Ứng dụng của tích phân trong hình học

§ 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I . DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y=f(x) và trục hoành:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) liên tục, nhận giá trị không âm trên đoạn [a;b]. 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ,trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b được tính bởi công thức : 
Trường hợp trên đoạn [a;b].,ta có và diên tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong aA’B’b ,là hình đối xứng của hình thang aABb qua trục hoành .Do đó 
Tổng quát ,diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số f(x) liên tục ,trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b được tính theo công thức
Nếu thì : 
Nếu thì : 
Nếu f(x) = 0 có 1 nghiệm c thuộc [a;b] thì 
Nếu f(x) = 0 có 2 nghiệm c ,d thuộc [a;b] thì 
Chú ý :Cách tính :
Giải phương trình f(x) = 0, giả sử có 1 nghiệm 
Áp dụng tính chất: 
Ví dụ: Tính DTHP được giới hạn bởi đồ thị của hàm số ,trục hoành và hai đường thẳng x =-1,x =2.
 Phương trình 
 2.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C) :y=f(x) và (C’):y=g(x) 
Cho hai hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]có đồ thị (C) và y=g(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị (C’) .
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , (C’) và hai đường thẳng x = a,x = b được tính bởi công thức : 
Nếu thì: 
Nếu thì: 
Nếu f(x) = 0 có 1 nghiệm c thuộc [a;b] thì 
Nếu f(x) = 0 có 2 nghiệm c ,d thuộc [a;b] thì
Ví dụ: Tính DTHP được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và và hai đường thẳng .
 Phương trình hoành độ giao điểm : 
Vậy DTHP là : 
Ví dụ: Tính DTHP được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và .
Phương trình hoành độ giao điểm : 
Vậy DTHP là : -
Bài Tập: 
Tính DTHP giới hạn bởi các đường : 
 a) b) c) 
 Đs:(dvdt) b) (dvdt) c) (dvdt) 
Tính DTHP giới hạn bởi đường cong ,tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(2;5) và trục Oy
 Đs:(dvdt) 
Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O,bán kính thành hai phần.Tìm tỉ số diện tích của chúng.
 Đs: 
Cho hàm số ; 
Tính DTHP giới hạn bởi (C) ,trục hoành ,trục tung và đường thẳng x = -1. 
 Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi đồ thị và trục hoành Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi các đường 
 Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi các đường 
 Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi (P): và đường thẳng y = x
 Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi (P): ,tiếp tuyến của (P) tại M(3;5) và trục tung .
 Đs:(dvdt)
Cho (P): .
Viết phương trình tiếp tuyến (và với (P) tại M(0;-3) và N(3;0).
Tính DTHP giới hạn bởi (P) và hai tiếp tuyến ,.
 Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi các đường : và y = 3 .
 Đs:(dvdt)
Cho hàm số: 
 Tính DTHP giới hạn bởi (C ,đường tiệm cận ngang và x=3;x=4.
 Đs:(dvdt)
Cho hàm số: 
Tính DTHP giới hạn bởi (C) ,tiếp tuyến của tại A(3;-2) và trục tung .
 Đs:(dvdt)
Tính DTHP giới hạn bởi (C) trục Ox ; Oy.
 Đs:(dvdt)