Vấn đề 3 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

 43 
VẤN ĐỀ 3 
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 
NHẤT MỘT ẨN 
 44 
Vấn đề 3 
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
BẬC NHẤT MỘT ẨN 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
I. Cách giải : 
Giải hệ bất phương trình một ẩn : 
⎩⎨
⎧
>
>
(2) 0g(x)
(1) 0)(xf
 là tìm các giá trị 
của ẩn số x thoả mãn đồng thời (1) và (2) .Muốn thế , ta : 
• Giải (1) để tìm tập nghiệm S1 
• Giải (2) để tìm tập nghiệm S2 
• Tập nghiệm của hệ là S1∩ S2 
II. Ghi nhớ : 
¾ Hệ có nghiệm khi S1∩ S2 khác tập rỗng 
¾ Hệ vô nghiệm khi S1∩ S2 là tập rỗng 
¾ Hệ có nghiệm duy nhất khi có dạng ⎩⎨
⎧
≤
≥
bxg
axf
)(
)(
 , với a = b 
B. Vài ví dụ 
Ví dụ 1 
Giải các hệ bất phương trình sau : 
a) ⎩⎨
⎧
+<−
+>−
xx
xx
37519
124159
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<+−
>−
0128
0275
x
x
 ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
>
8
12
5
27
x
x
 ⇔ x > 
5
27
Vậy tập nghiệm của bấp phương trình là x > 
5
27
 45 
b) 
⎩⎨
⎧
−<−
−>+
22 )32()1(
4312
xx
xx
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<−+−+−−
>+−
0)321)(321(
05
xxxx
x
⇔ ⎩⎨
⎧
<−−
<
0)43)(2(
5
xx
x
Bảng xét dấu (2 - x)(3x – 4) (1) 
⇒ tập nghiệm của (1) là ⎢⎢⎣
⎡
>
<
2
3
4
x
x
Vậy tập nghiệm của hệ là ⎢⎢⎣
⎡
>
<
2
3
4
x
x
Ví dụ 2 
Cho hệ ⎩⎨
⎧
+≥
≤−
1
07
mmx
x
a) Định m để hệ có nghiệm : 
Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
+≥
≤
(1) 1
7
mmx
x
• m = 0 : (1) ⇔ 0.x ≥ 1 ⇒ vô nghiệm , nên m = 0 loại 
• m < 0 : hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≤
≤
m
mx
x
1
7
 ⇒ hệ luôn có nghịêm , nên m < 0 nhận 
• m > 0 : hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≤
≤
m
mx
x
1
7
Yêu cầu bài toán ⇔ 
m
m 1+
 ≤ 7 (m > 0) ⇔ m ≥ 
6
1
Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất khi m < 0 hay m ≥ 
6
1
 46 
b) Định m để hệ có nghiệm duy nhất : Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
+≥
≤
1
7
mmx
x
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 
(1) ⇔ x ≥ 
m
m 1+
Yêu cầu đầu bài ⇔ 
m
m 1+
 = 7 ⇔ m = 
6
1
 (m > 0) 
Vậy với m = 
6
1
 thì hệ có nghiệm duy nhất . 
Ví dụ 3 
Giải và biện luận hệ : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+>++
<+−
22
2
)1()1(
2112
mxmx
x
x
x
Hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++++++−−++
<−+−
0)11)(11(
0212
22
mxmxmxmx
x
xxx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
<−
0
01
mx
x
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<
<−
mx
x
x 01
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−>
<<
mx
x 10
Biện luận : 
♦ m = 0 : hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
>
<<
0
10
x
x
 ⇔ 0 < x < 1 
♦ m = -1 : hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
>
<<
1
10
x
x
 ⇔ ⎢⎣
⎡
>
<<
1
10
x
x
♦ m > 0 : hệ ⇔ 0 < x <1 
♦ m < -1 : hệ vô nghiệm 
♦ -1 < m < 0 : -m < x < 1 
 47 
C . BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI : 
1. Giải các hệ bất phương trình sau : 
a) 
⎩⎨
⎧
+<
+<−
22 )2(
5425
xx
xx
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<+
<
0)22(2
7
x
x
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−<
<
2
7
x
x
 ⇔ x < -2 
Vậy tập nghiệm của hệ là x < -2 
b) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
−<++−
+−≥+−
2
52
2
1
1
1
)2)(2()4)(12(
2 xx
x
xx
xxxx
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+−
+−−++
≥+−−+−
0
)2)(1(
5212
04482 22
xx
xxx
xxxx
⇔ ⎩⎨
⎧
<+−
≥+
0)2)(1(
0)7(
xx
xx
Bảng xét dấu x(x + 7) (1) và (x – 1)(x + 2) (2) 
Vậy tập nghiệm của (1) là : ⎢⎣
⎡
≥
−≤
0
7
x
x
 , của (2) là –2 < x < 1 
Vậy tập nghiệm của hệ là : ⎢⎣
⎡
−≤
<<−
7
12
x
x
c) ⎪⎩
⎪⎨⎧ −+−≥
++>
8)23(
)3(
23
224
xxx
xxx
⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ ≥−−−++−
>+++−−−
0)2)(1()42)(2(
0)3)(3(
2
2222
xxxxx
xxxxxx
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥++−
>+++
0)5)(2(
0)
2
3
2
1)(3(
2
2
xxx
xxx
Ta thấy : 
2
3
2
12 ++ xx = 
16
23
4
1 2 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +x > 0 ∀x ∈ R 
 x2 + x + 5 = 
4
19
2
1 2 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +x > 0 ∀x ∈ R 
 48 
Do đó hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
≥
−>
2
3
x
x
 ⇔ x ≥ 2 
Vậy nghiệm của hệ là x ≥ 2 
2. Định m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm : 
a) ⎩⎨
⎧
<++
+−>−
023
5423
mx
xx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−<
>
3
2
1
mx
x
Yêu cầu bài toán ⇔ 1
3
2 >−−m ⇔ m < -5 
Vậy với m < 5 thì hệ có nghiệm 
b) ⎩⎨
⎧
++−>++
+<−
73)2(1)1(
212
mxmxmm
xx
⇔ 
⎩⎨
⎧
+>+−+
<
63)2(
3
2 mxmmm
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+>
<
2
63
3
2m
mx
x
Yêu cầu bài toán ⇔ 3
2
63
2 <+
+
m
m
 (1) 
⇔ 3m2 + 6 < 3m + 6 ⇔ m(m - 1) < 0ø ⇔ 0 < m < 1 
Vậy với 0 < m < 1 thì hệ có nghiệm 
3. Định m để bất phương trình sau vô nghiệm : 
a) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≥
>−
mxx
x
3
1
3
8
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
>−
+−
3)1(
0
3
38
mx
x
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
>−
+
3)1(
0
3
5
mx
x
x
Ta có tập nghiệm của 
x
x
−
+
3
5
 > 0 là –5 < x < 3 
nên hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
≥+
<<−
3)1(
35
mx
x
Điều kiện cần để hệ vô nghiệm là 1 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 
 49 
♦ m = -1 : hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
≥
<<−
3.0
35
x
x
 ⇒ hệ vô nghiệm nên m = -1 nhận 
♦ m > -1 : hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥
<<−
m
x
x
1
3
35
Yêu cầu bài toán ⇔ 3
1
3 >+m ⇔ m -1 nên –1 < m < 0 
nhận. 
Vậy với –1 ≤ m < 0 thì hệ vô nghiệm 
b) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<−
+<−
)3()3(
2
1
1
1
22 mxmxx
xx ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+−−
<+−
+−+
033
0
)2)(1(
12
223 xmxmxx
xx
xx
⇔ 
⎩⎨
⎧
<+−−
<+−
0)33(
0)2)(1(
2 xmxmxx
xx
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<−+
<+−
(2) 0))(3(
(1) 0)2)(1(
mxxx
xx
Vậy tập nghiệm là –2 < x < 1 
Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
<−+
<<−
0))(3(
12
mxxx
x
♦ m = 0 : (2) ⇔ x2(x + 3) < 0 ⇔ x < -3 ⇒ hệ có nghiệm nên m = 0 
loại. 
♦ m = -3 : (2) ⇔ x(x + 3)2 < 0 ⇔ x < 0 (x ≠ -3) ⇒ hệ có nghiệm nên 
m = -3 loại 
♦ m < 0 : tập nghiệm của (2) là x < m hoặc –3 < x < 0 ⇒ hệ có 
nghiệm nên m < 0 loại. 
♦ -3 < m < 0 : tập nghiệm của (2) là x < -3 hoặc m < x < 0 ⇒ hệ có 
nghiệm nên –3 < m < 0 loại. 
♦ m > 0 : tập nghiệm của (2) là x < -3 hoặc 0 < x < m ⇒ hệ có 
nghiệm nên m > 0 loại. 
Vậy hệ có nghiệm ∀m ∈ R 
4. Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất : 
 50 
a) ⎩⎨
⎧
≥+−
≥+−
03)1(4
32)12(
xm
mxm
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−≥−
−≥−
3)1(4
23)12(
xm
mxm
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là : 
(2m – 1).4(m - 1) < 0 ⇔
2
1
 < m < 1 (*) 
Hệ ⇔ 
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−≥
−
−≤
14
3
12
23
m
x
m
mx
Yêu cầu bài toán ⇔ 
)1(4
3
12
23
−
−=−
−
mm
m
⇔ -6m + 3 = 12m – 8m2 – 12 + 8m 
⇔ 8m2 – 26m + 15 = 0 ⇔ m = 
2
5
 hay m = 
4
3
Mà theo (*) thì chỉ nhận m = 
4
3
Vậy với m = 
4
3
 thì hệ có nghiệm duy nhất 
b) 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
+≥+
21
13
2
xm
x
x
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥
≥−−+
mmx
x
xxx
2
03
22
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥
≥−
mmx
x
x
2
03
Tập nghiệm của 
x
x−3
 ≥ 0 là 0 < x ≤ 3 
Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
+≥
≤<
mmx
x
2
30
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 
Hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥
≤<
m
mx
x
2
30
 51 
Yêu cầu bài toán ⇔ 32 =+
m
m
 ⇔ m = 1 (thoả m > 0) 
Vậy với m = 1 thì hệ có nghiện duy nhất . 
Bài tập làm thêm 
1. Giải và biện luận bất phương trình : 1−x (x – m + 2) > 0 
(1) ⇔ ⎩⎨
⎧
>+−
>−
02
01
mx
x
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−>
>
2
1
mx
x
Biện luận : 
♦ m = 3 : hệ ⇔ x > 1 
♦ m > 3 : hệ ⇔ x > m – 2 
♦ m 1 
2. Giải và biện luận hệ bất phương trình : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
+
+<−
+
42
1
4
2
1
mx
x
x
x
x
Hệ ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−>
<+−
+−+−++
2
4
0
)1)(2(
84212 22
mx
xx
xxxxx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>
<+−
2
2
0)1)(2(
mx
xx
Tập nghiệm của (x – 2)(x + 1) < 0 là –1 < x < 2 
Hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+>
<<−
2
2
21
mx
x
So sánh –1 và 2 + 
2
m
 có : 
♦ m = -6 ⇔ -1 = 2 + 
2
m
 : tập nghiệm của hệ là –1 < x < 2 
♦ m > -6 ⇔ -1 < 2 + 
2
m
 : tập nghiệm của hệ là 2 + 
2
m
 < x < 2 
♦ m 2 + 
2
m
 :tập nghiệm của hệ là –1 < x < 2 
 52 
3. Cho hệ bất phương trình : ⎩⎨
⎧
−−≤+
≥+−
)1)(1()1(
02)1(
xmxm
xm
a) Định m để hệ có nghiệm duy nhất : 
Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
≤−++−+
−≥
01
2
mxmxmmx
mmx
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−≤
−≥
mx
mmx
21
2
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 
Hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
−≥
mx
m
mx
21
2
Yêu cầu bài toán ⇔ m
m
m 212 −=− ⇔ m – 2m2 – m + 2 = 0 
⇔ m = ± 1 mà m > 0 nên m = 1 
Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất. 
b) Định m để hệ thoả ∀x ∈ [0,1] 
Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
≤
−≥
(2) 2m-1x
(1) 2mmx
Xét (1) : 
♦ m = 0 : (1) ⇔ 0.x ≥ -2 : x ∈ R nên thoả 
♦ m > 0 : (1) ⇔ x ≥ 
m
m 2−
Yêu cầu bài toán ⇔ 
m
m 2−
 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 
♦ m < 0 : (1) ⇔ x ≤ 
m
m 2−
Yêu cầu bài toán ⇔ 
m
m 2−
 ≥ 1 ⇔ m - 2 ≤ m ⇔ 0.x ≥ -2 ⇒ x ∈ R 
thoả . Do đó với m ≤ 0 thì (1) thoả ∀x ∈ [0,1] 
Xét (2). Yêu càu bài toán ⇔ 1 – 2m ≥ 1 ⇔ m ≤ 0 
Vậy với m ≤ 0 thì hệ thoả ∀x ∈ R 
4. Định m để : m.sinx + 3m – 2 > 0 ∀x ⇔ R (1) 
⇔ m.sinx > 2 – 3m 
 53 
Ta có : -1 ≤ sinx ≤ 1 
♦ m > 0 ⇔ m.sinx ≥ -m 
Nhận xét : nếu GTNN của m.sinx > 2 – 3m thì : 
m.sinx > 2 – 3m ∀x ∈ R ⇔ -m > 2 – 3m ⇔ m > 1 (thoả m > 0) 
♦ m < 0 ⇔ m.sinx ≥ m 
Tương tự ta có : m > 2 – 3m ⇔ m > 
2
1
 mà m < 0 ⇒ loại 
Vậy với m > 1 thì bất phương trình thoả ∀x ∈ R 
5. Định m để hệ vô nghiệm : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+>−
−
−>−
−
−>−
(3) )1(2)2(
(2) 
2
1
2
12
(1) 342
mxmm
x
x
x
x
xx
(1) và (2) cho hệ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
+−−
>
0
2
112
1
x
xx
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
>
0
2
1
x
x
x
⇔ ⎩⎨
⎧
>∨<
>
20
1
xx
x
 ⇔ x 2 
(3) ⇔ m2 – 2m – 2m + 2 > 2x ⇔ x < 
2
242 +− mm
Yêu cầu bài toán ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+−
≥+−
2
2
24
0
2
24
2
2
mm
mm
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤−−
≥+−
024
024
2
2
mm
mm
(bạn đọc tự giải sẽ được kết quả dễ dàng ) 
 54 
6. Cho hệ ⎩⎨
⎧
+>−
−++<−
)(2)1(3
)1(2)1()1(
mxx
xxmxm
a) Giải và biện luận hệ 
Hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
>−−−
<+−−−−
02233
022
mxx
xmmxxmx
 ⇔ ⎩⎨
⎧
+>
+<−
mx
mmx
23
2)21(
♦ 1 – 2m = 0 ⇔ m = 
2
1
 : hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<
4
2
5.0
x
x
 ⇔ x > 4 
♦ m < 
2
1
 : hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+>
−
+<
mx
m
mx
23
21
2
So sánh 
m
m
21
2
−
+
 và 3 + 2m có : 
023
21
2 >−−−
+ m
m
m
 ⇔ 242632 mmmm +++−+ > 0 
⇔ 4m2 + 9m –1 > 0 ⇔ m2 + 
64
145
64
81
8
9.2 −+m > 0 
⇔ 
64
145
8
9 2 >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +m ⇔ −+
8
9
64
145
8
9 mm 
7. Định m để bất phương trình vô nghiệm : 0)2(1 <+− mxx 
Bpt ⇔ ⎩⎨
⎧
<+
>−
02
01
mx
x
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−<
>
2
1
mx
x
Điều kiện cần để hệ vô nghiệm là : m ≥ 0 
♦ m = 0 : hệ ⇔ ⎩⎨
⎧
−<
>
2.0
1
x
x
 ⇒ hệ vô nghiệm nên m = 0 thoả 
♦ m > 0 : hệ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<
>
m
x
x
2
1
 55 
Yêu cầu bài toán ⇔ 12 <−
m
 ⇔ m > -2 mà m > 0 ⇒ m > 0 
Vậy với m ≥ 0 thì bất phương trình vô nghiệm. 
D. BÀI TẬP TỰ GIẢI 
Bài 1. 
Giải các hệ bất phương trình sau : 
a) 
2x 3 4x 1
5x 2 3x 6
− > +⎧⎨ + > −⎩ b) 
x 3 4 2x
5x 3 4x 1
x Z
+ ≤ +⎧⎪ − < −⎨⎪ ∈⎩
c) 
2x 3 1
x 1
(x 1)(x 2) 0
x 1
+⎧ ≥⎪⎪ −⎨ + −⎪ ≤⎪⎩ −
 d) 
2 2
3
2
(3x 8) (x 4) 0
4 1 3
x 4 x x 3
x 5 5
x 1
⎧⎪ + − + >⎪⎪ − ≥⎨ − −⎪⎪ − <⎪⎩ −
Đáp số : 
a) x ≤ -4 hoặc 1 < x ≤ 2 
b) x ≤ -4 hoặc 1 < x ≤ 2 
c) x < -3 ; - 2 < x < -1 ; 
12
7
 < x < 3 ; 4 < x < 5 
Bài 2 
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : 
a) 
3 2 4 5
3 2 0
− > − +⎧⎨ + + <⎩
x x
x m
 c) 
2x 2x 15 0
(m 1)x 3
⎧ + − <⎨ + ≥⎩
b) 
7 0
1
− −⎩
x
mx m
 d) 
2
4 1 7 2
1 0
x x
mx x
+ ⎩
 56 
Bài 3 
Định m để hai bất phương trình tương đương : 
a) 
( 1) 1 2 0
( 2) 2 0
+ + − ≤⎧⎨ − − ≤⎩
m x m
m x
 b) 
1 3 0
( 2) 0
+ − ≥⎧⎨ + − ≤⎩
mx m
m x m
Bài 4 
Giải và biện luận hệ bất phương trình : 
(m 1)x m 2x 1 (1)
2mx m x (2)
− − ≤ +⎧⎨ ≤ −⎩ 
Với giá trị nào của m hệ trên có nghiệm duy nhất 
Đáp số : m = 
1
9
− ; x = 2
7
− 
Bài 5 
Xác định giá trị của a để hai bất phương trình sau là tương đương 
(a - 1)x – a + 3 > 0 (1) 
(a + 1)x – a + 2 > 0 (2) 
Đáp số : a = 5