Bài tập Giải tích 12 - Khảo sát hàm số

TRẦN SĨ TÙNG 
---- ›š & ›š ---- 
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC 
Năm 2009 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 1 
1. Đinh nghĩa: 
 Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) 
 Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 f(x2) 
2. Điều kiện cần: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I 
 b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I 
3. Điều kiện đủ: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. 
 b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. 
 c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f không đổi trên I. 
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. 
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số 
 Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: 
 – Tìm tập xác định của hàm số. 
 – Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) 
 – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch 
biến của hàm số. 
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
 a) 22 4 5y x x= - + + b) 
2 5
4 4
xy x= + - c) 2 4 3y x x= - + 
 d) 3 22 2y x x x= - + - e) 2(4 )( 1)y x x= - - f) 3 23 4 1y x x x= - + - 
 g) 4 21 2 1
4
y x x= - - h) 4 22 3y x x= - - + i) 4 21 1 2
10 10
y x x= + - 
 k) 2 1
5
xy
x
-
=
+
 l) 1
2
xy
x
-
=
-
 m) 11
1
y
x
= -
-
 n) 
22 26
2
x xy
x
+ +
=
+
 o) 13
1
y x
x
= - + -
-
 p) 
24 15 9
3
x xy
x
- +
= 
CHƯƠNG I 
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT 
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
 a) 4 3 26 8 3 1y x x x= - + - - b) 
2
2
1
4
xy
x
-
=
-
 c) 
2
2
1
1
x xy
x x
- +
=
+ +
 d) 
2
2 1xy
x
-
= e) 
2 3 2
xy
x x
=
- +
 f) 3 2 2y x x= + + - 
 g) 2 1 3y x x= - - - h) 22y x x= - i) 22y x x= - 
 k) sin 2
2 2
y x x
ỉ ư
= - < <ç ÷
è ø
p p l) sin 2
2 2
y x x x
ỉ ư
= - - < <ç ÷
è ø
p p 
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến 
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) 
Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. 
 · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Ỵ D. 
 · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D. 
 Từ đó suy ra điều kiện của m. 
Chú ý: 
1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 
2) Nếu 2'y ax bx x= + + thì: 
 · 
0
0' 0,
0
0
a b
cy x R
a
éì = =
íê ³ỵ³ " Ỵ Û ê
ì >êíê £ỵë D
 · 
0
0' 0,
0
0
a b
cy x R
a
éì = =
íê £ỵ£ " Ỵ Û ê
ì <êíê £ỵë D
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + : 
 · Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. 
 · Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 
2
b
a
- ) 
 · Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu 
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0: 
 · 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ïí
ï <ỵ
D
 · 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ïí
ï >ỵ
D
 · 1 20 0x x P< < Û < 
5) Để hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng 
d thì ta thực hiện các bước sau: 
 · Tính y¢. 
 · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 
 0
0
aì ¹
í >ỵD
 (1) 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 3 
 · Biến đổi 1 2x x d- = thành 
2 2
1 2 1 2( ) 4x x x x d+ - = (2) 
 · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. 
 · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc 
tập xác định) của nó: 
 a) 3 5 13y x x= + + b) 
3
23 9 1
3
xy x x= - + + c) 2 1
2
xy
x
-
=
+
 d) 
2 2 3
1
x xy
x
+ -
=
+
 e) 3 sin(3 1)y x x= - + f) 
2 2 1x mxy
x m
- -
=
-
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc 
tập xác định) của nó: 
 a) 5 cot( 1)y x x= - + - b) cosy x x= - c) sin cos 2 2y x x x= - - 
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác 
định) của nó: 
 a) 3 23 ( 2)y x mx m x m= - + + - b) 
3 2
2 1
3 2
x mxy x= - - + c) x my
x m
+
=
-
 d) 4mxy
x m
+
=
+
 e) 
2 2 1x mxy
x m
- -
=
-
 f) 
2 22 3
2
x mx my
x m
- +
=
-
Bài 4. Tìm m để hàm số: 
 a) 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 
 b) 3 21 1 2 3 1
3 2
y x mx mx m= - + - + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 
 c) 3 21 ( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= - + - + + - đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 
Bài 5. Tìm m để hàm số: 
 a) 
3
2( 1) ( 1) 1
3
xy m x m x= + + - + + đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x= - + + + + đồng biến trên khoảng (2; +¥). 
 c) 4 ( 2)xy m
x m
+
= ¹ ±
+
 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 d) x my
x m
+
=
-
 đồng biến trong khoảng (–1; +¥). 
 e) 
2 22 3
2
x mx my
x m
- +
=
-
 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 f) 
22 3
2 1
x x my
x
- - +
=
+
 nghịch biến trên khoảng 1 ;
2
ỉ ư
- +¥ç ÷
è ø
. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: 
 · Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập 
xác định do đề bài chỉ định. 
 · Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. 
 · Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. 
Chú ý: 
 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại 
tiếp tục xét dấu h¢ (x)  cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 
 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). 
 Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). 
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 
3
sin , 0
6
xx x x với x- b) 2 1sin tan , 0
3 3 2
x x x với x+ > < < p 
 c) tan , 0
2
x x với x< < < p d) sin tan 2 , 0
2
x x x với x+ > < < p 
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) tan , 0
tan 2
a a với a b
b b
< < < <
p b) sin sin , 0
2
a a b b với a b- < - < < < p 
 c) tan tan , 0
2
a a b b với a b- < - < < < p 
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 2sin , 0
2
xx với x> < < p
p
 b) 
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x xx x x với x- 
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 1 , 0xe x với x> + > b) ln(1 ) , 0x x với x+ 
 c) 1ln(1 ) ln , 0
1
x x với x
x
+ - > >
+
 d) ( )2 21 ln 1 1x x x x+ + + ³ + 
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 0tan 55 1,4> b) 01 7sin 20
3 20
 HD: a) 0 0 0tan 55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1( )
1
xf x
x
+
=
-
. 
 b) Xét hàm số 3( ) 3 4f x x x= - . 
 f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;
2 2
ỉ ư
-ç ÷
è ø
 và 01 7,sin 20 ,
3 20
Ỵ 1 1;
2 2
ỉ ư
-ç ÷
è ø
. 
 c) Xét hàm số ( ) log ( 1)xf x x= + với x > 1. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 5 
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: 
 · Chọn được nghiệm x0 của phương trình. 
 · Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng 
biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất 
có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). 
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 a) 5 5x x+ - = b) 5 3 1 3 4 0x x x+ - - + = 
 c) 5 7 16 14x x x x+ - + + + + = d) 2 215 3 2 8x x x+ = - + + 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
 a) 5 5 51 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x- = - 
 c) 3 4 5x x x+ = d) 2 3 5 38x x x+ + = 
Bài 3. Giải các bất phương trình sau: 
 a) 3 4 51 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + - + - + - < b) 22 7 2 7 35x x x x x+ + + + + < 
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
ì + = + +
ï
í + = + +
ï + = + +ỵ
 b) 
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
ì = + + -
ï
í = + + -
ï = + + -ỵ
 c) 
tan tan
52 3
4
x y y x
x y
ì - = -ï
í + =ïỵ
p d) 
3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z
ì = - +
ï
í = - +
ï = - +ỵ
 HD: a, b) Xét hàm số 3 2( )f t t t t= + + c) Xét hàm số f(t) = tant + t 
 d) Xét hàm số 2( ) 6 12 8f t t t= - + 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
I. Khái niệm cực trị của hàm số 
 Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Ỵ D. 
 a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho 
 f(x) < f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}. 
 Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. 
 b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho 
 f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}. 
 Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. 
 c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị 
 Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0. 
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc 
không có đạo hàm. 
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 
 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm 
trên (a; b)\{x0} 
 a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. 
 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 
 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có 
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. 
 a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. 
 b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. 
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 
 · Tìm f¢ (x). 
 · Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 
 · Xét dấu f¢ ( ... ;1)
2 3
x x xC y I
x
- - +
=
-
Bài 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm: 
a) 3 2 2 2( ) : 3 3( 1) 1 ; (0;0)C y x mx m x m I O= - + - + - º 
b) 3 2( ) : 7 3; (0;0)C y x mx x I O= + + + º 
c) 3 2( ) : 9 4; (0;0)C y x mx x I O= + + + º d) 
2 2 22( ) : ; (0;0)
1
x m x mC y I O
x
+ +
= º
+
A
BI
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 45 
VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách 
Kiến thức cơ bản: 
 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = 2 2( ) ( )B A B Ax x y y- + - 
 2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng D: ax + by + c = 0: 
 d(M, D) = 0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
 3) Diện tích tam giác ABC: 
 S = ( )
22 21 1. .sin . .
2 2
AB AC A AB AC AB AC= -
uuur uuur
Bài 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh 
rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M. 
a) 2( ) : 1; (0;0)C y x A O= - º b) 2( ) : ; (3;0)C y x A= 
c) 2( ) : 2 1; (9;1)C y x A= + 
Bài 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M 
đến d là nhỏ nhất. 
a) 4 2( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x= - + + = - b) 
2 4 5( ) : ; : 3 6
2
x xC y d y x
x
+ +
= = - -
+
c) 2( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x= - = + d) 1( ) : ; : 2 3
1
xC y d y x
x
+
= = - +
-
Bài 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước. 
a) 2( ) : ; 1
2
xC y k
x
+
= =
-
 b) 
2 1( ) : ; 1
1
x xC y k
x
+ -
= =
-
c) 
2 1( ) : ; 2
1
x xC y k
x
+ -
= =
-
 d) 
2 2 2( ) : ; 2
1
x xC y k
x
+ +
= =
+
Bài 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai 
tiệm cận là nhỏ nhất. 
a) 2( ) :
2
xH y
x
+
=
-
 b) 2 1( ) :
1
xH y
x
-
=
+
 c) 4 9( ) :
3
xH y
x
-
=
-
d) 
2 2( ) :
3
x xH y
x
+ -
=
-
 e) 
2 1( ) :
2
x xH y
x
- +
=
-
 f) 
2 3 3( ) :
2
x xH y
x
+ +
=
+
Bài 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục 
toạ độ là nhỏ nhất. 
a) 1( ) :
1
xH y
x
-
=
+
 b) 2 1( ) :
2
xH y
x
+
=
-
 c) 4 9( ) :
3
xH y
x
-
=
-
d) 
2 11( ) :
1
x xH y
x
+ -
=
-
 e) 
2 3( ) :
2
xH y
x
-
=
-
 f) 
2 6( ) :
3
x xH y
x
+ -
=
-
Bài 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của 
hai tiệm cận là nhỏ nhất. 
a) 
2 2 2( ) :
1
x xH y
x
+ +
=
-
 b) 
2 1( ) : ; 1
1
x xH y x
x
- +
= >
-
Bài 7. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ 
dài AB là nhỏ nhất. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 46 
a) 1( ) :
1
xH y
x
-
=
+
 b) 2 3( ) :
2
xH y
x
+
=
-
 c) 4 9( ) :
3
xH y
x
-
=
-
d) 1( ) : 2 1H y x
x
= + + e) 
2 3 3( ) :
1
x xH y
x
- +
=
-
 f) 
2 2 5( ) :
1
x xH y
x
- +
=
-
Bài 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là 
nhỏ nhất. 
a) 
2 6 4( ) : ; :
1
x xH y d y k
x
+ -
= =
+
 b) 1( ) : ; : 2 0
1
xH y d x y m
x
+
= - + =
-
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 47 
Bài 1. Cho hàm số: 3 2 4,y x ax= + - a là tham số. 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3. 
 b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 3 2 4 0x ax+ - = 
 ĐS: b) a < 3. 
Bài 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 26 9 1y x x x= - + - . 
 b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ 
thị của hàm số? 
 ĐS: b) một tiếp tuyến. 
Bài 3. Cho hàm số: 3 3 (1)y x x= - 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình: 
( 1) 2y m x= + + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các 
giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao 
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. 
 ĐS: b) 2( 1; 2); 1 2
3
A m- = - + 
Bài 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 4 22 1 (1)y x x= - - 
 b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt. 
4 2
42 1 log (2)x x m- - = 
 ĐS: b) 4 < m < 16. 
Bài 5. Cho hàm số: 4 25 4 (1)y x x= - + 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 
điểm phân biệt. 
 c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có 
độ dài bằng nhau. 
 ĐS: b) 9 4
4
m- < < c) 7
4
m = 
Bài 6. Cho hàm số: 4 21 3
2 2
y x mx= - + (1) 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 30;
2
A
ỉ ư
ç ÷
è ø
 tiếp xúc với (C). 
 c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. 
 ĐS: b) 3 3; 2 2
2 2
y y x= = ± + c) m £ 0. 
VIII. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 48 
Bài 7. Cho hàm số: 3 4 ( )
1
xy H
x
+
=
-
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
 b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)? 
 c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H). 
 ĐS: b) –28 < a £ 0 c) y = –28x + 59. 
Bài 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị 2 ( )
1
xy C
x
-
=
-
. 
 b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2). 
 ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2). 
Bài 9. Cho hàm số: 12 ( )y x C
x
= - + 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 
 b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. 
 c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) 
vuông góc với nhau. 
 ĐS: b) 1 1;
2 2
M
ỉ ư
ç ÷
è ø
 c) 2 5.k = - ± 
Bài 10. Cho hàm số: 
2 2( 1) 4 4 2
( 1)
x m x m my
x m
- + + - -
=
- -
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2. 
 b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥) 
 ĐS: b) 2 3 3
7 2
m- £ £ 
Bài 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 
2 2 2
1
x xy
x
+ +
=
+
. 
 b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M 
với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn 
AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). 
 ĐS: b) 2 2.IABS = 
Bài 12. Cho hàm số: 
2 2 2 11 ( )
1 1
x xy x C
x x
+ +
= = + +
+ +
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 
 b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với 
tiệm cận xiên của nó. 
 ĐS: b) 1 2
2 3 2 2 3 21 ; ; 1 ;
2 2 2 2
M M
ỉ ư ỉ ư
- + - - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 13. Cho hàm số: 
2 ( 1) 1 ( )m
x m x mxy C
x m
+ + - +
=
-
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2. 
 b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở 
câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 49 
 c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực 
đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. 
 ĐS: b) 9 2
2
 c) 3 2 3 3 2 3m hay m - + 
Bài 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2 4 1
2
x xy
x
+ +
=
+
 b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + 6 = 0 là 
nhỏ nhất. 
 ĐS: b) 1 2
3 5 5 5; ; ;
2 2 2 2
M M
ỉ ư ỉ ư
- - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Bài 15. Cho hàm số: 
22 2
1
x mxy
x
+ -
=
-
 với m là tham số. 
 a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị 
của hàm số trên có diện tích bằng 4. 
 b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3. 
 ĐS: a) m = –6 hay m = 2. 
Bài 16. Cho hàm số: 
2 1x xy
x
+ +
= . 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 
 b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm: 
4 3 2( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t- - + - - + = 
 ĐS: b) 3 7 .
2 2
m hay m£ - ³ 
Bài 17. Cho hàm số: 3 2 2 2 23 3(1 ) (1)y x mx m m m= - + + - + - (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
 b) Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k- + + - = có 3 nghiệm phân biệt. 
 c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 
 ĐS: b) 1 3; 0; 2;k k k- < < ¹ ¹ c) 22y x m m= - + 
Bài 18. Cho hàm số: 4 2 2( 9) 10y mx m x= + - + (1) (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 
 ĐS: b) 3 0 3.m hay m< - < < 
Bài 19. Cho hàm số: 
2(2 1) (1)
1
m x my
x
- -
=
-
 (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. 
 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 
 c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. 
 ĐS: b) 41 4 ln
3
S = + c) m ¹ 1. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 50 
Bài 20. Cho hàm số: 
2
1
mx x my
x
+ +
=
-
 (1) (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1. 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có 
hoành độ dương. 
 ĐS: b) 1 0.
2
m- < < 
Bài 21. Cho hàm số: 3 23y x x m= - + (1) (m là tham số) 
 a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. 
 b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 
 ĐS: a) m > 0. 
Bài 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2 2 4 (1)
2
x xy
x
- +
=
-
 b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm 
phân biệt. 
 ĐS: b) m > 1. 
Bài 23. Cho hàm số: 
2 3 3
2( 1)
x xy
x
- + -
=
-
 (1) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1. 
 ĐS: b) 1 5
2
m ±= . 
Bài 24. Cho hàm số: 3 21 2 3 (1)
3
y x x x= - + có đồ thị (C) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp 
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
 ĐS: b) 8: ; 1.
3
y x k= - + = -D 
Bài 25. Cho hàm số: 3 23 9 1 (1)y x mx x= - + + (với m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 
 b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. 
 ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.