Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008 đề thi môn: Toán dành cho học sinh các trường thpt không chuyên

sở gd&đt vĩnh phúc
------------------------
đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007-2008
đề thi môn: toán
Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
------------------------------------
Bài 1. Giải hệ phương trình: 
Bài 2. Giải phương trình: 
Bài 3. Tìm tất cả các cặp số thực để với mọi xẻR ta có: 
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi C1(O; r) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2(K; R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD). 
Chứng minh rằng: 
 Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích của hình chóp. 
Bài 5. Cholà một hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn . Chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số sao cho . 
----Hết----
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh ....................................................................................... SBD.......................
sở gd&đt vĩnh phúc
------------------------
kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007-2008
hướng dẫn chấm môn: toán
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
------------------------------------
Bài 1 (2.0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
ĐK: 
0.25
Lập phương hai vế PT đầu của hệ có: 
0.50
+Với thay vào PT thứ hai của hệ có: 
Đối chiếu ĐK, suy ra là một nghiệm của hệ.
0.50
+Với thay vào PT thứ hai của hệ có: 
Đối chiếu ĐK, suy ra là một nghiệm của hệ.
0.50
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm như trên.
0.25
Bài 2 (2.5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
ĐK: 
0.25
PT đã cho (1)
0.25
Đặt (2). Từ (1)&(2) suy ra: 
0.50
. Đặt 
0.50
Dễ thấy đồng biến và 
0.50
Thay vào (2) , kết hợp với ĐK suy ra: 
0.25
Vậy PT đã cho có duy nhất họ nghiệm: 
0.25
Bài 3 (1.5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt . Khi đó 
0.50
 . Dễ thấy . Khi đó:
0.50
0.25
Thử lại thấy và thỏa mãn yêu cầu. Vậy có hai cặp số cần tìm.
0.25
Bài 4 (3.0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
a) Gọi I là tâm ABCD; M, J, N tương ứng là trung điểm DA, AB, BC
Dễ thấy O và K cùng nằm trên đường thẳng SI.
Trong DSMN có: IN = 1 ị ị nửa chu vi DSMN: .
0.25
Dễ thấy r chính là bán kính đường tròn nội tiếp DSMN. Mặt khác có:
 ị (1).
0.25
b) Hình cầu (C2) tiếp xúc cạnh AB tại J, khoảng cách từ K đến mp(ABCD) = r
Suy ra: .
0.25
Gọi E là tiếp điểm của (C2) với SA ị (2)
0.50
Xét 2 trường hợp:
TH1: K ≡ O.
Từ (2) suy ra: (3). 
Mặt khác (4)
0.50
Từ (1), (3), (4) có: , dễ thấy không tồn tại h thỏa mãn.
0.25
TH2: K đối xứng O qua I.
Khi đó có (5).
0.50
Từ (1), (3), (5) có: , giải PT được duy nhất 
0.25
Tính được thể tích của hình chóp bằng: 
0.25
Bài 5 (1.5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt là hàm liên tục trên [0; 1]
0.50
Với mỗi số nguyên dương n tính được: (1)
0.25
Do g liên tục, nên từ (1) ị tồn tại và sao cho và (2)
0.25
Từ (2) và g liên tục ị tồn tại nằm giữa và (khi đó ) sao cho: 
 (Đpcm).
0.50
------------------------------