Ôn tập Số phức

Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
1) Các định nghĩa:
* Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i2 = −1), khi đó: z = a + bi được gọi là một số phức. 
a: được gọi là phần thực ; b: được gọi là phần ảo 
Tập các số phức được kí hiệu là C
 Ÿ Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên RC.
 Ÿ Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
* = a − bi là số phức liên hợp của z = a + bi và ngược lại
* Mô đun của số phức z = a + bi là | z | = 
	 z là số thực khi và chỉ khi z = 
2) Các phép toán và tính chất cơ bản:
Ÿ (a + bi) = (c + di) 
Ÿ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ÿ (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ÿ (a + bi).(c + di) = nhân bình thường như nhân đa thức
Ÿ(nhân tử, mẫu cho số phức liên hợp ở mẫu)
3) Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. 	Ÿ Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, 
 	Ÿ Trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi vectơ , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a,b ) cũng có nghĩa là biểu diễn số phức đó.
Ta có:Nếu theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
	Ÿ biểu diễn số phức z + z',
	Ÿ biểu diễn số phức z − z',
	Ÿ k biểu diễn số phức kz,
	Ÿ, với M là điểm biểu diễn của z.
1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức
Vd1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i);	b) z’ =
a) z = (0 + 2 − 3) + (1 − 4 + 2)i = −1 − i.
 Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1.
b) Kết quả: 2 + 10i
Vd2 Tính =
Ví dụ 3: Tính 1 + i + i2 + i3 + + i2009
Ta có 1 – i2010 = (1 – i)1 + i + i2 + i3 + + i2009
Mà 1 − i2010 =2. Nên = 1 + i.
Vd 4: Tính (1 − i)100 = 
Vd5 Cmr:Với 
Do Þ;
Lại có . Suy ra . Hơn nữa ta có z3 = z2.z = 1.
Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu . 
Đặt z = x + yi, khi đó 
Û
Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.
2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau	a) ;	 b) .
a) Đặt z = x + yi suy ra z − 1 + i = (x − 1) + (y + 1)i. 
Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = 2.
b) |2 + x + yi| = |i − x − yi| Û (x + 2)2+ y2 = x2 + (1 − y)2
Û 4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
Cách 2: Gọi A (− 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
*Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
Xét biểu thức (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành
Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = .
Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất Û điểm MÎ(C) và gần O nhất 
Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn. Ta có OI = . 
x
y
O
H
2
M
I
- 3
Kẻ MH Ox. Theo định lí ta lét có
ta lại có .
Vậy số phức cần tìm là	.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta có . 
Từ OC OA + AC suy ra .
Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC. Khi O A (hay z 0) điều đó có nghĩa là có số k 0 để tức là w = kz. 
(Còn khi z = 0, rõ ràng ).
Vậy khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z 0 thì tồn tại để w = kz.
Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
1. Căn bậc hai của số thực âm: 
Mỗi số thực âm a có 2 căn bậc hai là i và − i
	Ví dụ: số −7 có 2 căn bậc hai là i và − i
 số −9 có 2 căn bậc hai là 3i và −3i 
2.Phương trình bậc hai với hệ số thực:
	ax2 + bx + c = 0 , (a,b,c) (1)
Ÿ>0:pt(1) có 2 nghiệm thực phân biệt 
Ÿ= 0 : pt (1) có nghiệm (thực) kép: 
Ÿ< 0 : pt (1) có 2 nghiệm phức phân biệt:
	,	 
3.Công thức nghiệm của ph trình bậc hai hệ số phức
 và có 
Ÿ Nếu pt có hai nghiệm 
 Trong đó là một căn bậc hai của .
Ÿ Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: .
Chủ đề 3: Giải phương trình trong tập số phức 
1. Giải phương trình bậc nhất Biến đổi phương trình về dạng 
Az + B = 0; A, B Î, A ≠ 0. Viết nghiệm 
Ví dụ : Giải phương trình 2iz + 1 − i = 0
Nghiệm của phương trình là .
2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 1: Giải các phương trình a) 3x2 + x + 2 = 0 (1)
a) Ta có D= −23 = 23 i2 < 0 nên ta có hai căn bậc hai của là: . Từ đó nghiệm của pt (1) là: 
b) = − 3 = −3i2 < nên (2) có các nghiệm là: 
c) Ta có 
Theo b) (*) có hai nghiệm là. Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là: x =1; 
( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1).
Ví dụ 2 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a = 4 + 3i; b = −2 + 5i
Theo bài ra ta có: a + b = 2 + 8i; a.b = −23 + 14i.
kết quả pt bậc hai cần lập là: 
Vd 3: Cho z1; z2 là 2 nghiệm ptz2 − (3+2i)z + 1− i = 0
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
Theo Vi−et ta có: 
a) Ta có =
b) B 
c) Ta có .
Ví dụ 4: Giải pt: (1)
Đặt z2 = t Khi đó (1) có dạng: t2 –6t + 25 = 0 (2).
Ta có: D’ = − 16 = 16.i2 < 0 nên pt (2) có hai nghiệm là t = 3 ± 4i.
Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và −2 − i còn 
3 − 4i có hai căn bậc hai là: 2 − i và −2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là: z1 = 2+ i; z2 = −2 − i; z3 = 2 − i; z4 = −2 + i.
Bài tập
Bài 1: Thực hiện phép tính :
a) ĐS: b) ĐS: i
c) ĐS: −i d) ĐS: 
e) ĐS: f) ĐS: 
g) ĐS: h) (2 – i)6 ĐS: −117 – 44i
Bài 2: Giải các phương trình trùng phương:
a. .
b.
Bài 3: Cholà 2 nghiệm ptrình: .
 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i),
 (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
a) ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i) 
b) 
Bài 5: Lập phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm là:
a) và 	b) và 
Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận 2 số phức z và làm nghiệm
Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z = a + bi , thoả mãn điều kiện:
a) Phần thực bằng phần ảo. b) phần thực a Î (1; 2). c) |z| = 4
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
VD1: 
(ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z2 + 2z +10 = 0. Tính giá trị biểu thức .
D= −36 = 36i2 Þ z1, 2 = −1±3i.|z1|= |z2| =Þ A = 20
Thêm : Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 − 4z + 11 = 0. CMR: .
VD2: 
(CĐ_2009) a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 + i )2(2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z (*)
b. Giải phương trình trên tập số phức: .
a. (*) Û (1 + 2i)z = 8 + i Û z = 2 − 3i. ĐS: a = 2, b = -3.
b. Điều kiện z ≠ 1. PT Û z2 − (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0 
có D = 3 − 4i = (2 − i)2. ĐS: z = 1 + 2i, z = 3 + i .
Thêm :Tìm số phức z thoả mãn: |z − 2 + i| = 2. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS: .
VD3: 
(ĐH_B 2009) Tìm z thỏa |z − (2 + i)| = và .
Gọi z = x + yi có z − (2 + i) = (x − 2) + (y − 1)i,
ŸÛ(x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 (1)
Ÿ Û x2 + y2 = 25 (2).
Giải hệ (1) và (2) được (x ; y) = (3 ; 4) V (x ; y) = (5 ; 0). Vậy z = 3 + 4i hoặc z = 5.
VD4: 
(ĐH_2009)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa |z − (3 − 4i)| = 2.
Gọi z = x + yi có z − (3 − 4i) = (x − 3) + (y + 4)i,
|z − (3 − 4i)| = 2 Û (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4.
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm I(3; −4); R = 2.
VD5: ĐHKA 2010: CB
Tìm phần ảo của số phức z, biết 
VD6: ĐHKA 2010: NC
Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức 
Bài tập:
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a. b. 
c.d. 
Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a. b. 
c. d. ;
Bài 3.Tính :
 a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+.+(1+i)20 
 b. 1+i+i2+i3+++i2011
Bài 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau:
a. b. 
c. là số ảo tùy ý; d. 
Bài 5. Các vectơ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng  ;
b. Chứng minh rằng vuông góc khi và chỉ khi 
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
 (k là số thực dương cho trước).
Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
 và 
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn
Bài 9. Giải các phương trình sau trên C :
a.
b.
Bài 10. Giải các phương trình sau trên C :
a. 
bằng cách đặt ẩn số phụ  ;
b. 
c. (z2+1)2+(z+3)2=0
Bài 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức sau :
Bài 12. Giải hệ phương trình hai ẩn phức sau :
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : . 
Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z .
Xác định phần thực , phần ảo của Z .
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB). Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 15 : Giải phương trình : 	trên tập số phức.
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC). Đáp số : z1 = 1 +2i ; ; z2 = 3 + i . 
Bài 16 : Tìm phần ảo của số phức z, biết .
Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z = . Tìm môđun của : . 
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : .ĐH Khối B – 2010 (CB) . 
Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : , và z2 là số thuần ảo .
ĐH Khối D – 2010 . Đáp số : z1 = 1 +i ; z2 = 1 – i , z3 = - 1 – i , z4 = -1 + i.
Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( 2 – 3i)z + ( 4+i)= - (1 + 3i)2 ; Xác định phần thực và phần ảo của z ?
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB). Đáp số : Phần thực : - 2 ; phần ảo : 5 .
Bài 21 : Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+  + (1+i)20.
Bài 22 : Tìm số phức z thỏa mãn: .
HD: Gọi z=x+yi; (1)Þx=y, (2)Þy=1.
ĐS: z=1+i.
Bài 23 : Giải phương trình: .
ĐS: zÎ{0;1;-1}
Bài 24 : Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z.
ĐS: zÎ{0;i;-i}
Bài 25 : Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z.
ĐS: z=0, z=-1, 
Bài 26 : Giải phương trình: .
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
ĐS: z=1±i, .
Bài 27 : Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
ĐS:.
Bài 28 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện .
ĐS: (x-3)2+(y+4)2=4
Bài 29 : Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: .
Bài 30: Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Bài 31: xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
moãi ñieàu kieän sau:
a) = 4 b) c) d)
e) f) 
g) | z + 3 | = 1 h) | z +1| < 1 i) 1 < | z - i| < 2
Bài 32: 
Tìm các số thực a, b, c để có: 
Từ đó giải phương trình: trên tập số phức. Tìm môđun của các nghiệm đó.
Bài 33: 
Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 
Bài 34: 
a)Tính tổng: 1+i+i2+i3++i2011
b)Chứng minh 
Bài 35:
 Cho , là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của biểu thức : .
Bài 36:
Cho tính z2011.