Đạo hàm - Vi phân (phần 2)

16
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ:
xlnxlim 5
0x 
)4/x(tg)x4(lim 2
2x


)tgx
xcos
1(lim
2/x


3. Dạng vô định: 00, 1, 0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:
2x
0x
xlim

x1
2
1x
xlim 

xln
1
1x
)gx(cotlim

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) 
tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) 
(f(x)  f(x0)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
18
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0
và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0.
Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số
không đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) 
không tồn tại.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
19
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện
sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 
được gọi là điểm dừng của f.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
20
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương
sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang 
dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0.
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì
f(x) không đạt cực trị tại x0.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
21
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân
cận điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai
đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính
trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
22
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
23
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Biến kinh tế:
Biến phíVariable CostVC
Định phíFix CostFC
Lao độngLabourL
Tư bảnCapitalK
Lợi nhuậnProfitPr
Tổng doanh thuTotal RevenueTR
Doanh thuRevenueR
Tổng chi phíTotal CostTC
Chi phíCostC
Giá cảPriceP
Lượng cầuQuantity DemandedQD
Lượng cungQuantity SuppliedQS
Sản lượngQuantityQ
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
24
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận :  = TR - TC
300đ/tôBún
200đ/tôGia vị
2.000đ/tôThịt bò, heo
500đ/tôNhân viên
50.000đ/ngàyThuê mặt bằng, 
điện nướcVí dụ: Một quán bún bình
dân, hãy tính mỗi ngày bán
bao nhiêu tô thì có lời với giá
bán 5.000đ/tô và chi phí như
sau:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
25
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay
đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một
đơn vị.
• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp
và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
L5Q 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
26
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi
sản lượng tăng lên một đơn vị.
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho
nhận xét.
TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
27
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp
quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của
doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường
quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của
doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
28
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi
nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
29
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)





















0
dx
)TCTR(d
0
dx
)TCTR(d
0
dx
d
0
dx
d
2
2
2
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
30
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
•Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung
cấp thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x
Hàm cầu: x = -7/8 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt
đa.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -