Đề tài Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một số toán về phương trình , bất phương trình và hệ bất phương trình

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ 
TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đặt vấn đề:
Từ nhiều năm trở lại đây việc sử dụng khảo sát sự biến thiên của hàm số để giải và biện luận một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tạo nên sự phong phú về thể loại và phương pháp giải tốn, phù hợp với các kỳ thi tuyển sinh đại học. Để giúp học sinh biết sử dụng sự biến thiên của hàm số để giải và biện luận một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, tôi đã tổng kết lại một số dạng toán và phương pháp giải như sau. 
II) Một số lưu ý chung:
 Để học sinh cĩ kiến thức vững để giải các bài tốn dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
phương trình f(x) = m cĩ nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m
Xét bất phương trình f(x) m với f(x) liên tục trên [a; b] .
 Khi đĩ: m = minf(x) f(x) maxf(x) = M
*) f(x) m cĩ nghiệm thuộc [a; b] m maxf(x)
*) f(x) m vơ nghiệm thuộc [a; b] m > maxf(x)
*) f(x) m cĩ nghiệm [a; b] m minf(x)
Các ví dụ : 
Phương trình: 
Ví dụ 1:
 Xác định m để phương trình sau cĩ nghiệm :
 	m((1)
Điều kiện: 
Đặt t = - 2 = 2 – t2 
Ta cĩ: t = - 0 dấu bằng đạt được khi x = 0
	 t2 = 2 – 2 2 dấu bằng đạt được khi x = 1 
 suy ra điều kiện của t là: 0 t 
Phương trình (1) được chuyển về dạng m(t + 2) = 2 - t2 + t = m (2)
Khi đĩ phương trình (1) cĩ nghiệm (2) cĩ nghiệm thoả : 0 t 
	 đường thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = trên [0;]
Xét hàm số f(t) = trên [0;] 
Ta cĩ f’(t) = , t[0;] hàm số nghịch biến trên [0;]
Vậy phương trình (1) cĩ nghiệm f(m 1
Ví dụ 2:
 Tìm m để phương trình: 3 (1) có nghiệm
Điều kiện: x 1
(1) 3 
Đặt: t = = điều kiện: 0 t 1. Khi đó phương trình trở thành:
-3t2 + 2t với t [0; 1]
Ta có f ’(t) = - 6t +2
f ’(t)
f(t)
0
0
0
-1
+
_
t
1
	f ’(t) = 0 - 6t +2 = 0 t = 
Ví dụ 3:
 Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
	x2 + 2x – 8 = (1) 
Điều kiện x 2 
(1) (x – 2)( x3 + 6x2 – 32 – m) = 0
Ta chỉ cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 – 32 = m (*) có nghiêm trong (2; +)
Xét hàm số: f(x) = x3 + 6x2 – 32 với x > 2 
f ’(x) = 3x2 + 12x > 0 , x > 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có: m > 0 phương trình (*) có nghiệm trong khoảng (2; +)
Vậy m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: 
 Tìm m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 3] 
	 - 2m – 1 = 0 (1)
	Điều kiện : x > 0 
Đặt: t = với x [1; 3] 0 1 +1 4 1 t 2
 Phương trình trở thành: t2 + t = 2m + 2 (2) 
Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 3]
 Phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 2]
	đường thẳng y = 2m + 2 cắt phần đồ thị y = t2 + t với t [1; 2] tại ít nhất một điểm
	f(t) = t2 + t 
f ’(t) = 2t + 1 > 0 , t [1; 2]
Vậy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc [1; 3]2 2m + 2 5 0 m 1,5
Ví dụ 5:
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
	(m + 1) tg4x – 3m(1 + tg2x)tg2x + = 0 (1)
Điều kiện: x 
(1) m( 2tg4x + 5tg2x + 4 ) = - tg4x
Xét: f(t) = với t 0
 f ’(t) = 0 , t 0
Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm -0,5 < m 0 
Ví dụ 6: 
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + 1 = 0 (1) 
	(1) 
 (vì t = 2 không phải là nghiệm của pt)
Xét hàm số f(t) = ta có:
 	f ’(t) = 
 f ’(t) = 0 = 0 
Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm khi m < - 0,5 hoặc m 
Ví dụ 7: 
 Tìm a để phương trình: + a (1) có nghiệm duy nhất
	(1) a = 
Xét hàm số : f(x) = xác định trên (0,5; +)
Ta có f’(x) = > 0 x 0,5 f đồng biến trên (0,5; +)
 Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) tại một điểm duy nhất a. Vậya phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất
Ví dụ 8: 
 Giải phương trình: x + = 3x-1+1 (1)
	(1) x – 1 + = 3x – 1
 (*)
Xét f(a) = ln() – aln3
	f ’(a) = - ln3 < 0 , a
Vậy f(a) nghịch biến trên R và f(0) = 0 nên (*) nghiệm duy nhất a = 0 .Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1
Ví dụ 9
 Giải phương trình : + = 1 (1)
	Điều kiện: x 0,5
	Xét: f(x) = + với x 0,5 
	f ’(x) = + > 0 , x 0,5
 f đồng biến trên (0,5; +)
Do f liên tục và đồng biến trên (0,5; +) , f(0,5) = 1 nên (1) f(x) = f(0,5)
	 x = 0,5
Ví dụ 10:
 Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2 (*)
	Xét: f(x) = 3x + 5x – 6x – 2 
	f ’(x) = 3xln3 + 5xln5 – 6 
f ”(x) = 3xln23 + 5xln25 > 0,x f’(x) đồng biến, liên tục và đổi dấu (f’(0) 0 Nên phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a 
Dựa vào bảng biến thiên f(x) cắt trục hoành tới 2 lần phương trình (*) có tối đa hai nghiệm. Ta thấy x = 0, x = 1 là 2 nghiệm của (*). Ngoài ra (*) không thể có nghiệm nào khác( do nó chỉ có tối đa 2 nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 , x = 1
III) Các bài tập:
Định m để phương trình có nghiệm thuộc tập hợp cho trước
x3 – 3x = m với 2 x 3
x2- 6lnx – m = 0 với 1 < x < e
4sin6x + cos4x – a = 0
Biện luận số nghiệm phương trình:
3x4 – 10x3 + 6x2 = m
2 + = m
X3 + mx + m = 0
Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm: + - = m
 Tìm điều kiện m để phương trình sau có đúng một nghiệm ( đề dự bị ĐH 2007)
a) + x – 1 = 0
b) - = m
5) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + 3 tg2x + m(tgx + cotgx) = 1
6) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m 
8) biện luận theo k số nghiệm x của phương trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x 
9) Tìm tất cả giá trị m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn 
	2cosx .cos2x.cos3x m = 7 cos2x
10) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
a) x +3 = m
 b) x + m = m 
	c) + 4m + (m + 3) = 0 
11) xác định m để phương trình sau có nghiệm:
a) = 2m
b) = 6
 12) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
 a) = m
 b) = m
13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 a) tan2x + cot2x +m(tanx + cotx) + 3 = 0 
 b) 
 c) 2x + = m
 14) Tìm m để phương trình : sinx + 2 cos = m( cosx + 2sin) có nghiệm trong đoạn {0 ; }
B) 	Bất phương trình:
1) Ví dụ 1: 
Tìm m để bất phương trình m( + 1) + x(2- x) 0 có nghiêm thuộc [0; 1+]
	Đặt t = với x [0; 1+]
	t’x = , 
 t’x = 0 x = 1 
 Với x [0; 1+] thì t [1; 2]
Bất phương trình trở thành: m(t + 1) t2 – 2 
	 m 
	 m Maxf(t) với f(t) = 
Ta có f ’(t) = > 0 , t[1; 2]
Vậy bất phương trình có nghiệm x [0; 1+] m = f(2) 
	m 
Ví dụ 2: 
 Vớùi giá trị nào của m thì bất phương trình sin3x + cos3x m , x (1)
Đặt t = sinx + cosx = , điều kiện : 
Bất phương trình trở thành: t(1 – ) m, t [-;]
	3t – t3 2m, t [-;]
Xét: f(t) = 3t – t3 
	f ’(t) = 3 – 3t2 
	f ’(t) = 0 3 – 3t2 = 0 t = 1 v t = -1
Dựa vào bảng biến thiên ta có : Bất phương trình (1) có nghiệm x 2m -2 
	 m - 1
Ví dụ 3: 
 Tìm m để bất phương trình mx4 – 4x + m 0 , x (1)
	(1) m(x4+ 1) 4x , x 
 m , x 
Xét : f(x) = 
 Ta có : f ’(x) = 
 f ’(x) = 0 = 0 x = v x = - 
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm x m Maxf(x) 
 m 
Ví dụ 4:
 Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – 1 + m < 0 (1)
Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]
Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2]
Ta có: (1) -x3 + 2x2 – x + 1 > m
Xét: f(x) = -x3 + 2x2 – x + 1 , x [0; 2]
	f’(x) = -3x2 + 4x – 1 
	f’(x) = 0 x = 1 v x = 
 (1) có nghiệm thuộc [0; 2] Maxf(x) > m m < 1
(1) có nghiệm x [0; 2] Minf(x) > m m < -1
Ví dụ 5: 
 Tìm điều kiện p, q để bất phương trình sau có nghiệm thoả x [0; 1]	
	px + 1 qx + 1 (1)
 x = 0 (1) thoả
 x (0; 1] ta có (1) p q
Đặt f(x) = 
	f ’(x) = 
	f ’(x) = 0 x = y = 2	
Dựa vào bảng biến thiên ta có: p minf(x) và q maxf(x)
	 p 2 và q 2
Ví dụ 6: 
 Cho bất phương trình: (1) với a > b > c 
chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm
Giải bất phương trình: (2)
(1) > 0
Đặt: f(x) = với x a 
 	f’(x) = > 0 , x > a ( vì < < )
 f đồng biến khi x > a. Hơn nữa f(a) = < 0 và do đó (1) luôn có nghiệm 
Tập nghiệm là: (xo, +) với f(xo) = 0
 Với a = 4, b = 1, c = -4 . 
Aùp dụng chứng minh trên (2) có nghiệm là: (xo, +) vơùi f(xo) = 0
Ta có f(5) = = 0 VaÄy bất phương trình (2) có nghiệm là ( 5; +)
Ví dụ 7: 
 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với x > 0
	(3m +1)12x + (2 – m)6x + 3x < 0 (1) 
 (1) (3m +1)4x + (2 – m)2x + 1 < 0
Xét: f(t) = ,vơùi t > 1
f ’(t) = > 0 , t > 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x > 0
 bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1
 m -2
Ví dụ 8:
 Giải bất phương trình : < 181 – 4x 
	Điều kiện: x 
Đặt: f(x) = + 4x
 f ’(x) = + 4 > 0 , x 
 Vậy f(x) đồng biến trên (; +) và f(6) = 181
Khi x < 6 thì f(x) < f(6) f(x) < 181
	Vậy nghiệm bất phương trình là S = [; 6)
Ví dụ 9: 
 Giải bất phương trình: > 
	Điều kiện: - 2 x 4
Xét hàm số f(x) = - 
	f ’(x) = > 0 , x (-2; 4)
Suy ra f đồng biến trong khoảng (-2; 4)
Do đó nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = 
	 - > 
	 > + . 
	Vậy khoảng nghiệâm của bất phương trình là : (1; 4)
2) BaØi tập: 
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x – 2(m + 3) < 0
2) Xác định m sao cho x đều là nghiệm bất phương trình:
 	22+cos2x + m 
3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm
	 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = điều kiện thì = 
có dạng: t + 
Xét f(t) = với ) 
C. Hệ phương trình
1) Hệ phương trình dạng: 
Hướng dẫn học sinh có thể tìm lời giải theo hai hướng sau:
Hướng 1: (1) f(x) – f(y) = 0 (3)
Tìm cách đưa (3) về một phương trình tích
Ví dụ 1:
 Giải hệ : 
Ta có: (1) x – y – () = 0 (x – y) = 0 
 Thay vào (2) và giải 
Hươùng 2: Xét hàm số f(t) . Ta thường gặp hàm số liên tục trong tập xác định của nó. 
+) Nếu hàm số f(t) đơn điệu thì (1) suy ra x = y. Khi đó bài toán đưa về giải và biện luận
phương trình theo x
+) Nếu hàm số f(t) có một cực trị t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra x = y hoặc x, y nằm về hai phía của a
Ví dụ 2: 
	Giải hệ: với x, y R 
	Đặt: a = x – 1 , b = y – 1 ta có hệ mới 
Xét hàm số f(t) = , t R
	f ’(t) = + 3tln3 
 = + 3tln3 > 0 , t (vì > 0 , t)
do đó hàm số đồng biến trên R
từ (2) ta có f(a) = f(b) nên a = b. Thay vào (1) ta được: 
	 = 3a 
 ln() = aln3
Xét : g(a) = ln() – aln3 (*)
	g’(a) = - ln3 < 0 , a 
Vậy hàm số g(a) nghịch bến trên R. Nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất a = 0 
	Do đó hệ có nghiệm duy nhât x = y = 1
Ví dụ 3: 
 Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0	
	 (*) ( đề dự bị 2007)
Điều kiện: 
	(*)
Xét hàm số: f(t) = , t > 1
	f ’(t) = > 0 , t > 1
Vậy f(t) đồng biến trên (1; +)
Từ (2) ta có f(x) = f(y) x = y . Thay vào (1) ta có: 
Xét hàm số : g(x) = = 0 (*)
	g’(x) = ex - 
	g”(x) = ex + > 0 , x > 1 
 g’(x) đồng biến và liên tục trên (1; +) và đổi dấu.
Vì và g’(2) = e2 – > 0 
Nên g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hoành tối đa 2 lần 
phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm
hệ phương trình có đúng 2 nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0	
Ví dụ4: 
 Giải hệ : 
Xét: f(t) = et + et + t 
	 	f ’(t) = et + e + 1 > 0 , t 
	Vậy f(t) đồng biến trên R
	Từ (2) ta có: f(x) = f(y) x = y 
Thay vào (1) ta được: ex = ex – x +1 (*)
Xét hàm số g(x) = ex - ex + x – 1
	g’(x) = ex – e + 1
	g”(x) = ex > 0 , x
Do đó f’(x) đồng biến và liên tục trên R và đổi dấu
Vì g’(0) = 2 – e 0 nên phương trình g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 
Dựa vào bảng biến thiên g(x) cắt trục hoành tối đa hai lần 
phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm
	Ta thấy x = 0 hoặc x = 1 là hai nghiệm của phương trình (*) ngoài ra (*) không thể có nghiệm nào khác( vì nó chỉ có tối đa 2 nghiệm)
Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) và ( 1; 1)	
Ví dụ 5: 
Giải hệ phương trình: (*) ( Đề dự bị khối D 2006)
Điều kiện: x > -1, y > -1
(*) 
Xét hàm số f(t) = ln(1+t) – t 
	f ’(t) = 
ta thấy f’(t) = 0 t = 0
Ta có (2) f(x) = f(y) x = y nếu x,y thuộc cùng một khoảng đơn vị
hoặc xy < 0 nếu x,y không cùng thuộc một khoảng đơn vị
Nếu xy < 0 thì vế trái của (1) luôn dương, phương trình không thoả mãn
Nếu x = y thay vào (1) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0
Ví dụ 6: 
 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
	 (I) 
	Điều kiện: -1 x , y 3
(I) 
Xét hàm số f(t) = 
	f’(t) = > 0 , t (-1; 3)
 	Vậy f đồng biến trên (-1; 3). Do đó f(x) = f(y) x = y
Thay vào (1) ta có: = m (*)
Xét hàm số : g(x) = 
g ’(x) = 
	g ’(x) = 0 x = 1
 Dựa vào bảng biến thiên phương trình (*) có nghiệm 2 m 2
Do đó hệâ có nghiệm khi 2 m 2
Ví dụ 7:
 Chứng minh rằng m hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
 (I)
Nếu y 0 thì vế trái của (1 ) phương trình không thoả suy ra y > 0. Tương tự x > 0
 (I) 
 (I) 
Xét: f(x) = 3x3 – 2x2 có f ’(x) = 9x2 – 4x : 
 f’(x) = 0 x = 0 hoặc x = 
Dựa vào bảng biến thiên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x > 0 m > 0. Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi m > 0
Ví dụ 8:
 Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
	Xét f(t) = t – cost 
	f ’(t) = 1+sint 0 , t
	 f(t) đồng biến trên R. 
 Nên (1) f(x) = f(y) x = y 
Thay vào (2) ta có 2sinx – 3cosx = m sin( x - ) = m (*) 
vậy hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm - m 
 Bài tập luyện tập:
Giải hệ phương trình: 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: 
Giải hệ : 
 Giải hệ 
2) Hệ phương trình có ẩn không thay đổi khi hoán vị vòng quanh
 Khi giải hệ này cần chú ý:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max (x, y, z) x y, x z
Ví dụ1:
 Giải hệ phương trình: 
Xét hàm số f(t) = t3 - 3t2 + 5t + 1 
	f ’(t) = 3t2 – 6t + 5 > 0 , t. Do đó f(t) đồng biến 
	Hệ phương trình có dạng 
Vì hệ không đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z nên ta có thể giả thiết x y, x z
	Nếu x > y f(x) > f(y) 4y > 4z y > z f(y) > f(z) z > x mâu thuẫn
	Nếu x > z f(x) > f(z) y > x mâu thuẫn 
	Vậy x = y = z
Từ một phương trính trong hệ ta có: x3 – 3x2 + x + 1 = 0 
	(x – 1)( x2 – 2x – 1) = 0 
Do đó nghiệm của hệ là: 
Nhận xét : Xét hệ có dạng: 
Nếu hàm số f(t), g(t) cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) thì lý luận như trên ta có x = y =z
Ví dụ 2: 
Giải hệ : (I)
 	(I) 
Từ phương trình (1) ta có y3 = 6(x2 – 2x +) = 6(x – 1)2 + 2 y 
Tương tự ta có: x , z 
Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8
	f ’(t) = 12x – 12 > 0 , t 
Vậy f(t) đồng biến trên [; +)
Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z do đó có thể giả thiết x y, x z
 Nếu x > y f(x) > f(y) y3 > z3 y > z f(y) > f(z) z3 > x3 z > x mâu thuẫn
	Nếu x > z f(x) > f(z) y3 > x3 y > x mâu thuẫn 
Suy ra x = y = z 
Từ một phương trình trong hệ ta có: x3 – 6x2 + 12 x - 8 = 0 
	 (x – 2)3 = 0 x = 2 
 	Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 2
Bài tập luyện tập:
Giải hệ : 
Giảøi hệ: 
Giải hệ: 
Chứng minh a hệ sau có nghiệm duy nhất :
Tìm a để hệ: chỉ có nghiệm dạng x = y =z
Chứng minh rằng a > 0 hệ phương trình: 
 có nghiệm duy nhất .
Tìm m đệ hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
Giải hệ: 
Giải hệ: 
 Giải hệ: 
 Hướng dẫn: 
Nếu một trong ba số x, y, z bằng 1
Giả sử x = 1 thì y – 1 = ylny
Xét f(y) = y – 1 – ylny
f ’(y) = - lny; f ’(y) = 0 y = 1 và f(1) = 0
0 0 suy ra f(y) > 0
y > 1 thì f’(y) < 0 suy ra f(y) < 0
 vậy y = 1 là nghiệm duy nhất
	 Nếu x 1 theo trên y, z 1 hệ đã cho hệ vô nghiệm