Toán - Các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 1
 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1994- 1995 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) 
Thời gian: 150 phút không kể chép đề 
Ngày thi :5 tháng 01 năm 1995 
Bài 1 (4 điểm) 
Xét số A = 44 344 21
91995
4...............444
sochu
 và B = 1644428 
Hỏi số A có chia hết cho số B hay không , tại sao ? 
Bài 2 (4 điểm) 
Bạn Việt nói với bạn Nam : “Nếu một tứ giác có hai góc đối bàng nhau đồng 
thời có một đ−ờng chéo đi qua trung điểm của đ−ờng chéo kia thì tứ giác đó là hình 
bình hành. ”. Bạn Nam nói “Điều bạn nói là sai rồi !”. Ai nói đúng , ai nói sai . Tại 
sao ? 
Bài 3 (4 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 
2
518 2 =+
x
x 
Bài 4 (4 điểm) 
Cho ∆ABC vuông tại A. Một đ−ờng tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai 
điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai t−ơng ứng D, E. Gọi F là 
điểm đối xứng với E qua OD và I là giao điểm của BF với đ−ờng trung trực của AF 
. Tìm quĩ tích điểm I. 
Bài 5 ( 4 điểm) 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 2
 
 Trên mặt phẳng có 1994 điểm tô xanh sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. 
Chứng minh rằng có thể kẻ đ−ợc hai đ−ờng thẳng cắt nhau tạo thành cặp góc đối 
đỉnh sao cho với mỗi cặp góc đối đỉnh đó, số điểm xanh trên miền trong góc này 
bằng số điểm xanh trên miền trong góc kia. 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1994- 1995 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) 
Thời gian: 180 phút không kể chép đề 
Ngày thi :13 tháng 01 năm 1995 
Bài 1 (4 điểm) 
 Xét 1995 số tự nhiên a1 , a2 , . . . . a19 95 có tổng bằng 1994x1995. 
 Đặt P = a1
3 +a2
3 +a3
3 + . . . . .a19 95
3 . Chứng minh rằng P chia hết cho 3. 
Bài 2 (4 điểm) 
Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đ−ờng tròn (O;R). Gọi M, N lần l−ợt là trung 
điểm của CD, EA. Biết AB = CD =DE = R. Chứng minh rằng ∆BMN đều. 
Bài 3(4 điểm) 
 Giải ph−ơng trình :(x+2)2+ (x+3)3+ (x+4)4= 2 
Bài 4(4 điểm) 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ−ờng tròn (O). Gọi A /B /C /D / là ảnh của tứ giác 
ABCD trong phép quay tâm D. Chứng minh rằng các đ−ờng thẳng AA / , BB / , CC / , 
DD / đồng qui tại một điểm. 
Bài 5 (4 điểm) 
Cho lục giác đều ABCDEF, các điểm M, N, P theo thứ tự là giao điểm của 
các cặp đ−ờng thẳng: AB với CD; CD với EF ; EF với AB. Ng−ời ta tô các điểm 
A,B,C,D,E,F,M,N,P hoặc xanh hoặh đỏ. Hỏi có cách nào tô sao cho bất cứ ba điểm 
nào cùng mầu đều không phải là ba đỉnh của mọt tam giác vuông hay không , tại 
sao ? 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 3
 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1994- 1995 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 3 ) 
Thời gian: 180 phút không kể chép đề 
Ngày thi :14 tháng 01 năm 1995 
Bài 1 (4 điểm ) 
Xét biểu thức N = a19 95 + b1 99 5 + c1 99 5 + d1 9 95 
Trong đó a, b, c, d là các số tự nhiên sao cho ab = cd ≠ 0. Chứng minh rằng N là 
hợp số . 
Bài 2 ( 4 điểm ) 
 Cho hai đ−ờng tròn (O), (O /) cắt nhau tại A, B , hai cát tuyên MAN, PAQ bằng 
nhau (M, P ∈(O); N, Q (O /)). Gọi I, K lần l−ợt là giao điểm của các đ−ờng thẳng 
MN, PQ với OO / . So sánh BI với BK. 
Bài 3( 4 điểm ) 
 Giải ph−ơng trình : 01123 =−−+− xx 
Bài 4( 4 điểm ) 
Cho góc xOy có độ lớn bằng α (00< α < 450) và điểm P ởbên trong góc ấy. 
Dựng góc x /Oy / có độ lớn bằng 2α ; Px / cắt Ox tại điểm A; Py / cắt Oy tại điểm B 
sao cho hai tam giác OPA, OPB có diện tích bằng nhau. 
Bài 5 ( 4 điểm ) 
Ng−ời ta dùng m mầu để tô các mặt của hai hình lập ph−ơng sao cho trong 
mỗi hình không có hai mặt nào cùng mầu, đồng thời không có ba mầu nào đôi một 
kề nhau trong cả hai hình (hai mầu kề nhau trong một hình nếu chúng đ−ợc tô trên 
hai mặt kề nhau của hình ấy). Hty tìm số m bé nhất . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 4
 
Sở giáo dục đào tạo 
 hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1995- 1996 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) 
Thời gian: 150 phút không kể chép đề 
Ngày thi :5 tháng 01 năm 1996 
Bài 1 (4 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 4x4 – x 3 – 16x 2 + 4x –1995 = 0 với x ∈ N 
Bài 2 (4 điểm) 
Cho hai đ−ờng tròn (O,r),(O /; r
3
2 ) tiếp xúc trong với nhau tại điểmA.Kẻ 
đ−ờng kính AB của đ−ờng tròn(O). Dây BC của đ−ờng tròn (O) cắt đ−ờng tròn (O /) 
tại hai điểm D, E. Tính BC theo r, biết rằng E là trung điểm của DC. 
Bài 3(4 điểm) 
Cho bốn số a,b,c,d có tổng bằng 1996. Chứng minh rằng trong ba số 
m=ab+cd; n=ac+bd; P=ad+bc phải có ít nhất một số bé hơn 500 000. 
Bài 4( điểm) 
Cho tam giác ABC với điểm M nằm giữa B,C. 
Dựng đ−ờng tròn qua A,M cắt AB, AC tại các điểm thứ hai t−ơng ứng PQ sao cho 
PQ//BC 
Bài 5(4 điểm) 
Ng−ời ta tô đỏ 7 cạnh của một hình lập ph−ơng một cách hú hoạ .Mõi đỉnh kề 
với ít nhất hai cạnh đỏ dều đ−ợc gọi là đỉnh đỏ.Chứng minh rằng có ít nhất một mặt 
của lập ph−ơng đó chứa ít nhất 3đỉnh đỏ. 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1997- 1998 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) 
Thời gian: 150 phút không kể chép đề 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 5
 
Ngày thi :15 tháng 01 năm 1998 
Câu 1(5 điểm ) 
1) Cho x1 , x 2 là 2 nghiệm của ph−ơng trình x
2 – 2x – 1 = 0 
Chứng minh rằng x1
2 k + x2
2k + 2 là số chính ph−ơng với mọi số tự nhiên chẵn k . 
2) Cho m, n là hai số tự nhiên thoả mtn : 
1331
1
1330
1
1329
1
.........
4
1
3
1
2
11 +−+−+−=
n
m 
Chứng minh rằng mΜ1997 
Câu 2 (4 điểm) 
Hty giải và biện luận ph−ơng trình : 
 x 4 – 4x3 + x 2 + 6x – m = 0 
Theo tham số m 
Câu 3 (3 điểm) 
Cho biểu thức 
22
1
1
5
xx
A +
−
= , với 0< x < 1 
Hty tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Câu 4 (4 điểm) 
 Cho 37 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm bên trong hình vuông có 
cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đ−ợc 5 điểm trong 37 điểm đt cho thoả 
mtn : Các tam giác đ−ợc tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S 
18
1≤ . 
Câu 5 (5 điểm ) 
 Cho ∆ABC vuông ở C. Một đ−ờng thẳngd đi qua A không song song với BC và cắt 
đ−ờng trung trực của đoạn AB tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K 
là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Hty dựng đ−ờng thẳng d thoả mtn góc CHK 
bằng 303 . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 6
 
Đề thi thuyển sinhvào lớp 10 
tr−ờng quốc học huế 
năm học 2004 
thời gian làm bài 120 phút 
 (THTT 5 - 2005) 
Bài 1( 1,5 điểm) 
Cho biểu thức : 
a
aab
a
bA
2
−
−=
1) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức A đ−ợc xác định . 
2) Rút gọn biểu thức A. 
Bài 2( 2 điểm) 
1) Giải hệ ph−ơng trình : 




=−
=+
13
13
2
2
yx
yx 
2) Giải bất ph−ơng trình : 
x + x - 1 > 5 
Bài 3( 1,5 điểm) 
Chứng minh rằng, nếu ph−ơng trình 
X2 + 2mx + n = 0 (1) 
có nghiệm, thì ph−ơng trình : 0112
2
2
=





++





++
k
knmx
k
kx (2) 
cũng có nghiệm. (m, n, k là các tham số : k ≠ 0) 
Bài 4( 1,5 điểm) 
Cho hàm số y = ax+ b có đồ thị (D) và hàm số y = kx 2 có đồ thị (P). 
a) tìm a, b biết rằng (D) đi qua A(-1; 3) và B(2; 0) 
b) Tìm k (k ≠ 0) sao cho (P) tiếp xúc với đ−ơừng thẳng (D) vờa t ìm đ−ợc . Viết 
ph−ơng trình của (P). 
Bài 5( 3,5 điểm) 
 Cho ∆ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đ−ờng tròn tâm O. Hai 
đ−ờng cao AI, BE cắt nhau tại H. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 7
 
1) Chứng minh : Góc CHI = góc CBA. 
2) Chứng minh : EI ⊥ CO. 
3) Cho góc ACB = 600 . Chứng minh CO = CH. 
đề thi tuyển sinh lớp 10 khối THPT chuyên 
tr−ờng đại học s− phạm vinh 2005 
(dành cho mọi thí sinh . Thòi gan làm bài 150 phút) 
THTH 10 –2005 
Vòng 1 
Câu1 . 
a) Rút gọn biểu thức sau : 
2
158
2
158 −
+
+
=A 
b) Giải ph−ơng trình : 435 =−++ xx 
Câu2 . 
Chứng minh rằng (n3 + 17n)Μ6 với mọi số tự nhiên n. 
Câu3 . 
Giả sử ph−ơng trình x1 , x2 là hai nghiệm của ph−ơng trình mx
x
xx
+=
−
− 3
1
42 , 
Trong đó m là tham số. Tìm m để biểu thức x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu4 . 
Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I, J lần l−ợt thuộc hai cạnh BC, CD sao cho góc 
IAJ = 45 0 . Đ−ờng chéo BD cắt AI, AJ t−ơng ứng tại H, K. Tính tỉ số 
IJ
HK 
Câu5 . 
Cho hai đ−ờng tròn (O1;R1)và (O2;R2)có R1 > R2 t iếp xúc ngoài với nhau tại A. 
Đ−ờng thẳng d đi qua A cắt đ−ờng tròn(O1;R1) tại M và cắt đ−ờng tròn (O2;R2) tại 
N (Các điểm M, N khác A). 
a) Xác định vị trí của đ−ờng thẳng d để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất. 
b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đ−ờng thẳng d quay 
quanh điểm A. 
Vòng 2 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 8
 
Câu6 . 
Câu7 . 
Câu8 . 
Câu9 . 
Câu10 . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 9
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1991 -1992 
* Môn Toán * Ngày thi 6/8/1991 * Thời gian 150 phút 
Bài 1: 
 Trên một đ−ờng giao thông đi qua ba t ỉnh A, B, C ( B nằm giữa A, C) có hai ng−ời 
chuyển động đều : M xuất phất từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe 
đạp. Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C. Đến C thì M quay trở lại A ngay 
và về đến B đúng vào lúc N đến C.Tính qutng đ−ờng AC biết rằng qutng đ−ờng BC 
dài gấp đôi qutng đ−ờng AB và khoảng cách giữa hai địa điểm họ gặp nhau trên 
đ−ờng đi (một lần khi họ đi cùng chiều , một lần khi họ đi ng−ợc chiều) là 8 km. 
Bài 2 : 
 Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 1991 19 92 . Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 
1992 hay không ? tại sao ? 
Bài 3 : 
 Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az , một điểm B cố định trên Az (B ≠ A). 
Ng−ời ta kẻ một đ−ờng tròn tâm O đi qua A, B cắt Ax, Ay lần l−ợt tại các điểm M, 
N. Gọi I là trung điểm của MN, dựng hình vuông ACID. Tìm tập hợp C, tập hợp D 
khi đ−ờng tròn (O) thay đổi luôn luôn qua A, B. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 10
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1992 -1993 
* Môn Toán * Ngày thi 11/6/1992 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2,5 điểm) 
Xét biểu thức : 
( ) ( ) 3
2
1
2
12
1
12
1
a
a
aa
P
−
+
−
−
+
+
= 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 Km/h .  ... góc với AB ). Gọi C, D lần l−ợt là giao điểm của các đ−ờng thẳng 
AM, AN với xy. 
1. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp đ−ợc trong một đ−ờng tròn. 
2. Gọi I là tâm của đ−ờng tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của 
CD. Chứng minh AOIK là hình bình hành. 
3. Gọi H là trực tâm ∆MCD. Chứng min H thuộc một đ−ờng tròn cố định. 
Câu 5: ( 1 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : ( )22
4
1
1
+
+
x
x
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2000 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 47
 
Môn thi : toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 23 - 7 - 2000 
Bài 1:( 3 điểm) 
Cho biểu thức : ( )( )








−
−−
⋅







+
−+
+
−
+−
−=
12
1
1
2
1
121
x
xxx
xx
xxxx
x
xxM 
1. Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hty rút gọn M. 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 - M) khi đó x ≥ 4. 
3. Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên. 
Bài 2:( 1,5 điểm) 
Giải ph−ơng trình : (x - 1)(x+ 2)(x- 6)(x - 3) = 34. 
Bài 3:( 1,5 điểm) 
 Tìm ph−ơng trình các đ−ờng thẳng đi qua điểm I(0; 1) và cắt Parabol y = x2 tại 
hai điểm phân biệt M và N sao cho độ dài đ−ợn thẳng MN bằng 102 
Bài 4:( 3 điểm) 
Cho ∆ABC ngoại tiếp đ−ờng tròn O. Trên đoạn BC lấy điểm M; trên đoạn BA lấy 
điểm N , trên đoạn CA lấy P sao cho BM = BN và CM = CP. 
1. Chứng minh rằng O là tâm vòng tròn ngoại tiếp ∆MNP. 
2. Chứng minh rằng tứ giác ANOP nội tiếp đ−ợc. 
3. Tìm một vị trí của M, N, P sao cho độ dài NP nhỏ nhất. 
Bài 5:( 1 điểm) 
Giải hệ ph−ơng trình sau với ẩn số x, y : 
( )( )



+++−=−
=+
2001
1
2000200019991999
22
xyyxxyyx
yx
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2001 
Môn thi : toán 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 48
 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 1 - 7 - 2001 
Bài 1: (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
1
1
:2
2
1
1
1
2
393
−








−
+
+
−
+
−+
−+
=
xxxxx
xxP 
1. Tìm điều kiện của x để P có nghit, Khi đó hty rút gọn P. 
2. Tìm các số tự nhiên x để 
P
1 là số tự nhiên. 
3. Tím giá trị của P với 324 −=x 
Bài 2: (2 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 222523252 =+−−+−−+ xxxx 
Bài 3: (2 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có ph−ơng trình 2
2
1
xy −= , 
 điểm I(0; -2) và điểm M(m; 0) với m là tham số khác 0. 
1. Hty vẽ Parabol (P). 
2. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ( d) đi qua hai điểm M, I. Chứng minh rằng 
(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có độ dài AB > 4. 
Bài 4: (3 điểm) 
Cho đ−ờng tròn (O; R) và điểm A cố định với OA = 2R, đ−ờng kính BC quay 
quanh O sao cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC 
cắt đ−ờng thẳng OA tại điểm thứ hai I . Đ−ờng thẳng AB, AC lại cắt (O, R) lần l−ợt 
tại D, E. Nối DE cắt đ−ờng thẳng OE tại K. 
1. Chứng minh rằng OI.OA = OB.OC và AK.AI = AE.AC. 
2. Tính độ dài đoạn OI và đoạn AK theo R. 
3. Chứng minh rằng đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ADE luôn đi qua một điểm cố định 
F Khác A khi BC quay quanh O 
Bài 5: (1 điểm) 
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
20022
)( 2
2
+−
=
xx
x
xf 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 49
 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2002 
Môn thi : toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 30 - 6 - 2002 
Bài 1: (2 điểm) 
1. Chứng minh rằng : (x + y + z)3 – x3 – y 3 – z 3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) 
2. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ Z thì: 
3. (a + b + c)3 – (a + b –c)3 –(b + c – a)3 – (c+ a-b)3 chia hết cho 24 
Bài 2: (2 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+ 12) = 3x 2 
Bài 3: (2 điểm) 
Chứng minh rằng : 
1. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 
2. x4 + y 4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) 
Bài 4: (3 điểm) 
 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đ−ờng tròn tâm O. Các đ−ờng cao AD, BP, CK cắt nhau 
tại H. 
1. Chứng minh : gócHAB = góc OAC 
2. Gọi E, M t−ơng ứng là trung điểm của AH, BC. Chứng minh rằng KEPM nội 
tiếp. 
3. Qua A dựng đ−ờng thẳng Ax vuông góc với KP . Chứng minh rằng đ−ờng 
thẳng Ax luôn đi qua điểm cố định khi A, B, C của tam giác thay đổi trên 
đ−ờng tròn (O) 
Bài 5: (1 điểm) 
 Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình : 
2x6 – 2x3y + y2 = 64 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2003 
Môn thi : toán 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 50
 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 17 - 6 - 2003 
Bài 1 : ( 2,5 điểm) 
Cho biểu thức : 
1
1
1
1
1
2
−
−
++
+
+
−
+
=
xxx
x
xx
xA 
1. Tìm điều kiện của x để P có nghit, Khi đó hty rút gọn P. 
2. Tính A với 2833 −=x 
3. Chứng minh rằng : 
3
1
<A 
Bài 2 : ( 2 điểm) 
1. Phân t ích biểu thức x 2 + x – xy – 2y2 – 2y thành nhân tử. 
2. Giải hệ ph−ơng trình :




=+
=−−−+
1
022
22
22
yx
yyxyxx
Bài 3 : ( 1,5 điểm) 
Cho hàm số 
( )
43
52)1(62)( 2
22
−+
+−++
==
xx
xxx
xfy 
1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) 
2. Chứng minh rằng y ≤ 3. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ? 
Bài 4 : ( 3 điểm) 
 Cho đ−ờng tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB; điểm C 
bất kỳ nằm giữa A và B. Tia MC cắt đ−ờng tròn (O) tại D. 
1. Chứng minh MA 2 = MC.MD. 
2. Kẻ Bt tiếp xúc với đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆BCD. Chứng minh BM và Bt cùng 
thuộc một đ−ờng thẳng. 
3. Gọi O1 là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆BCD; O2 là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp 
∆ACD . Chứng minh rằng khi C chuyển động trên AB thì tổng bán kính của 
hai đ−ờng tròn (O1 ) và (O2) không đổi. 
Bài 5 : ( 1 điểm) 
Cho ph−ơng trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m. 
Biết rằng ph−ơng trình có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 . Chứng minh : 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 51
 
x1 . x 2 . x3 . x 4 =24 – m 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2004 
Môn thi : toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 13 - 6 - 2004 
Câu 1: (2, 0 điểm ) 
Cho biểu thức 
1212
1
11
2
−
+
−+
−
⋅







−
+
−
−
−+
=
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxxM 
a. Hty tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. 
b. Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị 
nhỏ nhất đó của M ? 
Câu 2: (2, 0 điểm ) 
a. Giải ph−ơng trình : (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24 
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 1 - 5x2 – y2 – 4xy + 2x 
Câu 3: (2, 0 điểm ) 
Giải hệ ph−ơng trình 




=+
−=+−
1
136
22
2
yx
yxxyx
Câu 4: (3, 0 điểm ) 
Cho đ−ờng tròn (O ) và day cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn 
BC của đ−ờng tròn (O ), (A khác B, C). Tia phân giác của góc ACB cắt đ−ờng tròn 
(O) tại điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI + DB. Đ−ờng thẳng BI 
cắt đ−ờng tròn (O) tại K khác điểm B. 
a. Chứng minh ∆KAC cân. 
b. Chứng minh đ−ờng thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định, từ đó hty xác 
định vị trí của A để độ dài AI là lớn nhất. 
c. Trên tia đối của tia AB lấy M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M khi 
A di động trên cung lớn BC của đ−ờng tròn (O). 
Câu 5: (1, 0 điểm ) 
Hty tìm cặp số (x; y) sao cho y nhỏ nhất thoả mtn: x2 + 5y 2 + 2y – 4xy – 3 = 0 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 52
 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2005 
Môn thi : toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 12 - 6 - 2005 
Câu 1: (2, 0 điểm ) 
1. Rút gọn biểu thức : 
2005200420042005
1
.......
3223
1
2112
1
+
++
+
+
+
=A 
2. Cho đẳng thức : 
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = (x + y –2z)2 + ( y+ z –2x)2 + (x + z- 2y)2 
Chứng minh rằng x = y = z 
Câu 2: (3, 0 điểm ) 
1. Giải ph−ơng trình : (x2 – 3x + 3)(x2 – 2x + 3) = 2x2 
2. Cho ph−ơng trình : x 2 – (m + 5)x – m + 6 = 0 (1) , với m là tham số. 
Tìm m để giữa hai nghiệm x1 ; x2 của ph−ơng trình (1) có hệ thức 
2x1 + 3x 2 = 13 
Câu 3: (1, 0 điểm ) 
 Cho ph−ơng trình : (m2 +1)x 2 + 2(m 2 + 1)x – m = 0 (1) , với m là tham số. Tìm 
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : A = x1
2 + x 2
2 với x1 ; x2 là nghiệm của ph−ơng 
trình (1) 
Câu 4: (3, 0 điểm ) 
 Cho ∆ABC nội tiếp đ−ờng tròn tâm (O), có các đ−ờng phân giác cắt nhau tại I . 
Các đ−ờng thẳng AI, BI, CI cắt đ−ờng tròn (O) t−ơng ứng tại các điểm M, N, P. 
1. Chứng minh ∆NIC cân tại N 
2. Chứng minh rằng điểm I là trực tâm của ∆MNP. 
3. Gọi E là giao điểm của MN và AC , F là giao điểm của PM và AB. Chứng 
minh rằng : ba điểm E, I, F thẳng hàng. 
4. Gọi K là trung điểm của BC và giả sử rằng BI vuông góc với IK, BI = 2. IK. 
Hty tính góc A của ∆ABC. 
Câu 5: (1, 0 điểm ) Giải ph−ơng trình : 5x3 + 6x 2+ 12x + 8 = 0 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 53
 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2006 
Môn thi : toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi : 11 - 6 - 2006 
Câu 1: (2, điểm )Cho biểu thức : 1
1
2
1
1
:
1
1 −






−−+
−
−








+
+=
xxxx
x
xx
xP 
a) tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P. 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức xPQ −= nhận giá trị nguyên 
Câu 2 : (2 điểm) 
a) Giải ph−ơng trình : x4 – 4x3 – 2x 2 + 4x + 1 = 0 
b) Giải hệ ph−ơng trình : 




=+−
=+−
0532
023
2
22
xyx
yxyx
Câu 3 : (2 điểm)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có ph−ơng trình 
2
2xy −= . Gọi (d) là đ−ờng thẳng đi qua điểm I(0; -2) và có hệ số góc k . 
a) Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d). Chứng minh rằng đ−ờng thẳng (d) luôn 
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi. 
b) Gọi H , K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. 
Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I. 
Câu 4 : (3 điểm)Cho đ−ờng tròn tâm O, bán kính R và AB là đ−ờng kính cố định 
của đ−ờng tròn (O). Đ−ờng thẳng d là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O) tại B. MN là 
đ−ờng kính thay đổi của đ−ờng tròn (O) sao cho MN không vuông góc với AB và 
M ≠A, M ≠ B. Các đ−ờng thẳng AM và AN cắt đ−ờng thẳng d t−ơng ứng tại C và D. 
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN 
thay đổi, chứng minh rằng : 
a) Tích AM.AC không đổi. 
b) Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đ−ờng tròn. 
c) Điểm H luôn thuộc một đ−ờng tròn cố định. 
d) Tâm J của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đ−ờng thẳng 
cố định. 
Câu 5 : (1 điểm)Cho hai số d−ơng x, y thoả mtn điều kiện x + y = 1. Hty tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức : 
xyyx
A 11 22 ++
= 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 54