Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tích phân nâng cao

 CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN NÂNG CAO
 I> TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ 
DẠNG I: 
Cần chú ý : 
1. Phương pháp :
* nếu p(x) có bậc lớn hơn 1 cần phải tách phần nguyên cho biểu thức 
+Viết trong đó g(x) là đa thức 
+ = 
VD: Tính các tích phân sau:
HD;
1)Ta viết 
+ 
2)Ta viết 
+
3) Ta viết : 
Từ đó ;
+
Bài tập tự luyện phương pháp ;
Tính các tích phân sau:
DẠNG II
Phương pháp ; Ta dặt t= a.x+b từ đó ta có : dt= adx và 
VD; Tính tích phân 
Đặt t= x+3 
Vậy ; 
DẠNG III: 
Ta phân làm 3 trường hợp
* Trường hợp1:
 ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm thực phân biệt
Giả sử ax2 +bx +c= 0 có hai nghiệm x1 , x2 
+ Khi đó cần xét :
a) p(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2
Ta cần tách phần nguyên của biểu thức và viết phân thức ở dạng sau:
Đưa về việc tính 
Để tính tích phân đó ta làm như sau:
+ Biến đổi ax2 +bx+c = a(x- x2)(x-x1) 
+Áp dụng phương pháp đồng nhất thức ta được: 
+ Từ đó ta có ;
b) Nếu p(x) có dạng mx+n
+ ta cần tìm A,B sao cho : mx+n=A(2ax +b) +B
Từ đó :
+ 
= 
* Trường hợp 2 :
 ax2 +bx +c = 0 có nghiệm kép 
Khi đó ta có thể viết : ax2 +bx+c = Và ta đặt ẩn phụ t = 
Và có x= .
* Trường hợp3:
 ax2 +bx +c = 0 vô nghiệm
Chú ý rằng khi đó ta có thể biến đổi : ax2+bx +c = 
Khi đó bằng phép đặt với t để tính tích phân 
VD1:
Tính tích phân sau; =I
Ta có :x2 - 5x +6 = 0 có hai nghiệm x= 2, x=3 
+ Trước hết ta có : 
+ Mặt khác ta cần tìm A,B sao cho; 5x-6 = A(2x-5)+B
Ta có: 
x = 0 
x= 
+Vậy 
VD2; Tính tích phân I= 
Xác định A ,B sao cho 3x+2 =A(2x) + B
+ Ta có ; với x= 0 B= 2 , x= -1 thì -1= -2A +B 
Giải hệ ;
 + vậy ta có ; A = 3/2 , B = 2
+ Từ đó ; == 
=
VD3; 
Tính tích phân ; Ta có nhận xét ; x2 -4x+4=(x-2)2 
+ ta đặt t= x-2 , dt= dx
+I =
VD 4; 
Tính tích phân sau; I = 
+ Ta cần phân tích : bằng phương pháp đồng nhất thức 
+ Ta tìm A, B sao cho 2x+1 = A (2x+ 2) +B
+x= 0 ® 1=2A+B, x= -1® B=-1
Giải hệ :
Vậy : =
+ Để tính tích phân: J = ta làm như sau:
Biến đổi : vàđặt x+1=2tant , 
đổi cận : x= -1 ® t=0, x= 1®t =
+ = Đ/s: Vậy I =ln2 - 
VD5: Tính tích phân sau I = 
+ Ta tìm A,B sao cho : 4x+3 = A(2x+1) +B .
Bẳng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A= 2, B= 1
+ I = 
 Ta đặt : 
Đổi cận : x= -1 , x = 0 
+
Bài tự luyện :
Tính các tích phân sau:
Bài 1:
II. > TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỶ THƯỜNG GẶP
DẠNG I:dx
Phương pháp giải : Ta thường đặt 
VD; Tính tích phân sau: I= 
Ta đặt 
Vậy; I=
Để tính I1, dùng cách là đổi biến lượng giác đặt t = tanu ta được :
I= 
Để tính I2 ta biến đổi +
=
Vậy: I= 
Chú ý:
Nếu tích phân có dạng : người ta thường đặt x = a.cos2t
+ Nếu vậy tích phân trên có thể tính như sau:
Đặt x= cos2t 
Và ta có :
+
= 
DẠNG II: trong đó m,n, s, r là các số nguyên dương ,a,b,c,d là hằng số 
Phương pháp ta thường đặt t= với k = BSCNH của các mẫu số( n,s...)
VD; Tính tích phân :=I
 Ta đặt t= , đổi cận x= 1® t=0, x=2 ® t=1
+I= 
VD2: Tính tích phân; 
I =
Ta đặt t= đổi cận : x= -1® t=0, x= 0 ® t=1
+I = 
 +
Bài tập tự luyện :
Tính các tích phân sau:
DẠNG III: trong đó a,b,c là các số thực, a¹ 0
Phương pháp : Ta dùng phương pháp lượng giác hoá bằng cách biến đổi ,
ax2 +bx+c = và đặt t= x+để đưa về một trong các dạng sau;
 Thì ta đặt 
+ Thì ta đặt 
+ Ta đặt 
Chú ý:
 nhiều khi lượng giác hoá gặp khó khăn cần sử dụng phương pháp đại số hoá 
sử dụng các phép biến đổi của Euler
+ Nếu a >0 đặt 
+Nếu c > 0 đặt 
+nếu ax2 +bx+c =0 có nghiệm x1, x2 thì đặt hoặc đặt 
Chú ý :
 +
Vd1: Tính tích phân sau I= 
+ Ta biến đổi : 
Đặt x-1 =2tant, đổi cận x= -1 ta có t= -, x=1 ta có t = I= 
= ln 
Ta nhận thấy bằng cách đặt đổi biến lượng giác như vâyh có phần phức tạp nếu ta đổi biến đại số thì sao?
+ Ta thử đổi biến bằng phép biến đổi sau
Đặt 
+ Khi đó 
+ Đổi cận : x=-1, x= 1 ® t= 2
+
DẠNG IV: 
Bàng phương pháp đồng nhất thức ta tìm A,B sao cho : 
+ Từ đó ta có ; 
+=
Như vậy ta được tích phân quen thuộc đã biết cách tìm 
VD: Tính tích phân: 
+ Ta tìm A, B sao cho : x+4 =A(2x+4) +B
Bằng phép đồng nhất thức hai vế được A= , B= 2
+ khi đó ; =
Bài tập tự luyện 
Tính các tích phân sau:
DẠNG V: (m2 +n2 ¹ 0)
Phương pháp ; ta đặt hoặc 
Ta cũng có thể đặt hoặc , ngoài ra ta cũng có thể đổi biến bằng lượng giác
VD; Tính tích phân : I= 
+ Ta biến đổi :I= = 
+Đặt 
+Đổi cận x= 
+ khi đó :I= =
+ Bằng phép đỏi biến lượng giác : đặt t= , t= 
+dt= . Khi đó : I=
Bài tập tự luyện :
Tính các tích phân sau;
 (HD; đặt x=1+2cos2t)
...........................................................................................................................................
2