Tương giao hai đồ thị hàm số

TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
A. CHUẨN KIẾN THỨC
Định lí : Cho hai đồ thị và . Số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình:.
Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau : 
Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: (m là tham số)
Phương pháp giải:
* Ta biến đổi phương trình về dạng , trong đó ta đã biết đồ thị (C) của hàm số hoặc có thể dễ dàng vẽ được
* Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số giao điểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: 
Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị và 
Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): .
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HOÀNH.
Bài toán 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: 
1. Cho hàm số . Tìm để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất .
2. Cho hàm số . Tìm để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất .
Bài 2: 
1. Định m để đồ thị của hàm số tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt.
2. Cho hàm số . Chứng minh đồ thị của hàm số luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi .
Bài 3: Tìm để:
1. Hàm số có đồ thị là tiếp xúc tại đúng điểm phân biệt.
Bài 4: Gọi là đồ thị của hàm số . Tìm m để và trục hoành:
1. Có 4 điểm chung phân biệt.
2. Có 3 điểm chung.
3. Có hai điểm chung
4. Không có điểm chung.
Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị là , là tham số. Tìm để đồ thị cắt trục hoành tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn .
Bài 2. Cho hàm số ,xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn .
Bài 3: Cho hàm số y = ( m là tham số ) (1).Gọi là đồ thị của hàm số (1). Tìm m để 
1. cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt .
2. cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. có hai cực trị trái dấu.
2. cắt tại ba điểm phân biệt trong đó có ít nhất một điểm có hoành độ âm.
3. tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
4. (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : 
1. cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa 
2. cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt có hoành độ .
3. (Cm) cắt đường thẳng tại bốn điểm phân biệt có hoành độ , , thỏa : .
Bài 5: Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất.
Bài 6: 
1. Tìm để đồ thị : cắt trục tại điểm phân biệt có hoành độ là thỏa mãn : .
2. Tìm để hàm số cắt trục tại điểm phân biệt () sao cho .
Bài 7: Gọi là đồ thị của hàm số , m là tham số . 
1.Tìm m để cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt trong đó có ba điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 và một điểm có hoành độ lớn hơn 2.
2. Tìm m để và trục Ox chỉ có hai điểm chung B,C sao cho tam giác ABC đều với A(0;2).
Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ HOÀNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN.
Phương pháp giải
1. Tìm điều kiện để đồ thị (C): cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.
(C) cắt trục hoành nên có: 
 lập thành một cấp số cộng Û phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn 
Khi đó: 
Từ và suy ra 
Thế vào để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.
Giả sử có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân Û phương trình có 3
nghiệm thỏa mãn .
Từ và suy ra Þ là 1 nghiệm của .
 Thế vào để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
3. Tìm điều kiện để đồ thị (C): cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 
có hoành độ lập thành một cấp số cộng
Û (1) có 4 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 
nghiệm dương phân biệt (giả sử ) 
Khi đó các nghiệm của (1) là: .
Vì lập thành cấp số cộng nên 
 Giải điều kiện: 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số có đồ thị là . Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Bài 2: Gọi là đồ thị của hàm số , m là tham số . Tìm m để cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt 
1. Có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
2. Có hoành độ lớn hơn – 4 .
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. cắt tại ba điểm sao cho .
2. cắt trục hoành tại bốn điểm sao cho .
3. Cho hàm số có đồ thị là , với là các số thực cho trước thỏa mãn. Chứng minh rằng cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
4. cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Dạng 2: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.
Phương pháp .
Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và là : .
Biện luận số nghiệm của phương trình , số nghiệm phương trình là số giao điểm của và .
Bài toán 01: 
HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm để đường thẳng : cắt đồ thị tại đúng hai điểm phân biệt.
Bài 2. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A(0,2), B, C sao cho: 
Bài 3. Cho hàm số . Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
2. và là đường thẳng đi qua điểm của và có hệ số góc là cắt tại ba điểm phân biệt sao cho tam giác vuông cân tại 
3. cắt parabol tại ba điểm phân biệt.
4. Tìm tham số sao cho đồ thị và : cắt nhau tại điểm phân biệt.
Bài toán 02: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số , trong đó là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của sao cho đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là và đồng thời thỏa mãn đẳng thức 
Bài 2. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại điểm phân biệt sao cho nhỏ nhất.
Bài 3. Tìm để đồ thị của hàm số cắt đường thẳng tại bốn điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn hệ thức : .
Bài toán 03: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài tập . Giả sử đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại điểm phân biệt . là giao điểm đường tiệm cận. 
1. Tìm tham số để tam giác đều.
2. Gọi là đường thẳng đi qua và cắt đồ thị của hàm số tại điểm 	phân biệt . Lập phương trình đường thẳng để có .
Bài toán 04: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM THUỘC 1 HOẶC 2 NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị : của hàm số.
1. Tại hai điểm phân biệt?.
2. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?.
Bài 2. Tìm tham số thực để đi qua và có hệ số góc là m cắt : tại hai điểm thuộc hai nhánh của ( thuộc nhánh trái , thuộc nhánh phải )sao cho 
Bài 3: 
1. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho trung điểm nằm trên đường thẳng .
2. Cho hàm số (C) và d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt O, A, B sao cho 
3. Chứng minh rằng nếu đồ thị cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì hai điểm đó nằm về một nhánh của (C).
Bài toán 05: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI CHO TRƯỚC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: 
1. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho .
2. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm các giá trị của tham số sao cho đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm sao cho .
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm tất cả các giá trị tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại điểm phân biệt sao cho 
Bài toán 06: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI NHỎ NHẤT.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: 
1. Cho hàm số : có đồ thị . Giả sử đường thẳng  : luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt . Tìm để độ dài ngắn nhất. 
2. Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (C): tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
3. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại điểm phân biệt thuộc nhánh khác nhau sao cho ngắn nhất.
Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số , (d) là đường thẳng 
 , m là tham số . Tìm tham số m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho :
1. Độ dài AB nhỏ nhất. 
2. Tam giác IAB có diện tích bằng 7 với I(1;0) và m > 0.
Bài toán 07: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: 
1. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác vuông tại . 
2. Cho hàm số có đồ thị là . Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt và giao điểm cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng .
3. Cho hàm số có đồ thị là . Gọi là tâm đối xứng của đồ thị . Viết phương trình đường thẳng qua và cắt tại ba điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác bằng .
4. Cho hàm số (1). Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số (1) cắt đường thẳng (d) y = 2x+1 tại ba điểm phân biệt A,B,C trong đó A là điểm có hoành độ x = 0 và thỏa mãn điều kiện tam giác OBC vuông tại O. 
5. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và cùng điểm tạo thành tam giác có diện tích bằng với .
6. Giả sử là giao điểm của đường thẳng : và đồ thị : . Tìm để đường thẳng cắt trục tọa độ tại sao cho .
7. Cho hàm số , có đồ thị . Tìm để đường thẳng luôn cắt tại điểm phân biệt sao cho tam giác có diện tích bằng , với là gốc tọa độ.
8. Cho hàm số , có đồ thị là . Từ điểm hãy lập phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng . Tính diện tích hình thang giới hạn bởi đường thẳng này và trục .
Bài 2: 
1. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm các giá trị m để đường thẳng cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng (O là gốc tọa độ).
2. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 , với I(1; 2). 
3. Giả sử là đường thẳng đi qua và có hệ số góc . Tìm tất cả tham số thực để đường thẳng cắt đồ thị : của hàm số tại điểm phân biệt sao cho:
a. .
b. là trọng tâm tam giác .
4. Tìm các giá trị tham số sao cho: cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt sao cho tam giác có diện tích bằng (đvdt), biết .
5. Tìm hai tọa độ và thuộc đồ thị sao cho đường thẳng song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của đến đường thẳng bằng .
Bài 3: 
1. Xác định đường thẳng sao cho cắt tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác đều, với .
2. Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt. Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho là hình bình hành.
3. Cho hàm số , tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).
4. Tìm tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác vuông tại .
Bài 4: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm để trên đồ thị có điểm cách đều điểm , và diện tích tứ giác bằng 
Bài 5. Cho hàm số y = có đồ thị là (C) và đường thẳng (d) : . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho:
1. 	2. Tam giác AMN vuông tại A với .
Bài 6. 
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ cắt đồ thị tại điểm phân biệt là đỉnh của hình chữ nhật có diện tích bằng .
2. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Viết phương trình của hai đường thẳng đi qua I và cắt (C) tại bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng .
Bài 7. Gọi là đường thẳng qua gốc tọa độ và có hệ số góc là m , m > 0 và là đường thẳng qua và vuông góc với . Tìm m để cắt : tại hai điểm phân biệt M,N ; cắt tại hai điểm phân biệt P,Q sao cho tứ giác MPNQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài 8. Cho hàm số (1)
1.Tìm tham số a để phương trình (2) có đúng hai nghiệm
2.Cho điểm và gọi (d) là đường thẳng y = mx+4 , m là tham số thực . Tìm tham số m để (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0;4) , B, C sao cho (SIBC là diện tích tam giác IBC)
Bài 9. Cho hàm số có đồ thị là .
1. Tìm các điểm thuộc (C) cách đều hai trục tọa độ.
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) . Viết phương trình của hai đường thẳng đi qua I , có hệ số góc là số nguyên và cắt (C) tại bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Bài 10: Cho hàm số và đường thẳng (d) :y = x+m , m là tham số . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho :
1. M , N cách đều trục hoành độ.
2. Diện tích tam giác IMN = 4 với I(1;2).
Bài 11: Cho hàm số có đồ thị là (C). 
1. Tìm để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho M, N đối xứng nhau qua O.
2. Đường thẳng cắt (C) tại hai điểm A, B. Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại C, D sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 12: 
1. Cho hàm số , có đồ thị là và đường thẳng : . Tìm sao cho cắt tại phân biệt thỏa mãn là trọng tâm tam giác với là gốc tọa độ.
2. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm tất cả các giá trị tham số để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm phân biệt lần lượt có hoành độ sao cho tam giác có diện tích bằng , biết .
3. Xác định đường thẳng sao cho cắt tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác đều, với .
4. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị : tại hai điểm phân biệt và sao cho tứ giác là hình bình hành (là gốc toạ độ, )
Dạng 3: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA CỦA HÀM SỐ TẠI 2,3 ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: 
1. Cho hàm số có đồ thị là (C). Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
2. Cho hàm số , có đồ thị . Tìm tất cả các tham số thực để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
3. Cho hàm số có tiếp tuyến tại thuộc có hoành độ cắt tại điểm phân biệt khác sao cho , nằm giữa và .
Bài 2: 
1. Cho hàm số : có đồ thị . Tìm tham số để đường thẳng cắt tại ba điểm phân biết sao cho các tiếp tuyến của tại vuông góc với nhau.
2. Cho hàm số : có đồ thị . Tìm tham số để đường thẳng cắt tại ba điểm phân biết sao cho các tiếp tuyến tại B,C có tổng hệ số góc không nhỏ hơn .
Bài 3: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = , m là tham số .
1. Tìm tham số m để trên (Cm) tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng .
2. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A(1;0), B, C . Khi đó gọi là hai tiếp tuyến của (Cm) tại B và C . Tìm m để 
3. Cho hàm số tìm để đồ thị của hàm số cắt trục 
hoành tại ba điểm phân biệt sao cho trong đó lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại .
Bài 4: Cho hàm số 
1. Tìm để đồ thị hàm số cắt trục tung tại và tiếp tuyến của đồ thị tại có hệ số góc bằng . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với vừa tìm được.
2. Cho đường thẳng có hệ số góc và đi qua điểm . Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt . Các đường thẳng đi qua song song với các trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật . Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo , khi nào hình chữ nhật này trở thành hình vuông.
Dạng 4: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ ĐỒNG THỜI ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: 
1. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C): tại 2 điểm phân biệt . Tìm quỹ tích trung điểm của .
2. Chứng minh rằng với mọi đồ thị : luôn cắt đường tròn tại bốn điểm phân biệt.
Bài 2:
1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số và (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3;4) có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M,N .Khi đó tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
2. Tìm m để (d): y = m(x – 1)+2 cắt (C) : tại hai điểm phân biệt M, N ở trên hai nhánh của (C). Khi đó tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
3. Cho hai đồ thị , , m là tham số thực.
Tìm m để cắt tại hai điểm phân biệt A,B .Khi đó chứng minh trung điểm I của đoạn AB thuộc đồ thị hàm số y = và viết phương trình của đường thẳng AB.