Đề thi thử số 2 đại học, cao đẳng năm 2010 - 2011 môn thi: Toán – Khối A

ĐỀ THI THỬ SỐ 2 ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 -2011
Môn Thi: TOÁN – Khối A
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I) Phần chung (7 điểm)
Bài 1: Cho hàm số y = x3 –3mx2 +9x +1 (1), với m là tham số
1) Khảo sát vẽ (C) khi m = 2
2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x +1.
Bài 2 :
1) Giải phương trình (2cosx –1)(2sinx +cosx) = sin2x –sinx.
2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
Bài 3 :
1) Tính tích phân I = 
2) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm x5 -x2 -2x -1 = 0 lớn hơn 1.
Bài 4 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.
II) Phần riêng (3 điểm) 
A. Phần 1
Bài 5a: 
1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có các điểm A(–1 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; m) với m khác 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ ABC theo m. Xác định m để ∆ ABG vuông tại G 
2) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng 
(P): x +y +z –2 = 0. viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Bài 6a: Tính 
B. Phần 2.
Bài 5b: Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0), B(–a; 0; 0), 
C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) trong đó a >0, b > 0.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b. 
2) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 
a +b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
Bài 6b: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.
_______________hết_______________
ĐAP ÁN 
Nội dung
Lời giải chi tiết
Bài 1: Cho hàm số 
y = x3 –3mx2 +9x +1 (1), với m là tham số
1) Khảo sát vẽ (C) khi m = 2
1) y = x3 -6x2 +9x +1; D = R
y’ = 3x2 -12x +9 
y’ = 0 thì x = 1 (y = 5) và x = 3 (y = 1) 
BBT x: -∞ 1 3 +∞ 
 y’ + 0 - 0 +
5
+∞
1
-∞
 y 
y” = 6x -12 = 0 khi x = 2. Điểm uốn (2; 3)
2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x +1.
Hoành độ điểm uốn là nghiệm của y” = 6x2 -6m = 0 
=> x = xu = m => điểm uốn (m; -2m3 +9m +1).
Vì điểm uốn thuộc (d) nên -2m3 +9m +1 = m+1 2m3 -8m = 0
Vậy ĐS m = 0 ; m = 2 và m = -2
Bài 2 :
1) Giải phương trình
(2cosx –1)(2sinx +cosx) 
= sin2x –sinx.
(2cosx -1)(2sinx +cosx) = sin2x -sinx.
 (2cosx -1)(2sinx +cosx) = sinx(2cosx -1)
 (2cosx -1)(sinx +cosx) = 0 cosx = hoặc sinx = –cosx
 cosx = hoặc tgx = –1
 x = hoặc x = (k Z)
2) Tìm m để hệ phương trình sau 
có nghiệm.
Cách 1: (Hệ đối xứng loại 1) 
Đặt S = ≥ 0 và P = ≥ 0 (đk: S2 ≥ 4P)
Hệ thành 
Để thỏa đề bài thì . ĐS 0 ≤ m ≤ 
Cách 2: Đặt X = và Y = 
Hệ 
Từ (1) và do điều kiện X ≥ 0 và Y ≥ 0 nên 0 ≤ X ≤ 1.
Thay (1) vào (2) ta được pt
X2 –X +m = 0 (*). Giả thiết thì (*) có ít nhất 1 nghiệm 
 ∆ ≥ 0 và 0 ≤ X2 ≤ 1 0 ≤ m ≤ 1/4.
Bài 3 :
 1) Tính tích phân 
I = 
I = (x –1).ln(x2 –x) –
= 2ln6 –ln2 – = 2ln2 +2ln3 –ln2 –[2 –ln3 +ln2]
= 3ln3 –2 là ĐS
2) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm x5 –x2 –2x –1 = 0 lớn hơn 1.
(nhận xét, loại toán chứng minh phương trình có nghiệm mà không giải nó à vận dụng BBT hay định lí lagrăng)
Pt x5 = (x +1)2 , vì VP ≥ 0 nên => điều kiện x ≥ 0
Khi 0 ≤ x 1 
nên pt không có nghiệm 0 ≤ x ≤ 1
* khi x > 1, ta đặt y = x5 -x2 -2x -1 => y’ = 5x4 -2x -2 
=> y” = 20x3 -2 chỉ có 1 nghiệm x0 < 1 .
nên từ BBT ta có phương trình chỉ có 1 nghiệm
Bài 4:
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì 
AC = BD và AD = BC.
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD. 
Vẽ đoạn thẳng A’B’ // = AB nhận K làm trung điểm.
● chứng minh B’C = A’D.
Vì BB’ // AA’ // IK là IK là đường vuông góc chung của AB và CD nên BB’B’C và AA’A’D. Hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ có BB’ = AA’ và CB’ = A’D nên ta suy ra AD = BC.
● Chứng minh tương tự ta có AC = BD.
Thí sinh chỉ chọn 1 trong 2 phần sau đây:
A. Phần 1
Bài 5a : 1) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có các điểm A(–1 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; m) với m khác 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ ABC theo m. Xác định m để ∆ ABG vuông tại G
G(1 ; ), , 
∆ GAB vuông tại G nên m = ±
2) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), 
B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x +y +z –2 = 0. viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Gọi phương trình mặt cầu (S): 
x2 +y2 +z2 +2Ax +2By +2Cz +D = 0
Giả thiết thì 
Vậy phương trình (S) là :x2 +y2 +z2 –2x –2z +1 = 0
Bài 6a:
Tính 
Ta có 
Mà nên , 
hay là .
B. Phần 2
Bài 5b: Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết 
A(a; 0; 0), B(–a; 0; 0), 
C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) trong đó a >0, b > 0.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.
C1(0; 1; b) => (a; –1; 0), (a; 1; –b), (–a; 1; b)
=> = (2b; 0; 2a)
Ta có d = d(B1C; AC1) = = . . . = 
2) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a +b = 4. 
Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
Cách 1: Do a +b = 4 nên a2 +b2 = 16 –2ab. 
Đặt x = ab thì d = có miền xác định (0; 4]
do (a-b)2 ≥ 0 a2 +b2 ≥ 2ab (a +b)2 ≥ 4ab 
 > 0 nên d có miền xác định (0; 4]
d’ = > 0 nên d tăng
Vậy max d = d(4) = khi ab = 4 và a +b = 4, hay a = b = 2
Cách 2: Áp dụng Côsi lần 1 ở mẫu và lần 2 ở tử ta có
d = = 
Dấu bằng xãy ra khi a = b và a +b = 4, hay a = b = 2
Bài 6b: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai. 
Chọn ngẫu nhiên 5 người vào một nhóm (không có thứ tự) 
=> không gian mẫu W gồm (phần tử)
Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. 
-Có mặt thầy P và không có mặt cô Q, có . = 90
-Không có thầy P và có cô Q, có . = 80
- => n(A) = 80 + 90 = 170 
Vậy P(A) =