Giáo án Luyện tập Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

GIÁO ÁN
Tên bài : Luyện tập Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
Số tiết : 1 tiết
Đối tượng : Học sinh khá – giỏi
Ngày soạn : 7/6/2004
Người soạn : Nguyễn Tuyết Thảo
1 Mục tiêu
• Kiến thức: Vận dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai để chứng minh phương
trình có nghiệm và giải các bài toán về so sánh một số với các nghiệm của phương
trình.
• Kỹ năng:
– Tổ chức quá trình giải quyết bài toán.
– Đánh giá kết quả và phương pháp giải.
• Thái độ:
– Tích cực tham gia trả lời câu hỏi do giáo viên đặt ra.
– Tích cực tìm kiếm các các giải khác nhau.
– Cẩn thận, chính xác khi tính toán.
• Tư duy:
– Phân tích, so sánh, tổng hợp.
– Tính độc lập, sáng tạo, phê bình.
2 Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
SGK, giáo án, phấn màu, bảng đen, thước kẻ, giấy trong, máy chiếu.
Phiếu học tập, Bài trình chiếu.
Học sinh làm bài tập về nhà: 1,2,3,4/141–142 (SGK).
3 Phương pháp dạy học
• Vấn đáp gợi mở.
• Làm việc nhóm.
1
4 Tiến trình bài học
4.1 Ổn định lớp (1’)
4.2 Kiểm tra bài cũ (12’)
Học sinh làm việc theo nhóm để trả lời các câu hỏi trong phiếu học tập trên giấy trong
1. Điền nội dung vào bảng sau:
ĐIỀU KIỆN VÀ VỊ TRÍ α SO VỚI CÁC NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Điều kiện Kết luận Minh họa bằng đồ thị
a>0 a<0
af(α) < 0
{
af(α) > 0
∆ > 0
S
2
− α < 0 x1 < x2 < α
S
2
− α > 0 α < x1 < x2
2. Hãy xác định hệ thức điều kiện để tam thức bậc hai
f(x) = ax2 + bx+ c
(a) Có hai nghiệm dương phân biệt
(b) Có một nghiệm thuộc khoảng (α; β) còn nghiệm kia lớn hơn β
(c) Có hai nghiệm phân biệt nằm ngoài đoạn [α; β]
GIẢI
f(x) = ax2 + bx+ c
(a) 0 < x1 < x2 ⇔

af(0) > 0
∆ > 0
S
2
− 0 > 0
hoặc

∆ > 0
P > 0
S > 0

(b) α < x1 < β < x2 ⇔
{
af(β) < 0
af(α) > 0
2
?? GV: Có học sinh viết
α < x1 < β < x2 ⇔

af(β) < 0
af(α) > 0
∆ > 0
S
2
− α > 0
So với hệ thức trên, có nhận xét gì? Giải thích? −→ HS: Quá dài, thừa điều
kiện.
(c) Xảy ra 3 trường hợp:
TH1 x1 < α < β < x2 ⇔
{
af(α) < 0
af(β) < 0
TH2 x1 < x2 < α < β ⇔

af(α) > 0
∆ > 0
S
2
− α < 0
TH3 α < β < x1 < x2 ⇔

af(β) > 0
∆ > 0
S
2
− β > 0
4.3 Bài mới
Hoạt động Nội dung
Ghi nhớ: Để so sánh số α với các nghiệm của
tam thức bậc hai, ta thường phải xét dấu các
biểu thức af(α),∆,
S
2
− α nêu trong hệ sau:
(∗)

af(α)
∆
S
2
− α
Trong trường hợp cụ thể, do đặc thù của bài
toán, xét hệ (*) có thể không đủ cả 3 biểu
thức af(α),∆,
S
2
− α
Ví dụ: (GV phân tích câu 2 trong phần kiểm
tra bài cũ)
3
Bài 1c/141 (SGK) (4’)
−→ HS: Đặt f(x) = x2−(m−1)x+3m−15,
α = 3
f(3) = 9− 3m+ 3 + 3m− 15 = −3
af(3) = 1.(−3) = −3 < 0
Vậy phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 và x1 < 3 < x2.
?? GV: Dựa vào kiến thức nào để có kết
luận trên?
−→ HS: Định lý đảo về dấu tam thức bậc 2.
Bài 4/142 (SGK) (4’)
Đặt f(x) = mx2 − 3(m− 4)x+ 4m− 12
f(−2) = 4m+6(m−4)+4m−12 = 14m−36
f(2) = 4m− 5(m− 4) + 4m− 12 = 2m+ 12
f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (−2; 2), 1 nghiệm
nằm ngoài [−2; 2]
⇔
[ −2 < x1 < 2 < x2
x1 < −2 < x2 < 2 ⇔ f(−2)f(2) < 0
⇔ (14m−36)(2m+12) < 0⇔ −6 < m < 18
7
?? GV: Dựa vào kiến thức đã học nào?
−→ HS: Hệ quả 2 của định lý đảo về dấu
tam thức bậc hai.
Bài tập 2’ (8’) (Phiếu học tập)
Cho phương trình (m2 + 1)x2 −mx− 1 = 0
Tìm m để phương trình:
a) Có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Có 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1) nghiệm
kia lớn hơn 1.
• GV: Tương tự bài tập 2/141 (SGK) (đã
giải ở tiết trước)
−→ HS: Đặt f(x) = (m2 + 1)x2 −mx− 1
4
a) f(x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔ 0 < x1 < x2 ⇔

∆ > 0
P > 0
S > 0
⇔

m2 + 4(m2 + 1) > 0
−1
m2 + 1
> 0
m
m2 + 1
> 0
Vô nghiệm
Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
b) f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng
(0; 1) nghiệm kia lớn hơn 1
⇔ 0 < x1 < 1 < x2
⇔
{
(m2 + 1)f(1) < 0
(m2 + 1)f(0) > 0
⇔
{
(m2 + 1)(m2 − 1) < 0
(m2 + 1)(−1) > 0 Vô nghiệm
Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
?? GV: Nhận xét, ý kiến về cách giải?
−→ HS: a.c = −(m2 + 1) < 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái
dấu.
Từ đó ta suy ra: không tồn tại m thỏa mãn
yêu cầu câu a, b của bài toán.
• GV: Sau khi giải bài toán, cần thực hiện
việc kiểm tra, đánh giá không chỉ kết quả mà
còn cần xem xét cả lời giải để có thể tìm được
những cách giải khác.
Bài tập II (5’)
Hãy xem lời giải sau đã đúng chưa?
CMR: Với mọi m, phương trình sau luôn có
nghiệm:
m(x2 − 9) + x(x− 5) = 0
GIẢI
Đặt f(x) = m(x2 − 9) + x(x− 5)
Chọn α = −3⇒ f(−3) = 24
β = 3⇒ f(3) = −6
f(-3).f(3)=24(-6)=-144<0
⇒ f(x) có hai nghiệm phân biệt , một
nghiệm trong khoảng (−3; 3), một nghiệm
ngoài [−3; 3]
5
?? GV: Nhận xét lời giải?
−→ HS: Lời giải còn thiếu do hệ số a có chứa
tham số m nên phải chia hai trường hợp: a =
0, a 6= 0
Bài giải
Đặt f(x) = m(x2 − 9) + x(x− 5)
= (m+ 1)x2 − 5x− 9m
TH1 m+ 1 = 0⇔ m = −1
⇒ f(x) = −5x+ 9 có 1 nghiệm x = 9
5
TH2 m+ 1 6= 0⇔ m 6= −1
⇒ f(x) là tam thức bậc 2
. . . . . . (lời giải bài II)
?? GV: Tại sao lại chọn α = 3, β = −3?
−→ HS: Chọn 2 số này để lược bỏ m trong
f(x).
?? GV: Hãy đặt một bài toán mới phù hợp
với lời giải ban đầu đã nêu ra.
Bài tập III (9’)
Tìm m để phương trình:
x2 + (1− 3m)x+ 3m− 2 = 0
có nghiệm nằm ngoài khoảng (−2; 2)
?? GV: Nhận xét gì về bài toán?
−→ HS: Có rất nhiều trường hợp để giải. Ví
dụ:
x1 < −2 < x2 < 2
x1 < −2 < 2 < x2
x1 < −2 < x2 = 2
x1 = −2 < x2 < 2
. . .
−→ HS: Giải gián tiếp: Tìm m để phương
trình không có nghiệm nằm ngoài (−2; 2).
Khi đó, chỉ cần xét 2 trường hợp:
6
TH1 Phương trình vô nghiệm
TH2 −2 < x1 ≤ x2 < 2
Rồi lấy phần bù kết quả tìm được.
−→ HS: Lời giải
Đặt f(x) = x2 + (1− 3m)x+ 3m− 2
TH1 f(x) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
⇔ (1− 3m)2 − 4(3m− 2) < 0
⇔ 9(m− 1)2 < 0 Vô nghiệm
TH2 f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (-2;2)
−2 < x1 ≤ x2 < 2
⇔

af(−2) > 0
af(2) > 0
∆ ≥ 0
−2 < S
2
< 2
⇔

9m > 0
−3m+ 4 > 0
9(m− 1)2 ≥ 0
−2 < 3m− 1
2
< 2
⇔

m > 0
m <
4
3
m > −1
m <
5
3
⇔ 0 < m < 4
3
Kết luận: Phương trình f(x) = 0 có nghiệm
nằm ngoài khoảng (−2; 2) khi m ≤ 0 hoặc
m ≥ 4
3
?? GV: Cách khác?
−→ HS: Nhận xét: 1+1-3m+3m-2=0
Nên phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm[
x1 = 1 ∈ (−2; 2)
x2 = 3m− 2
⇒ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm nằm
ngoài khoảng (−2; 2)
⇔
[
3m− 2 ≤ −2
3m− 2 ≥ 2 ⇔
[
m ≤ 0
m ≥ 4
3
7
4.4 Công việc về nhà (2’)
• Dặn dò:
– Cần nhớ: Điều kiện và vị trí số α so với các nghiệm của tam thức bậc 2.
– Trình bày bại bài II vào vở bài tập.
• Bài tập về nhà:
1. Tìm giá trị của m để phương trình
2x2 +mx+m+ 1 = 0
có nghiệm và các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện |x| ≤ 1.
(Lưu ý: Việc tùy tiện thay thế điều kiện af(α) > 0 bởi af(α) ≥ 0 một cách
đơn giản có thể dẫn đến kết quả sai. Đối với bài toán này cần xét riêng trường
hợp “=” xảy ra)
2. Chứng minh rằng phương trình:
(x− a)(x− b) + (x− b)(x− c) + (x− c)(x− a) = 0
có nghiệm với mọi a, b, c đôi một khác nhau.
8