Giáo án Toán Lớp 12 - Chủ đề: Thể tích khối đa diện

ÔN TẬP LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. QUAN HỆ SONG SONG
1. Hai đường thẳng song song
a) Định nghĩa:	
b) Tính chất
∙ 	∙ ∙ 
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song 
a) Định nghĩa:	d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅
b) Tính chất
∙ 	
∙ 	
∙ 
3. Hai mặt phẳng song song
a) Định nghĩa:	(P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅
b) Tính chất
∙ ∙ 	∙ 
4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
	Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
	∙ Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, )
	∙ Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
	∙ Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
	Để chứng minh , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P).	
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
	Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Hai đường thẳng vuông góc
	a) Định nghĩa:	a ⊥ b ⇔ 
	b) Tính chất
	∙ Giả sử là VTCP của a, là VTCP của b. Khi đó . 	
	∙ 
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc 
	a) Định nghĩa:	d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
	b) Tính chất
	∙ Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng:	
	∙ 	∙ 
	∙ 	∙ 
	∙ 	∙ 
	∙ Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
	Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng l tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
	∙ Định lí ba đường vuông góc
	Cho , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
3. Hai mặt phẳng vuông góc	 	
	a) Định nghĩa:	
	b) Tính chất
	∙ Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 
	∙ 
∙ 	∙ 
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
	a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
	Để chứng minh , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
	∙ Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.
	∙ Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
	∙ Chứng minh mà .
	∙ Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
	∙ Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
	∙ Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, ).
	b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
	 Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	∙ Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
	∙ Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
	∙ Chứng minh d // a và a ⊥ (P).
	∙ Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
	∙ Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) v (R) ⊥ (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuơng góc
	Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	∙ Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a m a ⊥ (Q).
	∙ Chứng minh 
III. GÓC VÀ KHOẢNG CCH
1. Góc
	a) Góc giữa hai đường thẳng:	a//a', b//b' ⇒ 
	Chú ý: 00 ≤ ≤ 900
	b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
	∙ Nếu d ⊥ (P) thì = 900.
	∙ Nếu thì = với d′ là hình chiếu của d trên (P).
	Chú ý: 00 ≤ ≤ 900
	c) Góc giữa hai mặt phẳng 	
	∙ Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ⇒ 
	Chú ý: 	
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
	Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = . Khi đó:	S′ = S.cosϕ
2. Khoảng cách
	a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
	b) Khoảng cách giữa đường thẳng v mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
	c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
	d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng cho nhau bằng:
	∙ Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
	∙ Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất.
	∙ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
IV. Nhắc lại công thức hình học phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
	a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
	∙ 	
∙ 	
∙ 
	∙ 
b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ di các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. 
	∙ Định lí hm số cosin: 
(Sử dụng khi biết 2 cạnh v 1 góc xen giữa)
	∙ Định lí hm số sin: 
(Sử dụng khi biết 2 gócv 1 cạnh xen giữa)
	∙ Cơng thức độ di trung tuyến: 
2. Các công thức tính diện tích
 	a) Tam giác: 
	∙ 	
∙ 	(Biết 2 cạnh v 1 góc xen giữa)
	∙ 	(Biết 2 gócv 1 cạnh xen giữa kết hợp với định lý Sin)
∙ 	
∙ 
	∙ ABC vuơng tại A: 	
	∙ ABC đều, cạnh a:	
	b) Hình vuông: 	S = a2	(a: cạnh hình vuông)
	c) Hình chữ nhật:	S = a.b	(a, b: hai kích thước)
	d) Hình bình hành:	S = đáy × cao = 
	e) Hình thoi:	
	f) Hình thang:	(a, b: hai đáy, h: chiều cao)	
	g) Tứ giác có hai đường cho vuông góc:	
§1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. LÝ THUYẾT
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:	
	với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:
	với Sđáy l diện tích đáy, h l chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ: 
	với Sđáy l diện tích đáy, h l chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
	a) Tính thể tích bằng công thức
	∙ Tính các yếu tố cần thiết: độ di cạnh, diện tích đáy, chiều cao, 
	∙ Sử dụng cơng thức để tính thể tích.
	b) Tính thể tích bằng cch chia nhỏ
	Ta chia khối đa diện thnh nhiều khối đa diện nhỏ m có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng cc kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
	c) Tính thể tích bằng cch bổ sung
	Ta có thể ghp thm vo khối đa diện một khối đa diện khc sao cho khối đa diện thm vo v khối đa diện mới tạo thnh có thể dễ tính được thể tích.
	d) Tính thể tích bằng cơng thức tỉ số thể tích
	Ta có thể vận dụng tính chất sau:
	Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì cc điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
* Bổ sung
∙ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích cc mặt bn
∙ Diện tích tồn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.
B. BI TẬP
Bi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Góc giữa mặt bn v mặt đáy bằng (450 < < 900). Tính thể tích hình chóp.
	HD: Tính h = 	⇒ 
Bi 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, cạnh bn SA = a. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC v SD tại C′ v D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′.
	HD: Ghp thm khối S.ABC'D' vo khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD 
	⇒ 
Bi 3. Cho hình chóp tam gic S.ABC có SA = x, BC = y, cc cạnh cịn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp theo x v y.
	HD: Chia khối SABC thnh hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
	⇒ 
Bi 4. Cho tứ diện ABCD có cc cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.
	HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PQ, QR, RP. Ch ý: VAPQR = 4VABCD = 
	⇒ 
Bi 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a v SA ⊥ (ABC).Gọi M v N lần lượt l hình chiếu của A trên các đường thẳng SB v SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
	HD: ⇒ 
Bi 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bi 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng (SAB) v (SAC) cng vuơng góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bi 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
	a) Tính khoảng cch từ A đến mp(BCD).
	b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bi 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 450 v diện tích ABC′ bằng 49cm2. Tính thể tích lăng trụ.
Bi 10. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, cc nửa đường thẳng Bx, Dy vuơng góc với mp(ABCD) v ở về cng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trn Bx v Dy lần lượt lấy các điểm M, N v gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Bi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a, SA ⊥ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM v AC.
	a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM.
	b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bi 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a v SA ⊥ (ABC). Gọi M v N lần lượt l hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
(A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ di cạnh bn bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a v hình chiếu vuơng góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC v cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ v B’C’.
HD:	
(B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = a v (SAB) vuơng góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN v cosin của góc giữa hai đường thẳng SM v DN.
HD: 	
(D–08): Co lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bn AA’ = a. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ v khoảng cch giữa 2 đường thẳng AM, B′C.
HD: 	
(A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều v nằm trong mặt phẳng vuơng góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP v tính thể tích khối CMNP.
HD: 	
(B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BD v tính khoảng cch giữa hai đường thẳng MN v AC.
HD: 	
(D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với , BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD), . Gọi H l hình chiếu vuơng góc của A trn SB. Chứng minh tam gic SCD vuơng v tính khoảng cch từ H đến (SCD).
HD: 	
(A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình trịn tm O v O′, bán kính đáy bằng chiều cao v bằng a. Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.
HD: 	
(B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, , SA = a v SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM v AC. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
HD: 	
(D–06): Cho hình chóp tam gic S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a v SA ⊥ (ABC). Gọi M, N lần lượt l hình chiếu vuơng góc của A trn SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD: