Vấn đề Đạo hàm

VẤN ĐỀ
ĐẠO HÀM
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
í Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa:
1) Cho số gia Dx tại x0 & tính Dy= f(x0 +Dx) – f(x0) 
2) Lập tỉ số (và rút gọn theo Dx)
3) Tìm giới hạn (rồi kết luận)
I) Định nghĩa đạo hàm:
 Cho hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a;b) và x0Ỵ(a;b).
 Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0 , khi số gia của đối số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, được ký hiệu là y’(x0) hoặc f’(x0).
 y’(x0) = f’(x0) = 
III)Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số:
1)Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = f(x0) = 0
2) Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0
II)Đạo hàm một bên:
1)Đạo hàm bên trái tại điểm x0: f’() = 
2)Đạo hàm bên phải tại điểm x0: f’() = 
3)Đạo hàm tại điểm x0: f’() = f’() = f’(x0)
3) (v¹ 0) 4) y’x = y’u. u’x 
IV) Các qui tắc tính đạo hàm:
1) = 
2) (uv)’=u’v+v’u (au)’ = au’ (a:hằng số) 
 (uvw)’= u’vw+uv’w+uvw’ 
V)Bảng các đạo hàm cơ bản:
Công thức
Hệ quả
Công thức 
Hệ quả
(a)’=0
(x)’=1
(ax)’=a
(sinx)’=cosx
(cosx)’=-sinx
(au)’=au’
(sinu)’=cosu.u’
(cosu)’=-sinu.u’ 
 =
 = 
 =
 =
¯ Một số công thức bổ sung:
1) ; 3) 
2) ; 4) 
VI) Đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) (nếu có) được ký hiệu và xác định như sau:
y(n) = f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’ (nỴ,n³2)
VII)Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại xỴ(a;b). Vi phân của hàm số y = f(x) tại x được ký hiệu và xác định như sau:
dy = y’dx hoặc df(x) = f’(x)dx
VIII) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
1) Ý nghĩa hình học:
* f’(x0) = hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0;f(x0))
*tgj = hệ số góc của cát tuyến của (C) đi qua M0(x0;f(x0)) (trong đó )
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x) TẠI điểm M0(x0;f(x0)) là: y = f’(x0)(x-x0) + y0 (với y0=f(x0))
3) Đường thẳng (d): y=ax+b tiếp xúc đồ thị (C): y = f(x) tại điểm (x0;y0) Û Hệ phương trình sau có nghiệm (x0;y0): 
íNhắc lại: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến.
+ Tiếp tuyến //(d):y = ax+b Þk= a + Phần dương trục Ox tạo với tiếp tuyến một góc (định hướng) 
+ Tiếp tuyến ^ (d):y = ax+b Þ k= - 1/a + Tiếp tuyến tạo với (d):y = ax+b một góc a Þ 
+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: y = k(x-x0) + y0. 
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Tính đạo hàm bằng định nghĩa (kể cả đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải).
Tính đạo hàm bằng công thức.
Chứng minh đẳng thức, giải phương trình hoặc bất phương trình có chứa đạo hàm.
BÀI TẬP
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:
 tại x0 = 1, 4) tại x0 = - 2;
y = - x3 tại x0 = -1; 5) tại x0 = 3 
 tại x0 = 0; 6) tại x0 = 0 
Bài 2: Cho hàm số f xác định bởi: f(x) = . Xác định b và c để f có đạo hàm tại x = 1. 
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
2)
3)
4)
5)
13)
14)
15)
16)
17)
6)
7)
8)
9)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
9)
10)
11)
12)
24)
25)
26)(x > 0)
Bài 4: Cho hàm số y = (x 0), chứng minh rằng: 
Bài 5: Tính đạo hàm đến cấp đã cho của các hàm số sau:
, y” = ?
, y”’= ?
Bài 6: Cho hàm số y = 2exsinx, chứng minh rằng: 2y - 2y’+y’’= 0 (Đề thi TN THPT 1992-1993)
Bài 7: Tính:
 biết .
 biết .
 biết .
Bài 8: Cho hàm số f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x.
Tìm f’ (x) và f’’(x); từ đó tính f’(0) và f’’( p).
Giải phương trình f’’(x) = 0. (Đề thi TN THPT 1994-1995)
Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số 
 (Đề thi thử Môn Toán của BGD 1996 –1997 _ Dùng tham khảo cho việc ra đề kiểm tra cuối năm)
Bài 10: Cho hàm số: . Chứng minh rằng y’’ = -y. 
 (Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998 _ Đề dự bị)
Bài 11: Chứng minh rằng với hàm số y = ecosx , ta có y’sinx + ycosx + y’’ = 0
 (Đề thi TN THPT Kì II 1997-1998 )
Bài 12: Cho hàm số: .Hãy tính đạo hàm f’(x) và giải phương trình: ( trên đoạn ). (Đề thi TN THPT 1999-2000)
Bài 13: Chứng minh rằng với hàm số , ta có 12f’(-8) - f(-8) = 6.
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm không phụ thuộc x.
Bài 15: Chứng minh rằng hàm số trên khoảng có đạo hàm là:
.
Bài 16: Cho hàm số:.Hãy xét dấu của .
Bài 17: Tính đạo hàm cấp n của mỗi hàm số sau:
 1) ; 2) ; 3) 
Bài 18: Cho các hàm số: y = F(x); y = f(x); y = g(x) và có F(x) = f(x)g(x); f’(x)g’(x) = k (hằng số). Chứng minh rằng:
.
Bài 19: Cho các hàm số: y = f(x); u(x) = và v(x) = . Chứng minh rằng:
.
Bài 20: Cho parabol (P): y = x2 . Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết:
 Hoành độ tiếp điểm bằng 1.
Tung độ tiếp điểm bằng 1.
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
Tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: .
Tiếp tuyến ấy tạo với trục hoành một góc 600 .
Tiếp tuyến ấy đi qua điểm M(2;0). 
Bài 21: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong trong mỗi trường hợp sau, biết:
Hoành độ tiếp điểm bằng 1.
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3.
Tiếp tuyến song song với trục hoành.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: . 
Tiếp tuyến ấy tạo với trục hoành một góc 450.
Bài 22: Tìm b và c sao cho đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x tại điểm (1;1) (tức là đường thẳng y = x là tiếp tuyến của parabol tại điểm (1;1).
Bài 23: Cho hai hàm số và . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên.