Cơ sở để nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô

CƠ SỞ ĐỂ NGHIÊN CỨU SỰ VẬN ĐỘNG CỦA VẬT CHẤT 
TRONG THẾ GIỚI VI MÔ
 Th.s ĐỖ CUNG TRĂNG – Khoa: Tự nhiên.
	Trong những năm gần đây sinh viên ngành Vật lý được học phần Vật lý lượng tử, đó là môn thuộc phần vật lý hiện đại. Hai cuốn sách viết về phần này rất sơ lược, do vậy việc nghiên cứu và học tập của sinh viên gặp rất nhiều khó khăn. Để cho sinh viên và độc giả có cái nhìn ban đầu cũng như cách tiếp cận được dễ dàng về môn học này tôi xin trình bày một số kiến thức cơ bản làm nền tảng cho sinh viên học tập và nghiên cứu môn Vật lý lượng tử.
I/. Toán tử: Toán tử là phép biến đổi, tác dụng lên hàm ( K là không gian tuyến tính) biến thành một hàm khác . Toán tử thường được kí hiệu bằng dấu mũ “ ^ “ ở trên đầu.
	Thí dụ: a/. 
 b/. Nếu thì 
 c/. 
 Qua thí dụ trên ta thấy toán tử vừa mang tính chất đạo hàm, vừa mang tính chất véc tơ.
- Toán tử Laplax: 
- Toán tử Hamintơn (Toán tử năng lượng): 
Trong đó: 
- Toán tử động lượng: 
 Với: , , 
- Toán tử mômen động lượng:
 + Định nghĩa: 
 + Hình chiếu toán tử mômen động lượng lên các trục:
 , 
II/ Cơ học lượng tử: Môn cơ học nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô gọi là môn cơ học lượng tử.
1/. Tính chất hạt của vật chất trong thế giới vi mô:
a/. Tính chất hạt của ánh sáng:
- Ta đã biết ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Tính chất sóng thể hiện ở hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ v.v, còn tính chất hạt thể hiện trong các hiện tượng quang điện, compton v.v
- Lưỡng tính sóng hạt được Einstein nêu lên trong thuyết lượng tử ánh sáng. Theo thuyết này ánh sáng được cấu tạo bởi các hạt photon. 
 Mỗi hạt có năng lượng: (1)
 và có động lượng bằng: (2)
Từ công thức (1), (2) ta thấy rõ: những đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt (E, p), những đại lượng đặc trưng cho tính chất sóng của ánh sáng liên hệ chặt chẽ với nhau.
b/. Giả thuyết De Broglie:
- Chính nhờ kết luận trên đã thúc đẩy De Broglie tìm sự thật là ánh sáng có tính chất lưỡng tính sóng hạt, trong khi đó các chất chỉ có tính chất hạt.
 Do ánh sáng và các chất đều là các dạng năng lượng có thể chuyển hóa cho nhau, nên De Broglie cho rằng các chất cũng có tính chất lưỡng tính và các hạt như: electron và sau đó đối mọi vi hạt khác cũng có tính chất sóng hạt.
- Nội dung giả thuyết De Broglie: Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc xác định:
 + Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng theo hệ thức: (3)
 + Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng theo hệ thức:
 , (4)
Trong đó: : gọi là hằng số Plăng
2/. Hàm sóng. Hệ thức bất định Heisenberg:
a/. Hàm sóng:
- Để mô tả trạng thái của vi hạt, cơ học lượng tử dùng khái niệm hàm sóng.
- Theo giả thuyết De Broglie, chuyển động của hạt tự do (hạt không chịu tác dụng của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như sóng phẳng đơn sắc: 
 (5)
 Hay 
Trong đó: , 
 và biên độ của hàm sóng được xác định bởi:
 ( là liên hợp phức của ).
Hàm sóng (5) gọi là sóng phẳng De Broglie.
- Đối với hạt chuyển động trong trường thế (hạt chuyển động không tự do) thì trạng thái của hạt cũng được mô tả bởi hàm sóng nhưng nó phụ thuộc phức tạp vào .
b/. Điều kiện của hàm sóng: Hàm phải thỏa mãn điều kiện:
Liên tục (Đôi khi đạo hàm cấp 1 theo không gian cũng phải liên tục).
Đơn giá, hữu hạn.
 - Chuẩn hóa: (6) 
c/. Hệ thức bất định Heisenberg: 
- Giả thuyết De Broglie về sự tồn tại tính chất sóng của các hạt có đặc trưng chung sau: Các hạt electron, proton, nơtron, nguyên tử, phân tử và bất kỳ vật chuyển động nào đều có tính chất sóng. Tuy nhiên các vật có kích thước lớn, chuyển động với vận tốc thông thường, thì theo công thức (4) có bước sóng rất nhỏ so với kích thước của chúng.
- Các tính chất sóng của bất kỳ đối tượng chuyển động nào được đặc trưng bởi hàm sóng . Đại lượng được dùng để xác định khả năng tìm thấy hạt ở điểm xác định nào đó trong không gian và được gọi là mật độ xác suất ( xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích).
- Mặt khác: hàm sóng trong cả một khoảng không gian nào đó, vì thế hạt có thể tìm thấy ở bất kỳ điểm nào của không gian này.
 Tuy nhiên lưỡng tính sóng hạt của vi hạt không cho phép xác định đồng thời vị trí và động lượng. Về mặt toán học kết luận này được biểu diễn bằng hệ thức bất định Heisenberg: (7)
Trong đó: là độ bất định của vị trí
 là độ bất định của động lượng.
 Hệ thức này chứng tỏ: vị trí và động lượng của hạt không thể xác định đồng thời. Vị trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược lại.
3/. Phương trình Schrodinger:
- Trong cơ học lượng tử, nơi tính đến những tính chất sóng của hạt vật chất, việc mô tả trạng thái của hạt và chuyển động của nó về nguyên tắc khác với cách thức được áp dụng trong cơ học cổ điển.
- Trong cơ học cổ điển: trạng thái của chất điểm được xác định bởi tọa độ và vận tốc ở thời điểm nào đó. Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt được xác định bằng xắc suất tìm thấy hạt ở thời điểm nhất định trong một vùng không gian xác định (còn hàm mô tả trạng thái của vi hạt).
- Để giải các bài toán liên quan đến chuyển động của vi hạt Schrodinger đưa ra một phương trình có vai trò tương tự như phương trình định luật 2 Niutơn áp dụng cho vật vĩ mô.
	Xét một vi hạt có năng lượng E và động lượng xác định (Trạng thái dừng) và chuyển động trong trường thế hàm sóng có dạng:
 (8)
Trong đó: E là năng lượng của vi hạt
 là phần phụ thuộc vào tọa độ không gian của hàm sóng.
Hàm sóng thỏa mãn phương trình: (9)
Trong đó: gọi là toán tử Hamintơn
 (Lưu ý rằng: toán tử này không tác dụng lên hàm của thời gian).
 là toán tử Laplax.
Phương trình (9) gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian.
Thay (8) vào (9) ta được: 
 . (10)
Phương trình (10) gọi là phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian.
- Nếu biết cụ thể dạng , giải phương trình (10) ta tìm được và E, nghĩa là xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt.
	Nếu hạt chuyển động tự do (= 0). Phương trình Schrodinger có dạng:
 Hay (11)
Phương trình (11) gọi là phương trình trị riêng của toán tử hay phương trình Schdinger không phụ thuộc vào thời gian.
Trong đó: là hàm riêng hay véc tơ riêng, En là trị riêng của toán tử .
4/. Thí dụ áp dụng phương trình Schrodinger:
 Xét hạt chuyển động trên trục Ox trong trường thế có dạng:
: khi 0 < x < a
 U(x) = 
 : khi và 
Tức là giếng thế có thành vô hạn, bề rộng a
Lời giải
- Phương trình trị riêng của hạt chuyển động trong giếng thế có dạng:
Vì hạt chuyển động theo phương ox, nên ta có: 
Hay (*) Với: 
 Đây là phương trình vi phân tuyến tính hạng 2 có các hệ số là hằng số và không có vế phải.
- Phương trình đặc trưng: . 
 Nghiệm của phương trình đặc trưng: 
Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: 
 Với: A = (C2 – C1)i 
 B = (C2 + C1) là các hằng số.
 Vì hạt chỉ chuyển động trong giếng thế nên ở ngoài giếng thế bằng 0, nghĩa là ở ngoài giếng thế bằng 0.
 + Áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng (ĐK biên): 
Tại: x = 0: B = 0
 Vậy: 
Tại x = a: 
 ( n = 1,2,3...)
Vậy nghiệm riêng của toán tử là: .
 + Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: 
Vậy hàm riêng đã chuẩn hóa là: 
Như vậy ta có thể biểu diễn hàm sóng của hạt chuyển động trong giếng thế là: 
- Từ biểu thức: và 
 Vậy năng lượng của hạt trong giếng thế phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là năng lượng của hạt biến thiên một cách gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng bị lượng tử hóa.