Chuyên đề Hình học phẳng: Các bài tập & hướng dẫn & kết quả

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG
Đây là những bài toán trong hình học tọa độ phẳng chúng ta có thể gặp hoặc chưa gặp.
Chúng có thể chưa phải là những cách giải hoàn hảo và duy nhất, nhưng chúng cho một
cái nhìn khái quát về các dạng toán. Mong đọc giả đọc và đóng góp ý kiến.
CÁC BÀI TẬP & HƯỚNG DẪN & KẾT QUẢ
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm .Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
Ta có: AD = Þ AB = 2 Þ BD = 5.
Suy ra:Phương trình đường tròn đường kính BD là: 
Do đó: tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
Mà C, D lần lượt là hai điểm đối xứng của A và B qua điểm I nên 
Bài 2: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng 
 vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng. T×m täa ®é ®Ønh C.
Ta cã: AB = , trung ®iÓm M ( ) và đường thẳng AB có phương trình: 
S= d(C, AB).AB = d(C, AB)= 
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC . Suy ra d(G, AB)= 
 d(G, AB)= =t = 1 hoÆc t = 2. Suy ra: G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
Mµ nên C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1)
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm 
 và đường thẳng . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD
 có diện tích bằng nhau.
Giả sử 
Bài 4: Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I 
 của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C. 
Ta có: . Phương trình của AB là: .
 Do.
 I là trung điểm của AC:.Theo bài ra: 
Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C() thoả mãn .
Bài 5: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn 
 ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng .
 TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
V× G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn G cã täa ®é . Khi ®ã , VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ =
 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng . VËy , suy ra hoÆc . VËy cã hai ®iÓm G : . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn vµ . 
Víi ta cã , víi ta cã 
Bài 6: Trong mặt phẳng oxy cho có A(2;1) . 
 Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C 
 có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích .
Trong mặt phẳng oxy cho có A(2;1) .
 Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . 
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là AC có phương trình 3x + y - 7 = 0
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ C(4;- 5)
+  ; M thuộc CM ta được 
Giải hệ ta được B(-2 ;-3)
Tính diện tích .
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ 
. Tính được BH = ; AC = 2
Diện tích S = ( đvdt)
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2).
 Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là
 x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Gäi C = (c; 2c+3) vµ I = (m; 6-m) lµ trung ®iÓm cña BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c). V× C’ lµ trung ®iÓm cña AB nªn: nªn. 
 Ph­¬ng tr×nh BC: 3x – 3y + 23=0
 Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: 
Täa ®é cña B =
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn cùng đi qua M(1; 0). 
 Viết phươngtrình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B
 sao cho MA= 2MB.
Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và , đường thẳng (d) qua M có phương trình .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: ,
Dễ thấy nên chọn .
Kiểm tra điều kiện rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
Bài 9: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình 
 và Lập phương trình tiếp tuyến chung của và 
Gọi tiếp tuyến chung của là 
 là tiếp tuyến chung của 
Từ (1) và (2) suy ra hoặc 
Trường hợp 1: .
 Chọn 
Trường hợp 2: . Thay vào (1) được
Bài 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 
 đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, 
 đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD, kí hiệu (với a2+ b2 > 0) lần lượt là VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC. Khi đó ta có: 
Với a = - b. Chọn a = 1 b = - 1. Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0, 
A = AB Ç AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC Ç BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:
Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ 
- Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD)
Bài 11: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB 
 nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng 
 nó đi qua điểm (3;1)
Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình :
 a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) . Góc của AC tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :
 9a2 + 100ab – 96b2 = 0
Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc (AB) nên không phải là cạnh tam giác .
Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 
Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : . 
 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt
 đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6.
Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0)
Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6.
Suy ra: khoảng cách từ tâm I đến D bằng 
(thỏa mãn c≠2)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: hoặc .
Bài 13: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường 
 phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0
PT c¹nh BC ®i qua B(2 ; -1) vµ nhËn VTCP cña (d2) lµm VTPT 
(BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0
+) Täa ®é ®iÓm C lµ nghiÖm cña HPT : 
+) §­êng th¼ng ∆ ®i qua B vµ vu«ng gãc víi (d2) cã VTPT lµ 
∆ cã PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0 
+) Täa ®é giao ®iÓm H cña ∆ vµ (d2) lµ nghiÖm cña HPT :
+) Gäi B’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua (d2) th× B’ thuéc AC vµ H lµ trung ®iÓm cña BB’ nªn : 
+) §­êng th¼ng AC ®i qua C( -1 ; 3) vµ B’(4 ; 3) nªn cã PT : y - 3 = 0
+) Täa ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña HPT : 
+) §­êng th¼ng qua AB cã VTCP , nªn cã PT : 
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
 và đường thẳng d : . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 
 từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 900
+ (C) có tâm I(2 , 1) và bán kính R = 
 + là các tiếp điểm ) suy ra :
 Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R/ = và M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ:
 Vậy có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán có tọa độ nêu trên.
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 = 0. 
 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với 
 nhau góc 450.
 có phương trình tham số và có vtcp 
*A thuộc 
*Ta có (AB; )=450 
*Các điểm cần tìm là 
Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng . 
 d2: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho 
 đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm
 của hai đường thẳng d1, d2.
Cách 1: d1 có vectơ chỉ phương ; d2 có vectơ chỉ phương 
Ta có: nên và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: 
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
Nếu A = 3B ta có đường thẳng 
Nếu B = -3A ta có đường thẳng 
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 
Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho.
 Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình 
Nếu d // D1 thì d có phương trình . 
Do Pd nên 
Nếu d // D2 thì d có phương trình . 
Do Pd nên 
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 
Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: .
 Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài 
 với (C) tại A
Ta có: Giao điểm của ( C ) và trục Oy là: A(0;2), I(-2 ;0), R= 4. Gọi (C’) có tâm I’
Pt đường thẳng IA : , => I’(),
Từ giả thiết: 
 Vậy đường tròn (C’): 
Bài 18: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (D) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm 
 A (-1;2); B (3;4). Tìm điểm M(D) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Ta có: M
Suy ra: . Đặt 
Min f(t) = => M
Bài 19: 
(C) : I(1; 3), R= 2, A, B , M là trung điểm AB => Đường thẳng d cần tìm là đg thẳng AB
d đi qua M có vectơ pháp tuyến là => d: x + y - 6 =0
Đg thẳng tiếp tuyến có dạng : y = - x + m ó x + y – m =0 (d’)
d’ tiếp xúc với (C)
Pt tiếp tuyến : 
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0
 có tâm I và đường thẳng D: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng D cắt đường tròn (C) 
 tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
I
A
B
D
H
5
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB. 
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
IH = 
 Diện tích tam giác IAB là 
Û 
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 
 x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. 
 Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC.
Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT: Û A(3; 1)
Gọi B(b; b- 2) Î AB, C(5- 2c; c) Î AC
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên Û . Hay B(5; 3), C(1; 2)
Một vectơ chỉ phương của cạnh BC là . 
Phương trình cạnh BC là: x - 4y + 7 = 0
Bài 22: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng
 có phương trình 3x – y + 9 = 0.
Gọi là tâm đường tròn ta có hệ
 thế vào (2) ta có 
*) với 
*)với 
Bài 23:
 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. 
 Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B 
 sao cho .
Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) 
	Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của đoạn AB.
Ta có 
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
 Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB
 Gọi H' là trung điểm của A'B'
Ta có: 
 Ta có: 
và ; 
Ta có: 
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13
	hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
Bài 24: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9
 vµ ®­êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®­êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A
 mµ tõ ®ã kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) 
 sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
Tõ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn vµ => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3
Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. 
 Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)
Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)
Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có 
I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng .
 Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC
 bằng15.
Gọi . Khi đó diện tích tam giác ABC là
 .
Theo giả thiết ta có 
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
Bài 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 
 Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. 
 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
 AD = Þ AB = 2 Þ BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
 Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao , 
 phân giác trong .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Do nên AB: .
 Giải hệ: ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó: .
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì .
 - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): . Gọi . Giải hệ: . Suy ra: I(-1; 3)
+ Phương trình BC: . Giải hệ: 
Suy ra: . 
+ , . 
Suy ra: