Bài tập Toán Giải tích 12 học kì 2

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§ 1.NGUYÊN HÀM 
1) Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định.
Ÿ F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm của f(x)
Ÿ Tập hợp các nguyên hàm của f(x) gọi là tích phân bất định của f(x) và ký hiệu là: 
2) Bảng các nguyên hàm cơ bản:
Nguyên hàm của hàm cơ bản
Nguyên hàm của các hàm hợp
3) Các tính chất cơ bản:
+ 	
+
+
+ 
4) Các phương pháp tìm nguyên hàm:
1- Phương pháp đổi biến: 
 Đặt 
2- Phương pháp nguyên hàm từng phần: 
Đặt 
Lưu ý: + đơn giản hơn 
+ Nếu vẫn còn dạng nguyên hàm từng phần thì tiếp tục thao tác trên như sau: 
¨ BÀI TẬP
Dạng 1: Dạng cơ bản
Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:
a/.	b/. 	c/.
d/.	e/.	f/.
g/.	h/.	i/.
j/.	k/.	l/.
m/. ; n/.; p/.; q/.
Dạng 2: Biến đổi về dạng cơ bản
Bài 1: Tính :
a/.	b/.	 c/.
d/.	e/.	 f/.
g/.	h/.	 i/.
Bài 2: Tính :
a/.; b/.; c/.; d/.
e/.; f/.; g/.; h/.
Dạng 3: Phương pháp đổi biến 
Loại 1: f(x) là đa thức
Bài 3: Tính :
I1 = ; I2 =
I3 = 	I4 =
Loại 2: f(x) là phân thức
Bài 4: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =; I8 =; I9 =; I10=
Loại 3: f(x) là hàm vô tỉ.
Bài 5: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =; I8 =; I9 =; I10 =
 Loại 4: f(x) là biểu thức chứa hàm 
Bài 6: Tính :
I1 =;	I2 =;	 I3 =; 	 I4 =
I5 =	; 	I6 =; I7 =	; I8 =
 Loại 5: f(x) là biểu thức chứa hàm 
Bài 7: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =	I4 =
Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác.
Bài 8: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
I10 =	I11 =	I12 =
I13 =	I14 =; I15 =
I16 = I17 =
Dạng 4: Nguyên hàm từng phần
Loại 1 : 
Bài 9: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
Loại 2: 
Bài 10: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
Loại 3: 
Bài 11: Tính :
I1 = 	I2 = 	I3 = 
Dạng 5: Tìm nguyên hàm khi biết 1 giá trị hàm số
Bài 12: Tìm biết:
a/. ; 	b/.
c/. ; 	d/. 
e/. 
§2.TÍCH PHÂN
Định nghĩa: 
Tính chất 1: 
Tính chất 2: 
Tính chất 3: 
Tính chất 4: 
 Tính chất 5: 
Tính chất 6: Nếu: thì:
Tính chất 7: Nếu: thì:
Tính chất 8: Nếu: thì 
Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a;b] thì là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
¨ BÀI TẬP
Loại 1: Tích phân cơ bản
Bài 1: Tính :
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
I10 =	I11 =	I12 =
I13 =	I14 =; I15 =
Loại 2: Biến đổi về cơ bản
Bài 2: Tính ::
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
I10 =	I11 =; I12 =
I13 =	I14 =; I15 =
I16 =	I17 =	I18 =
Loại 3: Tích phân 
Bài 3: Tính :
I1 =	 I2 = 	 I3 =
I4 =; 	 I5=; I6 =
I7 =; I8=; I9=
§3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH 
TÍCH PHÂN
Dạng 1: Phương pháp đổi biến số loại 1 (lượng giác hóa)
Phương pháp: Tính 
+ Đặt 
+ Đổi cận : 
CÁC DẤU HIỆU 
Dấu hiệu
Cách chọn
x = asint, 
x = acost, 
 , 
 , 
x = atant, 
x = acott, 
Bài 4: Tính
 J1 =	 	 J2 =	J3 =
J4 =	 	J5 =	J6 =
J7 =	 	 J8 =	J9 =
J10 =	J11 =	J12 =
J13 =	J14 =	J15 =
J16=; J17 =;	J18=	
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số loại 2 .
Phương pháp: Tính 
+ Đặt 
+ Đổi cận : 
¨ BÀI TẬP
Loại 1: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC
Bài 5: Tính :
I1 =; 	I2 =; 
 I3 =; 	 I4 =
Loại 2: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
Bài 6: Tính :
I1 =;	 I2 = ;	I3 =;	 I4 =
I5 =;	I6 =; 	I7 =; 
I8 = 	I9 = ; I10 = ; 	
 I11 =; 	 I12=; 
Bài 7: Tính :
I1 = ;	I2 =;	I3 =
I4 =; 	I5 =;	I6 = 	
I7=; 	I8 =; 	I9 =; 
I10= ; I11 =; 	I12 =; 
I13 =; 	I14 =; I15 = 
I16 =; I17 =; I18 =; 
Bài 8: Tính :
I1 = ; 	I2 =; 	I3 = 	
I4 = ; 	I5 = ; 	I6 = ; 
I7 = ; 	I8 =; 
I9 = ; 	I10 =;
Loại 3: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
3.1 Dạng 
đặt: 
Bài 9: 
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
I10 =	I11 =	I12 =
Bài 10: 
I1 = ; 	I2 =; 	I3 = ; 	I4 =; 
I5 =; 	I6 =;	I7 =; 
I8 =; 	I9 =; 	I10 =;
I11 =; 	I12 = ; 	I13 = ;
I14 =;	I15 =; 	I16 =
I17 =;	I18 =; 	I19 =; 
I20 =;	I21=; 	I22 = 
I23 =; 	I24 = 
3.2 Dạng 
đặt 
Bài 11: 
 I1=; 	I2 =;	I3 =;
 I4 =;	I5 =;	I6 =; 
I7 =; 	I8 =;	I9 =; 
I10 =; 	I11 =;	
3.3 Dạng 
Phương pháp 1: (Lượng giác hóa) 
Đặt , ta có: 
Phương pháp này chỉ nên sử dụng khi và hàm liên tục trên đoạn tương ứng của biến t.
Bài 12: 
I1=; 	I2=; 	I3 =; 	
I4 =;	I5 =; 	I6=; 	
I7=; 	I8=;	I9=; 
I10=; 	I11=; 
I12 =;	I13=; 
I14=; 	I15=;	I16=
Phương pháp 2: (Phép thế Ơle) 
+ a > 0: đặt 
+ c > 0: đặt 
+ Nếu x0 là nghiệm: đặt 
Bài 13: 
I1=; 	I2=;
I3=; 	I4=;
I5=; 	I6=;
I7=; 	I8 =
µ Một số dạng đặc biệt:
1- 
Tính:	I1=; 	I2 =
2- 
Tính: I1=;	I2=; 	
	I3 =; 	I4 = 
3- 
Tính: I1=; I2=; 
I3=; 	 I4 =;
I5=; I6=; I7=
4- 
Tính: 	I=
5- 
Đặt Qn-1 theo đa thức bậc n – 1, đạo hàm 2 vế theo x và quy đồng mẫu số, sử dụng phương pháp Hệ số bất định tìm được Qn-1 và k.
Tính: 	I1=; 	I2=
6- ,phân tích về phân thức và gặp lại các dạng trên.
Tính: I1=; I2=; I3=; 
3.4 Dạng; ( Tích phân vi phân nhị thức) 
+ Nếu : đặt với của mẫu số các phân số r, p.
Tính: I1=; 	I2=; 	I3=; 
 	I4 =; 	I5 =;	I6=
+ Nếu : đặt với s là mẫu số của phân số q.
Tính: I1=; 	I2=; 	I3=;
	I4=;	I5=; 	I6=; 
	I7=; 	 	I8=; 	I9=; 	
	I10=; I11=; 	
+ Nếu : đặt với s là mẫu số của phân số q.
Tính: I1 =;	I1 =;	I1 =; 
	I3 =;	I3 =;	 I4 =
Loại 4: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM SIÊU VIỆT
1.Tính:
I1 =; I2 =; 	I3 =;
I4 =; I5 =; 	I6 =; 
I7 =; 	I8 =;	 I9 =
I10 =;	I11 =; 	 I12 =; 
2.Tính: 
I1 =; 	I2 =; 	I3 =;	I7 =; 	I8 =; 
I4 =; 	I5 =; 	I6 =;
I7 =; 	I8 =; 	I9 =; 
 I10 =; 	I11 =; 	I12 =; 
3.Tính:
I1 =;	I2 =;	I3 =;
I4 =;	I5 =;	I6 =;
I7 =;	I8 =;	I9 =
I10 =;	I11=;	I12 =; 	I4 =
I13 =;	I14 =; 	I15 =;
I16 =;	I17 =;	I18=; 
I19=; 	I20 =;	I21=; 
I22=; 	I23=; 	I24=;
Loại 5: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Ÿ đặt 
Ÿ đặt 
Ÿ đặt 
Ÿ đặt 
1.Tính:
I1 =	I2 =	I3 =
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
I10 =	I11 =	 I12 =
2.Tính:
I1 =; 	I2 =; 	I3 =; 
I4 =;	 I5 =; I6 =;
 I7 =; 	I8 =;	 I9 =; 
I10 =; 	I11 =; 	I12 =
I13 =; 	I14 =; 	 I15=; 	
I16 =;	I17 =; 	I18=;
I19 =; 	I20 =; 	I21 =; I22 =;	I23 =; I24=
I25=; 	I26=; 	I27 =; 
3.Tính: 
I1 = ; I2 =; I3=; 
I4=; I5=; 	I6=; 
I7=; I8=; 	I9=;
I10 =; 	I11=; 	 I12=;
I13=;	I14=;	I15 =; 
I16=;	I17= ; 	I18= 
I19=; I20=; 	I21=;
I22=; I23=; I24=; 
 I25=; I26=;	I27=; 
I28=; I29=;	I30=;
4. Tính:
I1=; 	I2=; 
I3 =;	I4 =;
I5 =;	I6 =; 
I7 =;	I8 =; 
I9 =; 	I10 = ;
I11 =;	I12 =; 
I13 = ; 	I14 = ; 
Dạng 3: Phương pháp tích phân từng phần
Ý nghĩa: 
Phương pháp: + Phân tích: 
hay: 
Loại 1: . Đặt: 
1. Tính:
I1 =; 	I2 =; 	I3 =; 
I4 =; 	I5 =; 	I6 =; 
I10=; 	I11 =; 	I12 =
I13 =; 	I14 =; 	I15 =; 
I16 =; 	I17 =; 	I18 =; 
 I19=; I20=; 
 I21 =; 
2. Tính:
I1 =; 	I2 =; 	I3 =; 
 I4 =; 	I5 =; 	I6 =; 
I7 = ;	I8 = ;	 I9 =
Loại 2: . Đặt: 
1. Tính:
I1 =	I2 =	I3 = 
I4 =	I5 =	I6 =
I7 =	I8 =	I9 =
I10 =	I11 =	I12 =
I13 =	I14 =	I15 =
I16 =	I17=; I18 =;
2. Tính: 
I1=; 	I2 =; 	I3 =; 
I4=;	I5 =; 	I6 =; 
I7 =; 	I8 =;
I9 =; 	I10 =; 
I11 =; 	I12 =;
Loại 3: (Tích phân lặp). Đặt: 
Lưu ý: khi tính đến TP thứ 2 tiếp tục áp dụng thuật TPTP trên lần nữa và dừng lại khi thấy xuất hiện TP ban đầu; áp dụng chuyển vế tìm I
Tính: 
 I1 =; 	I2 =; I3 =
I4 =;	I5=;	 I6 =;
I7 =;	I8=; I9=
Loại 4: ; 
=. 
Tính:	
I1 =;	I2 =; 	I3 =;	
I4 =; 	I5 =
Loại 5: 
Tính: I1=; 	I2=;	I3=
§4. TÍCH PHÂN 
HÀM CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
TC1: 
Nếu hàm số f là hàm số chẵn và liên tục trên ,và ta có: 
Tính: 
I1=; 	I2=; 	I3=;
I4=; 	I5=; 	I6=;
I7=;	I8=;	
TC2: 
Nếu f(x) liên tục trên [-a;a] thì:
Tính: 	
I1=; 	I2=;
I3=; 	I4=
I5=; 	I6=;
I7=; I8=;
TC3: 
Nếu hàm số f liên tục trên thì 
1.Tính: I1=;	 	I2=; 
	I3=; 	I4=;
	I5=;	I6=;
2. Chứng minh: a/. b/. 
TC4: 
Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và thì:
Đặc biệt: 
Tính: I1=; I2=; I3 =; 
TC5: 
Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì:
Đặc biệt: 
Tính: I1=; 	I2=
TC6: 
Nếu f(x) liên tục trên và tuần hoàn với chu kì T thì : 
Ÿ ( đặt u = x – T)
Ÿ
Tính : I1= ;	I2= 
TC7: 
Nếu f(x) liên tục trên thì : 
Tính: I1=;	I2=
§5. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
TÍCH PHÂN TRUY HỒI
1. Chứng minh: 
a/. ; 	b/. 
c/. ; 	d/. 
e/. ; 	f/. 
g/.; 	h/.
2.a/. Tính: ; 
b/. Đặt . Tính I(t) và chứng minh:
3. a/ CM: ; 	b/ CM: 
4.a/ CM: ; 	b/ CM: 
5.a/.CM: ; b/. CM:
6.a/. Tính:I1=; 	I2= 
 b/. CM: 
7.a/. Tính:I =; b/. Đặt, tính J(t) theo t ,suy ra 
8.Cho số thực b ³ ln2. Tính J = và tìm 
9. Cho a/. Tính I2 ; b/. Chứng minh: 
10. Cho 
a/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In+1 và In; 	 b/ . CM:
11. Cho 
a/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In-1 và In ;	 b/. Tính I3.
12. Tính 
13. Cho 
a/ .Tính I1 ;	 	 b/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In-1 và In 
14. Cho 
a/ .CM: ;	 b/. CM: 
c/ CM: ;	 d/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In-2 và In 
15. Tính I =
16. Cho. 
a/ . Tính I2 ;	 b/. CMR: 
§6. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox. 
Công thức: 
Đặc biệt: 1) Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính R là :
 S = 
2) Diện tích của elip (a > b > 0) là : 
 S = 
µLưu ý: 
Với xi là nghiệm của f(x) chứa trong [a;b]
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
 trục Ox , Oy và đường thẳng x = -2.
, trục Ox, trục Oy và x = 2.
 và trục Ox.
, trục Ox, Oy và 
, trục Ox, x = 1, x = e
; trục Ox; x = 1; x = e.
, 
Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x), y = g(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b.
Công thức: 
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
 với ;
Loại 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)
Phương pháp: 
Xét pt: f(x) – g(x) = 0, tìm nghiệm x1 < x2 < < xk
Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
 S=
1/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
 với trục hoành; 
với trục Ox
với trục hoành
với trục Ox
 với trục hoành.
 và trục Ox;
2/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
, .
 với trục hoành
3/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
, tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.
 và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2).
 và tiếp tuyến kẻ từ 
 , tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = -1, x = 0.
, tiệm cận xiên và .
 , trục Oy, tiệm cận xiên của (C) và x = 1.
 và 
; , 
 và 
; 
; 
4/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (P): y = x2 và đường thẳng (d) đi qua I(1;3) biết diện tích đó lớn nhất.
5/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởivà 2 tiếp tuyến của (P) tại A(1;2) và B(4;5).
6/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường;	 và y = 1
7/. Trên mặt phẳng toạ độ tiêu chuẩn cho 2 đường Parabol: và .
a). Xác định a và b sao cho đường thẳng đồng thời là tiếp tuyến của parabol. Xác đinh toạ độ của các tiếp điểm. 
b). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định ở trên. 
8/. Biết (P): chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn thành 2 phần tính diện tích mỗi phần. 
9/. Cho (P): và (Δ) đi qua A(1;4) và có hệ số góc k. Xác định k để diện tích phần hình phẳng bị chắn phía dưới bởi (P) và bị chắn phía trên bởi (Δ) đạt giá trị nhỏ nhất. 
10/. Cho (P): và đường thẳng (Δ): . Hãy xác định m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng (Δ) và (P) là nhỏ nhất.
Vấn đề 2: TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
Loại 1: Vật thể tròn xoay (T)sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trục Ox.
Công thức: 
1/. Tính thể tíc ... phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn:
 có 3 nghiệm là .
Ta có nên 
Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp sau:
k = 1;	b) k = ;	c) k = 2i.
Hướng dẫn: có 2 nghiệm 
k = 1 thì 	b) k = thì 	c) 
Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
;	b) ;	c) ;	d) 
Hướng dẫn:
.
a) Tìm các số thực b, c để phương trình nhận làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình nhận và z = 2 làm nghiệm.
Hướng dẫn:
Lần lượt thay và z = 2 vào phương trình, ta được 
 Û 
 5. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo)
Số phức dưới dạng lượng giác:
Acgumen của số phức z ¹ 0:
Cho số phức z = a + b ¹ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc được gọi là một acgumen của z.
Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2p tức là có dạng + k2p (kÎ ) 
(z và nz sai khác nhau k2p với n là một số thực khác 0).
VD: Biết z ¹ 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; ; –; .
z biểu diễn bởi thì –z biểu diễn bởi – nên có acgumen là + (2k + 1)p
 biểu diễn bởi M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2p
– biểu diễn bởi – nên có acgumen là – + (2k + 1)p
 = , vì là một số thực nên có cùng acgumen với là – + k2p.
Dạng lượng giác của số phức z = a + b:
Dạng lượng giác của số phức z ¹ 0 là z = (cos + sin) với là một acgumen của z.
VD:
Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng p nên có dạng lượng giác là z = cosp +sinp
Số 1 + có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = và sin = . Lấy = thì
 1 + = 2(cos+ sin)
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos+sin)
Chú ý:
Số – cos – sin có dạng lượng giác là cos( + p) + sin( + p)
Số cos – sin có dạng lượng giác là cos(–) + sin(–)
Số – cos + sin có dạng lượng giác là cos(p – ) + sin(p – )
Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = (cos + sin) và z¢ = ¢(cos’ + sin’) với , ¢³ 0
 và (¢¹ 0)
Ta có và có cùng acgumen là –’ + k2p nên .
Do đó (’¹ 0)
VD: và . Tính và 
Với ; = 
và = 
Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = (cos + sin)
 (nÎ )
Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z = (cos + sin) ( > 0) có 2 căn bậc hai là 
 và 
VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: và căn bậc hai của w = 1 +
Ta có 1 + = . 
Do đó = 
w = 1 + = có 2 căn bậc hai là và .
Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn và công thức Moavrơ để tính .
Hướng dẫn: 
Ta có với phần thực là 
 có phần thực 
Vậy = –512.
Tính: 
Hướng dẫn: 
Cho số phức . Tìm các số nguyên dương n để là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để là số ảo?
Hướng dẫn: 
W là số thực khi , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để là số ảo.
6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
 a. b. 
 c. d. ;
3.Tính :
a) 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+.+(1+i)20
b). 1+i+i2+i3+++i2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau:
 a. b. 
 c. là số ảo tùy ý; d. 
5. Các vectơ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
 a. Chứng minh rằng tích vô hướng  ;
 b. Chứng minh rằng vuông góc khi và chỉ khi 
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời và 
8. Tìm số phức z thỏa mãn 
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
10. Giải các phương trình sau trên C :
 a. bằng cách đặt ẩn số phụ  ;
 b. 
c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. 	
d. 
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức sau :
a/ b/ 
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức
 a.-1-i ; b.  ;
 c. d. 
13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị
14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau : 
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
 a. 	 b. ; c. biết rằng 
18. CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007
19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức là số thực, là số ảo?
20.Viết dạng lượng giác số z=.
Suy ra căn bậc hai số phức z
BÀI TẬP TỰ RÈN
Tìm các số thực x, y sao cho:
3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i;	b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1	b) x = –1, y = 3
Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
Hướng dẫn: z = a + bi Þ |z| = . Ta có |z| ³ = a và |z| ³ = b
Giải phương trình sau trên tập phức:
(3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i;	b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
Hướng dẫn:
a) 	b) 
Giải phương trình sau trên tập phức:
	b) 	c) 
Hướng dẫn:
a) 	b) , 	c) 
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn: Þ là nghiệm phương trình với D = Þ 
Cho hai số phức . Biết rằng là hai số thực. Chứng tỏ là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Hướng dẫn:
Đặt với a, b Î R. Khi là hai nghiệm phương trình hay Û 
Chứng minh rằng nếu thì số là số thực.
Hướng dẫn: Ta có 
 nên là số thực.
Giải phương trình:
 b) c) 
Hướng dẫn:
a) 
b) 
c) 
Phương trình có nghiệm 
Phương trình có nghiệm 
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
Hướng dẫn: Phần thực là , phần ảo là . Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1. 
Thực hiện các phép tính:
a) 	; 	b) 	
c) 
Tìm z, biết:
;	b) 	c) 	d) ;	e) ;	f) 
g) 	h) 	i) 
Hướng dẫn:
a) ;	b) ;	c) ;	d) ;
e) ;	f) 	g) 	h) 	i) 
Biết và là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính:
;	 b) ;	c) ; 	d) 
Hướng dẫn:
a) = –3;	b) = ;	c) = –1; 	
d) = 6.
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là và 
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
; 	b) ; 
c) ; 	d) 
Hướng dẫn:
a) ; 	b) ;	
c) ; 	d) 
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
; 	b) ;	
c) 	d) 
	e) ;	f) 
Hướng dẫn:
a) ; 	b) ; 
c) 	d) ;	
e) ; 	f) 
Tìm z biết:
;	b) c) và 
Hướng dẫn: Gọi z = x + y Þ = x – y và .
a) Û 
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) Þ x = 0 hoặc x = 1
Nếu y ¹ 0 Þ (2) có nhiệm x = – thay vào (1) Þ y = 
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số 
Vậy phương trình có các nghiệm: 
z = 0; z = 1; z = ; z = 
b) 	c) 
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
;	b) ;	c) ;	
d) (m là tham số)
Hướng dẫn:
a)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
b) 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
c) 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
d) 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
Dùng công thức Moa-vrơ để tính , .
Hướng dẫn: .
Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
Hướng dẫn: .
Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . ĐS: A=11/4 
Tìm số phức z thoả mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS: .
Tìm số phức z thỏa mãn: . HD: Gọi z=x+yi; (1)Þx=y, (2)Þy=1. ĐS: z=1+i.
Giải phương trình: . ĐS: zÎ{0;1;-1}
. Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z. ĐS: zÎ{0;i;-i}
Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z. ĐS: z=0, z=-1, 
Giải phương trình: .
HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, .
. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung ĐS:.
. Cho phương trình: (z + i)(z2-2mz+m2-2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.	b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.	c. Có ba nghiệm phức.
. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận a làm nghiệm biết:
a. a = 2-5i	b. a = -2-i	c. a = 
Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3-iz2-2iz-2 = 0.	b. z3+(i-3)z2+(4-4i)z-7+4i = 0.
Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: . ĐS: .
Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD:	*Gọi z=x+yi. Þ  Þ.
Vẽ hình Þ|z|min Þz. 
ĐS: .
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+  + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực -210, phần ảo: 210+1.
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
(Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn . Tìm phần thực và phần ảo của z.
Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình trên tập .
Hướng dẫn:
a) Û Û Û Û Û . Phần thực là 2, phần ảo –3
b) Û 
Ta có D = . Phương trình có 2 nghiệm:
 và 
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện .
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y (x, yÎ ) Þ 
Ta có Û = 2 Û = 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) 
Tìm số phức z thoả: và = 25.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y (x, yÎ ) Þ 
Ta có Û Û (1)
Ta có = 25 Û (x + y)( x – y) = 25 Û (2)
Từ (1) và (2), ta có Û Û Û hoặc . Vậy z = 3 + 4 hoặc z = 5 + 0.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
Hướng dẫn:
 có D¢ = 1 – 10 = –9 = . Nghiệm là , 
Ta có: và nên 
(Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa: 
Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình 
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có: Û 
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b) có D = 
Do đó phương trình có 2 nghiệm: ; 
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) 
Tìm số phức z thỏa: và là số thuần ảo
Hướng dẫn:
Gọi z = a + bi Þ . Theo đề ta có: 
Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa 
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có Û . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = .
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 
Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: . Tìm môđun của số phức 
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có: Þ . 
. Vậy phần phần ảo b = –.
b) Gọi z = a + bi, ta có: 
Þ z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i Þ = –8 – 8i. Do đó : .
Bài 9. (Đề thi Cao đẳng năm 2012) 
Câu 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – = (3 – i)z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2–2z + 1 + 2i = 0. Tính .
Bài 10. (Đề thi Đại học khối A năm 2012) 
Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa . Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2.
Bài 11. (Đề thi Đại học khối B năm 2012) 
Câu 9.a Cho số phức z thỏa mãn . Tìm mô đun của số phức w = z + 1 + i
Câu 9.b Giải phương trình trên tập các số phức: trên tập các số phức 
Bài 12. A2011 Tìm tất cả các số phức z, biết z2 = .
Bài 13. D2011 Tìm số phức z, biết : 
Bài 14. A2011 Tính môđun của số phức z, biết: 
(2z – 1)(1 + i) + (+1)(1 – i) = 2 – 2i.
Bài 15. 
B2011 Tìm số phức z, biết: .
B2011 Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
Bài 16. 
CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + = 4i - 20. Tính môđun của z.
CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn. Tìm phần thực và phần ảo của .
-o0o-