Các Chuyên đề giải toán luyện thi đại học

CHƯƠNG I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
1.1. Tính đơn điệu của hàm số
A. Lý Thuyết:
Hàm số đơn điệu: 
- Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi 
* f nghịch biến trên K nếu với mọi 
- Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì 
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì 
- Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)
Định lý 2: 
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)
B. Bài Tập :
Bài tập1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn 
Bài giải:
Xét hàm số liên tục trên đoạn 
Ta có 
Vì sinx > 0 nên 
Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn 
* Hàm số f liên tục trên đoạn, ta có , nên phương trình cho không có nghiệm 
* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , vậy c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn nên phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc 
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R 
Bài giải:
Để hàm số đồng biến trên R thì 
* 
!/ m = -2 thì không thỏa 
!!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa
*, khi đó để thì 
Vậy hàm số đổng biến trên R 
Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*
* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn m = hehe!!!
Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến?
Bài giải:
* Tập xác định D = R
* y’ = (2m + 3)cosx + (2 - m) = (2m + 3)t + (2 - m) = f(t) ; với 
* Để hàm số đồng biến trên D thì 
Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng D = 
Bài giải:
Để hàm số đồng biến trong khoảng 
PP1: 
 (**)
Ta có:, do đó 
PP2: 
* m = 0 khi đó .Vậy m = 0 ( loại )
* 
!/ Hàm số đồng biến trên R khi 
 Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng 
!!/ Giả sử thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt 
Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ:
Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm 
Bài tập 1
1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?.
3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm 
4/ Cho hàm số . Tìm m để 
5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng 
6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng 
Bài tập 2
1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
1.2. Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn
Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng và sau đây tôi xin giới thiệu phương pháp nhỏ sử dụng tính đơn điệu.
I)Dạng I:
Giả sử 
Vậy phương trình đã cho tương đương với 
Ví dụ 1) Giải phương trình :
Điều kiện 
Giả sử 
Vậy 
II)Dạng II
 trong đó 
Ví dụ II)Giải phương trình:
Điều kiện: 
Phương trình đã cho tương đương với:
Giả sử:
suy ra 
Vậy phương trình có nghiệm là x=1.
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
Bài 1)
Bài 2)
Bài 3)
Bài 4)
Bài 5)
1.3. Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT
1.3.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D  thì số nghiệm của pt trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) 
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt  có m nghiệm, khi đó pt   có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.
Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục  trên D thì 
f(x) = f(y) ↔ x = y.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 .
 .
.
.
Giải:
1) Với bài toán này  nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các bạn sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK: 
Xét hàm số  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:
* vì các hàm số y=ax+b với a>0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kỹ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên tục và có nên f(t) luôn đồng biến. Do đó
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: , do vậy nếu đặt , khi đó phương trình trở thành:
, trong đó với t>0 . 
Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy 
. 
Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 
.
.
Giải: 
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số có g''(x)>0 (vì khi đó theo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
2) Đk: x>-1/2.
, trong đó là hàm liên tục và đồng biến. Do đó
Xét hàm số , ta có: , suy ra pt g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0
nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
 * Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . Từ đây ta suy ra được . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:
* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
* Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó  là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
   Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về  phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.
Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số 
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6. 
Do đó 
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra f(x) là hàm đồng biến 
Mặt khác: 
Do vậy Bpt 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là  
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
Giải: 
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1.
, trong đó
với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có được 
là ngiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 6: Giải hệ pt
Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có : 
(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên .)
Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: .
Chú ý: 
*Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương ...  (*) chỉ xảy ra 
Do : 
để k nguyên ta chọn (thì )
Các khác 
Bài 11 : GIải phương trình :
Giải
Vậy : 
Do đó :
 (Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 12 : Giải phương trình :
      Giải
Ta có :
Cách khác
Bài 13: Giải phương trình : 
Giải
Ta có : 
hay 
hay 
hay    (**)
hay 
Cách khác 
hay 
Bài 14 : Giải phương trình :
Giải 
Điều kiện : 
Lúc đó : 
Do đó : (*) vô nghiệm.
Cách khác 
 hay 
hay 
Bài 15 : Giải phương trình lượng giác : 
Giải 
Ta có : 
Cách khác 
hay 
hay 
Cách khác 
Trường hợp 4 : DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
     là hàm giảm khi 
Do đó ta có 
Bài 16 : Giải phương trình : 
Giải 
Ta có : 
Xét trên R
Ta có : 
và 
Do đó là hàm đồng biến trên R
Vậy nên 
nên 
Do đó : 
Vậy : 
Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại 
Do đó 
Bài 17 : Giải phương trình 
Giải
Ta có 
Cách khác 
hay 
   BÀI TẬP
Giải các phương trình sau 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. với 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC
Le Van Thao gui dang tren www.vnmath.com 
3.1. Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
1. Biến đổi tương đương
 khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng : 
----------------------------------------------------------
Giải:
, bất đẳng thức này đúng do giả thiết 
Đẳng thức xảy ra 
2. Đưa về hàm số
khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải:
Từ giả thiết . Ta có :
Đặt với ; có 
P là hàm nghịch biến trong đoạn 
( đạt khi hoặc ).
( đạt khi ).
3. Sử dụng phương pháp đánh giá: 
đây là PP tương đối khó trong việc CM BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: 
Giải:
Do giả thiết 
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi 
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có: 
Giải:
bất đẳng thức cần chứng minh đúng với .
Với , đpcm (1)
Ta có : 
( đpcm).
Ví dụ 3:
Cho . Chứng minh:
Giải:
Dấu “” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0
4. Sử dụng tam thức bậc 2
Ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: 
Giải:
- Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.
- Nếu thì với và
đpcm 
Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với
nên (1) đúng ( đpcm)
5.Phương pháp quy nạp
Ví dụ:
Chứng minh rằng với thì
Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.
Giải:
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:
Với 
Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n)
- Với ( do .
- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với .
Do khẳng định đúng với 
Vì 
Mà vế phải bằng 
Vậy khẳng định đúng với 
3.2. Kỹ thuật Cô-Si ngược dấu
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
 Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
  (2)
  (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức 
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
3.3. Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức
Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức.Nội dung của chuyên đề này hết sức đơn giản đó là : Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng Khi đó ta có thể xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lí thuận hoặc định lí đảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*).
Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai.
Bài 1)Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện ax+by+cz=0.Chứng minh (1) Bài giải:
Từ ax+by+cz=0 Vậy:
(1)
  (2)
Nếu y=0 thì (2) -->(2) đúng -->(1) đúng.
Nếu ,khi đó:
Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của là a>0 và 
Từ |b-c| , tương tự và 
Vậy --> nên vế trái của (3) luôn >0-->(3) đúng -->(1) được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0
Bài 2)Cho và abc=1.Chứng minh rằng:
Từ abc=1 và do nên chắc chắn a>0.Ta có:
(1)
Xét tam thức bậc hai 
Ta có hệ số của là 1>0 và 
Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x)>0 với mọi x đúng-->dpcm
Dạng 2)Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Bài 1)Cho (a+c)(a+b+c)<0.Chứng minh:
Nếu a=0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0  (1)
Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng   (2)
Từ (1) suy ra vậy (2) đúng -->dpcm.
Nếu xét tam thức bậc hai sau:
Từ f(0)=a+b+c ; f(-1)=2(a+c) -->từ gải thiết ta có f(0)f(-1)<0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt .hay 
Một số bài tập vận dụng:
1)Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn :
.Chứng minh rằng:
2)Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có:
3.4. MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN
Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có một kĩ thuật là ta đi chứng minh :   .Nếu chứng minh được như thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ:   
Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : 
Giải : Ta có : 
mà nên 
nên 
Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng :
Giai: Ta có : 
Mà 
Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :
Giải:  Ta có : (x,y là các số dương)
Tương tự 2 bài trên ta suy ra 
Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ cho các bạn giải toán ,đặc biệt là những ai yêu bài toán BĐT 
3.5. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị
.BĐT và cực trị, đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất.
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3
Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho .Tìm Min của: 
Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk 
Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và 
Ta áp dụng Cosi như sau: ta có 
Khi đó kết hợp với đk ta có 
Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có 
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: 
P=++>=
Giải: 
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng .Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi".
Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta được ngay:
Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1.
Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn
Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:
P= + +
3.6. Khai thác một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
Chúng ta tìm hiểu một bài toán như sau:
"Cho . Tìm GTNN của "
Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ. Còn đối với dân không phải dân chuyên Toán,  việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quả thú vị. Hãy thử xem? Trước hết chúng ta xem xét lời giải của bài toán trên:
Cộng 2 BĐT trên ta có 
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôi sẽ thêm vào 1 số  nào đó:
Cộng hai BĐT trên ta có: 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
Giả sử đã tồn tại  để dấu "=" xảy ra, khi đó 
. 
Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi .
Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương:
"Cho . Tìm GTNN của "
Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số  đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT
Cách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào vế phải. Ta tiếp tục cộng 2 BĐT:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
. Khi đó . Giả sử đã có alpha thỏa mãn dấu "=", tức là:
(1) 
Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là 
Lần này, chúng ta phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, chúng ta cho các hệ số bằng 1.
"Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương:
Ở đây, cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạng tự do. Mục đích là để khi ta áp dụng BĐT Cô-si, ta thu được một số hạng bậc 3 của x.
Cộng 2 BĐT:
. 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
. Khi đó (2). Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:
. 
Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y = 
Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, chúng ta thử nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn,và sẽ mở rộng thêm được một số kết quả sau:
Bài toán 1: "Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si:
Cộng 3 BĐT vào:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 
. Khi đó . Giả sử tồn tại thỏa mãn dấu "=", khi đó:
. Khi đó đạt được khi 
Bài toán 2: "Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si:
Cộng 3 BĐT vào:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
. 
Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:
Đạt được khi 
Bài toán 3: "Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng:
Cộng 2 BĐT:
Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:
Đạt được khi 
Các bạn hãy thử tìm lời giải cho các bài toán sau:
Bài toán 4: "Cho . Tìm GTNN của ."
Bài toán 5: "Cho . Tìm GTNN của ."
Bài toán 6: "Cho Tìm GTNN của ." (a, b, c, d, e, f là các số dương)
-------------------------The End------------------------
Hy vọng tài liệu này tôi tổng hợp sẽ giúp ích được cho các bạn trong quá trình ôn thi ĐH cũng như trong học tập. Mọi ý kiến đóng góp xin vui long liên hệ theo địa chỉ
ThaoMTA@gmail.com.vn hoặc lethao257@gmail.com.vn - Mobile 0977856521
Thanks!