Bài tập Toán Lớp 12 - Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Giải SBT Toán 12 bài 2: Phương trình mặt phẳng
Bài 3.17 trang 113 sách bài tập (SBT – Hình học 12)
Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận n→=(1;1;1) làm vecto pháp tuyến;
b) (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto u→=(0;1;1), v→=(−1;0;2);
c) (α) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình (α) có dạng: (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0
b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng (α) là: u→=(0;1;1) và v→=(−1;0;2).
Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là n→=u→∧v→=(2;−1;1)
Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận n→=(2;−1;1) là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 1) – y +z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0
c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: MN→=(3;2;1) và MP→=(4;1;0)
Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là n→=MN→∧MP→=(−1;4;−5)
Vậy phương trình của (α) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 hay x – 4y + 5z – 2 = 0
Bài 3.18 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Hướng dẫn làm bài
Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là n→=IB→=(1;4;−1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.
Bài 3.19 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có: AB→=(−4;5;−1) và AC→=(0;−1;1) suy ra n→=AB→∧AC→=(4;4;4)
Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là n→=(4;4;4) hoặc n→′=(1;1;1)
Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0 hay x + y + z – 9 =0
b) Mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên (α) cũng có vecto pháp tuyến là n→′=(1;1;1)
Vậy phương trình của (α) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0 hay x + y + z – 10 = 0.
Bài 3.20 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng (β): x + y + 2z – 7 = 0.
Hướng dẫn làm bài
Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): x + y + 2z – 7 = 0
Vậy phương trình của (α) có dạng: x + y + 2z + D = 0
(α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.
Vậy phương trình của (α) là x + y + 2z = 0.
Bài 3.21 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (β): x + 2y – z = 0.
Hướng dẫn làm bài:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β): x + 2y – z = 0.
Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là AB→=(2;2;1) và nβ→=(1;2;−1)
Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là: nα→=(−4;3;2)
Vậy phương trình của (α) là: -4(x) + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0
Bài 3.22 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
(α): Ax – y + 3z + 2 = 0
(β): 2x + By + 6z + 7 = 0
Hướng dẫn làm bài:
(α)//(β)⇔A/2=−1/B=3/6≠2/7⇔{A=1;B=−2
Bài 3.23 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) (α): x + 2y – 2z + 1 = 0
b) (β): 3x + 4z + 25 = 0
c) (γ): z + 5 = 0
Hướng dẫn làm bài
a) d(M,(α))=|1+4+1|/√1+4+4=6/3=2
b) d(M,(β))=|3+25|/√9+16=28/5
c) d(M,(γ))=|5|/√1=5
Bài 3.24 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
(α): 3x – y + 4z + 2 = 0
(β): 3x – y + 4z + 8 = 0
Hướng dẫn làm bài:
Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng (α) và (β)
⇔d(M,(α))=d(M,(β))⇔|3x−y+4z+2|/√9+1+16=|3x−y+4z+8|/√9+1+16
⇔3x–y+4z+5=0
Bài 3.25 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Hướng dẫn làm bài
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A(0; 0; 0), B(1;0; 0), D(0; 1; 0)
B’(1; 0 ; 1), D’(0; 1; 1), C’ (1; 1; 1)
a) Phương trình của hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) là:
x + y – z = 0 và x + y – z – 1 = 0
Ta có: 1/1=1/1=−1/−1≠0/−1. Vậy (AB’D’) // (BC’D)
b) d((AB′D′),(BC′D))=d(A,(BC′D))=1/√3
Bài 3.26 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
(β): 3x – 2y + 2z + 7 = 0
(γ): 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Hướng dẫn làm bài:
Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β) và (γ), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: nβ→=(3;−2;2) và nγ→=(5;−4;3).
Suy ra nα→=nβ→∧nγ→=(2;1;−2)
Mặt khác (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là nα→ . Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.