Toán ôn thi vào lớp 10 THPT - Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1 : Bài toán về số - chữ số
Bài 1 : Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 212, nếu lấy số lớn chia số nhỏ thì được thương là 5 và dư 8.
Bài 2 : Tìm số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó.
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 10, nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số đó giảm đi 54 đơn vị.
Bài 4 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết số 0 vào giữa hai chữ số thì số đó tăng thêm 540 đơn vị.
Bài 5 : Tìm 1 số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho tổng hai chữ số của nó thì được thương là 8 không dư. Còn nếu chia số đó cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18.
Bài 6 : Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó.
Bài 7 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gập 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thị được thương là 4 và số dư là 3.
Bài 8 : Tìm 1 số có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và tích của số phải tìm với số phải tìm nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 2994.
Bài 9 : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 10 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.
Bài 11 : Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó.
Bài 12 : Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng . Tìm phân số đó.
Dạng 2 : Bài toán có nội dung hình học
Bài 1 : Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác tăng 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 4 cm thì diện tích tam giác giảm đi 26 cm2.
Bài 2 : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 cm diện tích là 300 cm2. Tính chiều dài, rộng của hình chữ nhật đó.
Bài 3 : Tính các kích của hình chữ nhật biết chiều dài hơn rộng 5 cm, chu vi bằng 70 cm.
Bài 4 : Tính chu vi của hình chữ nhật biết nếu tăng mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích tăng lên 22 cm2. Nếu giảm chiều dài đi 2 cm chiều rộng 1 cm thì diện tích giảm 28 cm2.
Bài 5 : Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi 140 m và diện tích bằng 1200 cm2.
Bài 6 : Một hình chữ nhật có chu vi 240 m, diện tích 3500 cm2. Tính chiều dài, rộng.
Bài 7 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2.
Bài 8 : Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 9 : Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác vuông tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông.
Dạng 3 : Bài toán chuyển động
Bài 1 : Một ôtô đi quãng đường AB hết 8 giờ. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc 40 km/h sau đó đi với vận tốc 60 km/h. Tính thời gian ôtô đi với mỗi vân tốc trên, biết rằng nếu ôtô đi với vận tốc 45 km/h thì trong 8 giờ ôtô đi hết quãng đường AB.
Bài 2 : Hai xe cùng khởi hành từ A và B và đi ngược chiều nhau. Sau khi đi được 2 giờ thì họ gặp nhau cách chính giữa quãng đường AB là 15 km. Nếu vận tốc xe chạy nhanh hơn giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút. Tính vận tốc ban đầu của mỗi xe.
Bài 3 : Một ôtô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì sẽ đến sớm hơn 3 giờ, nếu xe đi chậm mỗi giờ 10 km thì đến muộn mất 5 giờ. Tính thời gian dự định, vận tốc của xe lúc đầu và quãng đường AB.
Bài 4 : Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h nhưng đến C thì đường xấu nên từ đó người ấy chỉ đi với vận tốc 20 km/h. Tính quãng đường AC và AB biết tổng thời gian người ấy đi hết quãng đường AB là 4 giờ 20 phút và quãng đường CB dài hơn quãng đường AC là 20 km.
Bài 5 : Một người dự định đi xe máy từ A đến B. Nếu người đó tăng vận tốc 5 km/h. thì về B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian người đó đi hết quãng đường AB, biết quãng đường AB dài 100 km.
Bài 6 : Một ôtô dự định đi hết quãng đường dài 120 km. Nhưng đi được nửa đường xe nghỉ mất 3 phút, muốn đến nơi đúng dự định thì xe phải tăng tốc độ thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại. Tính thời gian xe chạy.
Bài 7 : Một tàu thủy đi trên khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vân tốc riêng của tàu biết vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài 8 : Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 9 : Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 10 : Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau.
Bài 11 : Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng.
Bài 12 : Một chiếc thuyền đi từ bến A. Sau 48 phút, một chiếc tàu thủy cũng đi từ A và đuổi theo gặp thuyền cách bến A là 30 km. Tính vận tốc của thuyền máy và tàu thủy biết tàu thủy chạy nhanh hơn thuyền máy là 10 km/h.
Bài 13 : Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Một ca nô xuôi từ A đến B rồi lại quay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8 km. Tính vận tốc của ca nô và dòng nước.
Dạng 4 : Bài toán “chung – riêng”
Bài 1 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi I trong 2 giờ và vòi II trong 3 giờ thì được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ và vòi II trong 6 giờ thì sẽ đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể.
Bài 3 : Hai người cùng xây 1 bức tường. Người thứ nhất làm được một nửa rồi để cho người thứ hai làm nốt cho đến lúc xong thì hết 8 giờ. Nếu cả hai người làm chung thì chỉ sau 3 giờ thì xong bức tường. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải mất bao lâu mới xong.
Bài 4 : Nếu hai tổ học sinh cùng vệ sinh sân trường thì sau 1 giờ 30 phút sẽ xong. Nếu để tổ I làm trong 20 phút, tổ II làm trong 15 phút thì được sân trường. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì xong trong bao lâu.
Bài 5 : Người ta dùng 2 máy bơm để bơm nước từ hồ lên đồng lúa. Nếu cả 2 máy cùng làm thì sau 1 ngày bơm được lượng nước trong hồ. Nếu mỗi máy làm việc riêng thì thời gian máy thứ nhất bơm hết nước trong hồ hết ít hơn so với máy thứ hai là 1 ngày. Tính thời gian mỗi máy làm việc một mình bơm hết nước trong hồ.
Bài 6 : Một máy bơm dùng để bơm bể nước có thể tích 60 m3 với thời gian định trước. khi đã bơm đựơc bể thì mất điện trong 48 phút. Đến khi có điện người ta sử dụng thêm máy thứ hai có công suất 10 m3/h. Cả 2 máy cùng phải hoạt động để bơm đầy bể đúng thời gian dự kiến. Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian máy đó hoạt động.
Bài 7 : Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nừu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được ắ công việc. Hỏi một làm công việc đó trong mấy giờ thì xong ?
Bài 8 : Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy trong bao lâu mới đầy hồ.
Bài 9 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
Dạng 5 : Bài toán về tuổi
Bài 1 : Hai năm trước tuổi của người anh gấp 3 lần tuổi của người em. Hai năm sau tuổi của người anh gấp 2 lần tuổi của người em. Tính tuổi của người anh và người em hiện nay.
Bài 2 : Tuổi của hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
Dạng 6 : Bài toán có nội dung hoá – lí
Bài 1 : Có hai lọ đựng muối với nồng độ muối là 5% và 40%. Hỏi cần phải lấy mỗi loại bao nhiêu gam để được 140 gam muối có nồng độ 30%.
Bài 2 : Cho một chất lỏng A có khối lượng 8 gam. Chất lỏng B có khối lượng là 6 gam và có khối lượng riêng nhỏ hơn khối lượng riêng của A là 200 kg/m3. Nếu trộn chất A với chất B thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m3. Tính khối lượng riêng của hai chất trên.
Dạng 7 : Bài toán về tỉ số
Bài 1 : Theo kế hoạch, trong quý I xưởng A phải sản xuất nhiều hơn xưởng B lµ 200 sản phẩm. Nhưng do thực hiện xưởng A tăng năng suất 20%, xưởng B tăng năng suất 15% nên xưởng A sản xuất được nhiều hơn xưởng B là 350 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi xưởng sản xuất theo dự định.
Bài 2 : Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài 3 : Hai ô tô phải chở tất cả 360 tấn hàng. Xe I đã chở vượt mức 12%, xe II vượt mức 10% kế hoạch do đó cả hai xe đã chở được 400 tấn. Hỏi theo kế hoạch mỗi ô tô phải chở bao nhiêu tấn hàng.
Bài 4 : Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay ?
Dạng 8 : Bài toán khác
Bài 1 : Trong buổi giao lưu ngoại ngữ, số người tham gia Tiếng Pháp bằng số người tham gia Tiếng Anh. Nhưng sau đó có thêm 25 người tham gia Tiếng Pháp và 15 người ở đội Tiếng Anh về sớm do đó số người đội Tiếng Pháp bằng số người đội Tiếng Anh. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu người tham gia ?
Bài 2 : Có hai đội sản xuất, đội I làm trong 25 ngày, đội II làm trong 20 ngày được tất cả 2850 sản phẩm. Biết sản phẩm của đội I làm trong 8 ngày bằng đội B làm trong 5 ngày. Tính số sản phẩm mỗi đội đã làm trong mỗi ngày.
Dạng 6 : Bài toán dạng phân chia đều – năng suất
Bài 1 : Một đội công nhân xây dựng hoàn thành căn nhà với 480 ngày công thợ. Khi thực hiện đội tăng cường thêm 3 công nhân nữa nên hoàn thành công việc sớm hơn 8 ngày.Tính số công nhân ban đầu của đội.
Bài 2 : Một đội công nhân định bốc dỡ 400 tấn hàng trong thời gian dự định. Do mỗi ngày làm tăng thêm 20 tấn nên đã xong sớm hơn 1 ngày. Tính thời gian đội dự định bốc dỡ hàng.
Bài 3 : Một đơn vị giao thông được giao làm một con đường dài 16 800 m trong một thời gian định trước. Do mỗi ngày họ làm được ít hơn dự định 150 m nên đã quá thời hạn 4 ngày mà họ mới chỉ làm được 14 100 m.Tính xem họ dự định làm trong bao lâu và năng suất làm trong mỗi ngày là bao nhiêu mét đường.
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG LÀM THÊM
Bài 1 : Một mô tô đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc xe tăng 3 km/h thì đến B sớm 2 giờ. Nếu vận tốc xe giảm 3 km/h thì đến B chậm 3 giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 2 : Có 2 đội công nhân sửa đoạn đường dài 10 km. Nếu làm riêng thì thời gian đội 1 làm nhiều hơn đội 2 là 1 ngày. Hỏi trong 1 ngày mỗi đội làm được bao nhiêu km đường ? Biết rằng cả 2 đội làm được 4,5 km trong 1 ngày.
Bài 3 : Lúc 7 giờ có một xe đạp đi từ A đến B, 8 giờ 30 phút có một xe mô tô đi từ B đến A. Một lúc sau họ gặp nhau rồi tiếp tục cuộc hành trình của mình. Nửa giờ sau khi gặp nhau người đi mô tô về đến A và 2 giờ sau xe đạp về đến B. Hỏi mỗi người đi hết quãng đường AB mất bao lâu ?
Bài 4 : Hai vật A và B chuyển động đều trên hai cạnh góc vuông hướng về đỉnh góc vuông. Khi chưa chuyển động vật A và B cách đỉnh góc vuông lần lượt là 60m và 80m. Khi cho hai vật chuyển động cùng một lúc, sau 3 giây thì khoảng cách giữa hai vật là 70m, sau 2 giây tiếp theo thì khoảng cách giữa hai vật giảm đi 20m. Tính vận tốc mỗi vật theo m/s.
Bài 5 : Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 giờ thì hoàn thành công việc. Nếu để mỗi người làm riêng, thì người thứ nhất làm xong công việc trước người thứ hai là 5 giờ. Hỏi để làm xong công việc thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Bài 6 : Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi lại chạy ngược dòng từ B về A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng ? Biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài 7 : Một giải bóng đá được tổ chức theo thể thức “đấu vòng tròn” một lượt tức là mỗi đội được đấu với một đội khác một lần để xếp hạng. Có tất cả 15 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu đội thi đấu bóng đá ?
Bài 8 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3 ; còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương là 3 và dư là 5.
Bài 9 : Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B ca nô trở về bến A ngay và gặp bè khi bè đã trôi được 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết thời gian ca nô đi cho đến khi gặp bè là 2 giờ 40 phút.
Bài 10 : Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian một xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc thành 45 km/h nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đường AB.
Bài 11 : Hai canô cùng khởi hành đi từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1h40 phút thì hai canô gặp nhau. Tính vận tốc thực của mỗi canô, biết rằng vận tốc của canô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Bài 12 : Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 cm. Nếu tăng chiều dài thêm của nó thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng lên 3 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 13 : Trên một đoạn đường AB, một xe đạp đi từ A cùng một lúc với một Ôtô đi từ B và đi ngược chiều nhau. Sau 3 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì Ôtô đến A sớm hơn xe đạp đến B là 8 giờ. Hỏi thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB.
Bài 14 : Chia một số có hai chữ số cho tổng hai chữ số của nó được thương là 6 và dư là 2. Nếu chia số đó cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 5 và dư là 2. Tìm số đó.
Bài 15 : Hai đội cùng làm việc trong 12 giờ thì xong một công việc. Nếu để riêng đội thứ nhất làm một nữa công việc rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp cho đến lúc hoàn thành công việc thì thời gian tổng cộng là 25 giờ. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì hoàn thành công việc trong bao lâu?
Bài 16 : Hai địa điểm A,B cách nhau 60 km. Người đi xe đạp khởi hành từ A đến B, rồi quay về A như vận tốc ban đầu ; nhưng sau khi đi từ B được 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút rồi đi tiếp về A với vận tốc tăng thêm 4 km/h. Tính vận tốc ban đầu, biết thời gian đi và về như nhau.