm bài tập dạng này. Việc phân loại bài toán và đ−a ra ph−ơng pháp 
giải phù hợp đối với từng tr−ờng hợp sẽ giúp học sinh định h−ớng trong quá trình 
giải bài tập, vì lí do đó tôi quyết định thực hiện đề tài. 
 3. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài: 
 Đề tài này đ−ợc áp dụng trong phạm vi các lớp 12C2-Tr−ờng THPT Vạn Xuân 
với đối t−ợng là các em học sinh có học lực trung bình. Thực hiện trong năm học 
2008-2009, vào các giờ luyện tập và tự chọn, sau khi các em đã học xong bài 
“Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học” của ch−ơng III- Giải tích 12 Ban 
Cơ bản. 
III. Quá trình thực hiện đề tμi: 
1. Khảo sát tình hình thực tế: 
ở đầu năm trong ch−ơng trình Hình học 12 các các em đã đ−ợc trang bị các 
kiến thức t−ơng đối đầy đủ về mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo ra 
chúng, trong ch−ơng trình Giải tích 12 ở học kì II các em đã đ−ợc trang bị các 
kiến thức cơ bản về tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể. Đó là 
cơ sở vững chắc để tiến hành thực hiện đề tài này. 
2. Số liệu điều tra tr−ớc khi thực hiện đề tài: 
 Sau khi dạy xong bài “Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học” của ch−ơng 
III- Giải tích 12 Ban Cơ bản, tr−ớc khi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho 
học sinh của lớp 12C2, tôi đã ra bài tập về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị 
tr−ớc trong thời gian 1 tuần. Với bài tập sau: 
Bài tập: 
 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các 
đ−ờng sau quanh trục Ox. 
a) ; ; 0= =xy e y 0; 2= =x x . 
b) ; 2=y x =y x 
c) ; . 2 2 8+ =x y 2 2=y x
 Kết quả thống kê đ−ợc nh− sau: 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 3 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
 Kết quả 
Câu 
Số HS giải đúng Số HS giải sai Số HS không có lời giải 
Câu a) 20 (54%) 7 (19%) 10 (27%) 
Câu b) 17 (46%) 9 (24,3%) 11 (29,7%) 
Câu c) 2 (5,4%) 8 (29,6%) 26 (70%) 
 Từ kết quả thu đ−ợc ta thấy mặc dù bài toán t−ơng đối dễ nh−ng học sinh vẫn 
ch−a nắm đ−ợc kĩ năng giải. Việc thực hiện đề tài là cần thiết. 
3. Các biện pháp thực hiện: 
A. Yêu cầu đối với học sinh: 
- Nắm vững khái niệm mặt tròn xoay, khối tròn xoay và các khái niệm liên 
quan. 
- Nắm vững các ph−ơng pháp tính tích phân. 
- Nắm vững bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các phép biến đổi đồ thị, 
và đồ thị của các hàm số đặc biệt. 
B. Nội dung đề tài: 
Phần I: Nhắc lại các kiến thức đã học trong ch−ơng trình lớp 12 và các kiến thức 
liên quan. 
1. Cách tính thể tích vật thể bất kì: 
B−ớc 1: Chọn trục Ox dọc theo chiều dài vật thể. 
B−ớc 2: Xác định chiều dài vật thể trên trục Ox ⇒ ta đ−ợc đoạn [a; b]. 
B−ớc 3: Cắt vật thể bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại vị trí 
[ ; ]x a b∈ ⇒ tìm quy luật biến đổi của diện tích thiết diện S(x). 
B−ớc 4: Kết luận công thức tính thể tích vật thể là: ( ).
b
a
V S x d= ∫ x 
2. Các phép biến đổi đồ thị: 
Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị (C). 
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta đ−ợc đồ thị (C1): ( )y f x= − . 
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta đ−ợc đồ thị (C2): ( )y f x= − . 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 4 
3. Đồ thị của một số hàm số đặc biệt: 
Đồ thị hàm số mũ Đồ thị hàm logarit 
Đồ thị hàm luỹ thừa Đồ thị hàm ( )ny x n N= ∈ 
Phần II: Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay. 
Bình luận: Để tạo ra khối tròn xoay ta phải quay một hình phẳng quanh một 
trục nào đó, trong ch−ơng trình cơ bản ta chỉ xét khối tròn xoay quay quanh trục 
Ox. Do vậy, ta sẽ phân loại bài toán theo đặc điểm của hình phẳng và vị trí của 
hình phẳng so với trục Ox. 
1. Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng nằm về một phía của trục Ox khi 
quay quanh Ox. 
Dạng 1: Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi một đ−ờng cong và 
trục Ox. 
( )
: ( 0)
; 
y f x
S Ox y
x a x b
=⎧⎪ =⎨⎪ = =⎩
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 5 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
Nằm phía trên trục Ox Nằm phía d−ới trục Ox 
Công thức tính: [ ]2. ( ) .box
a
V f x= π ∫ dx
Ví dụ: 
 Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng sau khi 
quay quanh Ox: 
 a) ; Ox; x=1; x=4.y x b) = 2 2. 3; y=0.y x c) x= − − . ; y=0; x=1.xy x e=
Bài giải: 
a) 
Nhận xét: Đây là một bài toán đúng dạng đang xét do vậy ta có thể áp dụng ngay 
công thức mà không phải vẽ hình. 
Lời giải: 
Công thức tính diện tích là: 
4
2
1
( ) .oxV x= π∫ dx 
⇒ Thể tích khối tròn xoay là: 
 15 (đvtt)
2ox
V = π 
b) 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 6 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
Nhận xét: Trục Ox có ph−ơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nh−ng ch−a cho 
các cận lấy tích phân x=a; x=b, ta tìm nó bằng cách giải ph−ơng trình t−ơng 
giao. 
Lời giải: 
 Hoành độ giao điểm của 
2 2. 3y x x= − − với trục Ox là 
nghiệm của ph−ơng trình: 
 2
1
2. 3 0
3
x
x x
x
= −⎡− − = ⇔ ⎢ =⎣
Công thức tính thể tích: 
3
2 2
1
( 2 3) .oxV x x d
−
= π − −∫ x 
⇒Thể tích vật thể là: 
832
 (đvtt)
15ox
V = π 
c) 
Nhận xét: Trục Ox có ph−ơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nh−ng ch−a đủ 
cận lấy tích phân và đồ thị của nó ta ch−a biết cách vẽ, ta tìm cận còn lại bằng 
cách giải ph−ơng trình t−ơng giao. 
Lời giải: 
 Hoành độ giao điểm của . xy x e= 
với trục Ox là nghiệm của ph−ơng 
trình: 
 . 0x 0x e x= ⇔ = 
Công thức tính thể tích: 
1 1
2 2
0 0
( . ) .oxV x e dx= π = π∫ ∫ 2. .x xx e dx 
⇒Sử dụng ph−ơng pháp tích phân 
từng phần ta có thể tích vật thể là: 
2 1
 (đvtt)
4ox
e
V
−= π 
Dạng 2: Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi từ hai đ−ờng cong 
trở lên. 
Cách giải: 
B−ớc 1: Vẽ hình và xác định hoành độ các giao điểm. 
B−ớc 2: Phân chia hình phẳng thành các phần giới hạn bởi một đ−ờng cong và 
trục Ox. 
B−ớc 3: Xác định công thức tính thể tích và kết luận. 
Ví dụ: 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 7 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
 Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng sau khi 
quay quanh Ox: 
a) 2 ; y=2-x, Ox.y x= b) 2 2. 3; y=0.y x x= − − 
Bài giải: 
a) Hoành độ giao điểm của 
2( ) : P y x= và là nghiệm 
của ph−ơng trình: 
(d): y=2-x
2 x=1x =2-x
x=-2 (loại)
⎡⇔ ⇔⎢⎣
1 2
2 2
0 1
( ) . (2oxV x dx= π + π −∫
1x = 
Ta có: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 
⇒ Công thức tính thể tích: 
2) .x dx∫ 
Thể tích của vật thể là: 
8
 (đvtt)
15ox
V = π 
b) Hoành độ giao điểm của 
3
( ) : H y
x
= và là 
nghiệm của ph−ơng trình: 
(d): y=7-2x
x=3
3
=7-2x 1
x x= 
2
⎡⎢⇔ ⎢⎢⎣
Ta có: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2 
⇒ Công thức tính thể tích: 
2
3
.dx
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3 3
2
1 1
2 2
(7 2 ) .oxV x dx= π − − π∫ ∫ 
Thể tích của vật thể là: 
 185 (đvtt)
2ox
V = π 
2. Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng nằm về hai phía của trục Ox khi quay 
quanh Ox. 
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng 
sau khi quay quanh Ox: sin ; Ox; x=0; x=2 .y x= π
Bài giải: 
Ta có: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ Công thức tính thể tích là: 
( )2 22
0
2
2
0
(sin ) . sin .
 = (sin ) .
oxV x dx x
x dx
π π
π
π
= π + π
π
∫ ∫
∫
dx
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 8 
⇒ Thể tích của vật thể là: 2 (đvtt)oxV = π
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng giới hạn bởi 1 đ−ờng cong và trục Ox, 
hình phẳng này có một phần nằm trên và một phần nằm phía d−ới trục Ox, và ta 
thấy rằng công thức thiết lập ở phần I vẫn còn đúng. 
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng 
sau khi quay quanh Ox: ; 2 2 8+ =x y 2 2=y x . 
Bài giải: 
Hoành độ giao điểm của 2 2( ) : 8C x y+ = và 2(P): y =2x là nghiệm của ph−ơng 
trình: 
2
2 2
2
4 2
(2 ) 8 2
2 (loại)2 (loại)
x x
x x x
xx
⎡ = =⎡+ = ⇔ ⇔ ⇔ =⎢ ⎢ = −= − ⎣⎣
Ta có: do tính đối xứng của (C) và (P) khối tròn xoay quay bởi S là khối tròn 
xoay quay bởi S1∪S2 ⇒ V=V1+V2 
Mà p p2OA : y= 8-x và AB : y= 2x 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 9 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
⇒ Công thức tính thể tích là: 
( ) ( )
( )
2 8 22
2
0 2
2 8
2
0 2
2 . 8 .
 = 2 . 8 .
oxV x dx x
x dx x dx
= π + π −
π + π −
∫ ∫
∫ ∫
dx
⇒ Thể tích của vật thể là: 16 8 28 (đvtt)
3ox
V
−= π 
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần đối xứng nhau qua trục Ox, 
khối tròn xoay tạo thành có đ−ợc bằng cách quay một phần quanh trục Ox. 
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng 
sau khi quay quanh Ox: ; . 3 ; 1; 1; 3= − = − = =y x y x x 2 2=y x
Bài giải: 
 S gồm 2 phần S1 nằm phía trên và S2 nằm phía d−ới Ox. Đối xứng của đ−ờng 
 qua trục Ox là đ−ờng 1= −y 1=y và đối xứng của S2 qua Ox là khối tròn 
xoay tạo thành là khối tròn xoay quay bởi ⇒ V=V1+V2 
'
2S
'
1S S∪ 2
Hoành độ giao điểm của 1y = và là nghiệm của ph−ơng trình: y=3-x
3 1x x 2− = ⇔ = 
⇒ Công thức tính thể tích là: 
2 3
2
1 2
(3 ) .oxV x dx dx= π − + π∫ ∫ 
⇒ Thể tích của vật thể là: 10 (đvtt)
3ox
V = π 
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần phần S1 nằm phía trên và S2 
nằm phía d−ới trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay tạo thannhf ta tiến hành 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 10 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc. 
lấy đối xứng S2 lên phía trên đ−ợc và kết luận khối tròn xoay tạo thành do 
hình phẳng quay quanh Ox và đ−a bài toán về dạng quen thuộc. 
'
2S
'
1S S∪ 2
3. Các bài tập t−ơng tự 
Bài 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng 
sau khi quay quanh Ox: 
 a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2 
 b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4 
 c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2 
 d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2 
 e) y = xex; y = 0; x = 0; x = 1 
 f) y= x .lnx; y = 0; x =1; x = e 
 g) y = 
4
x ; y = 0; x = 1; x = 4 h) y = 2x, y = – x + 3, Ox 
 i) y = x2, y = 2 – x, Ox j) y = x2 ,y = 2 – x, Oy 
 k) y = 
3
x , y = – 2x + 7 l) y = 1 – x, y = 3 – 2x – x
2 
Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng 
sau khi quay quanh Ox: 
 a) y = 3x – x2; y = 0 b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 
 d) y = 
4
x ; y = – x + 5 e) y = 2x ; y = – x +3; y = 0 
 g) y = x2; y = 2 – x; y = 0 (phần nằm ngoài y = x2) 
 h) y = x2; y = 10 – 3x; y = 1 (phần nằm ngoài y = x2) 
IV. Kết quả so sánh đối chứng: 
 Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành cho 
học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài t−ơng tự kết quả thu đ−ợc nh− sau: 
Số HS giải thành thạo Số HS không giải thành thạo 
34 3 
92% 8% 
Qua bảng số liệu thu đ−ợc ta thấy đề tài đã có tác dụng định h−ớng cho học 
sinh trong quá trình giải bài toán tính thể tích khối tròn xoay. Các em không còn 
lúng túng khi phải xác định công thức tính thể tích mà đã có nhìn nhận bài toán 
đúng đắn hơn, tổng quát hơn. Đề tài đã cho kết quả tốt đối với học sinh lớp đ−ợc 
lựa chọn. 
V. Các kiến nghị sau khi thực hiện đề tμi: 
 Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến 
thức t−ơng đối đơn giản, t− duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các 
học sinh từ trung bình, hiệu quả của đề tài t−ơng đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô 
dạy khối 12 cố gắng dành một tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề này. 
Đề tμi: Phân loại bμi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 11 
Các tài liệu tham khảo chính: 
01. SGK Hình học 12 
02. SGK Giải tích 12 
03. Tuyển tập các ph−ơng pháp tính tích phân- Trần Ph−ơng. 
Hoài Đức, tháng 05 năm 2009 
 Ng−ời thực hiện: 
 Nguyễn Đông Bắc. 
VI. đánh giá của hội đồng thẩm định: 
Ng−ời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.