Tích phân 12 - THPT Tân Bình

THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 1 
 TÍCH PHÂN 
§1. NGUYÊN HÀM. 
1) VI PHÂN: 
 Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm tại điểm 0x . Khi đó, ta có ( 0x ) = 
0
0
0
0
( ) ( )lim lim
x x x
f x f x y
x x x  
 

 
. Nếu 
x khá nhỏ thì tỷ số y
x


 rất gần với ( 0x ) nên có thể coi rằng ( 0x ) 
y
x


 0( )y f x x   . Do vậy, 
ta có khái niệm: 
 Vi phân hàm số tại một điểm: Tích 0'( )f x x được gọi là vi phân của hàm số (x) tại điểm 0x và ký 
hiệu 0( )df x , tức là 0 0( ) ( )df x f x x  . 
 Vi phân của hàm số: Tích '( )f x x được gọi là vi phân của hàm số (x) và ký hiệu ( )df x , tức là 
( ) ( )df x f x x  . Đặc biệt y = x, ta có dx = (x)x = x, do đó ( ) ( )df x f x dx hay dy y dx . 
 1Vd Vi phân của hàm số 
3( ) 5 1f x x x   là 3 3 2( ) ( 5 1) ( 5 1) ' (3 5)df x d x x x x dx x dx        . 
 2Vd Vi phân của hàm số 
3siny x là  3 2sin 3sin cosdy d x x xdx  . 
2) NGUYÊN HÀM: 
 Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của ƒ(x) trên K nếu 
F(x) = ƒ(x), xK. 
 Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì: 
 Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K. 
 Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C. 
 Họ các nguyên hàm của ƒ(x) trên K, ký hiệu: ( ) ( )f x dx F x C  . 
 Theo định nghĩa, ta có: 
    ( ) ( ) ( )F x C f x dx f x  
// ; ( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x dx dF x F x C      . 
 1Vd 2
1 1dx C
x x
   vì 2
1 1C
x x
    
 
/
. 
 2Vd 2
dx x C
x
  vì   12 x C x 
/
 3Vd  2 2
11 tan (tan ) (tan ) tan
cos
x dx dx x dx d x x C
x
        / 
 Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 
 Bảng nguyên hàm cơ bản: 
0dx C dx x C  
1
( 1)
1
xx dx C

 


   
 
ln | |dx x C
x
  
x xe dx e C  (0 1)ln
x
x aa dx C a
a
    
cos sinxdx x C  sin cosxdx x C   
2 tancos
dx x C
x
  2 cotsin
dx x C
x
   
 Tính chất: Cho ƒ(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì: 
 [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     ; ( ) ( )kf x dx k f x dx  . 
 1Vd 5 4 5 3 4
1 1 1 1 1
3 4
x dx dx dx C
x x x x x

        
3
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 2 
 2Vd 3( )x x dx = 
11
3 32xdx xdx x dx x dx      = 
43
322 3
3 4
x x C  
 3Vd 
24sin xdx = 
1 cos 24 2 (1 cos 2 ) 2 2 cos 2
2
x dx x dx dx xdx        = 2 sinx x C  
3) PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM: 
a) Đổi biến số: 
 Định lý: Cho ( )u u x , ( ) ( )f u du F u C  thì    ( ) ( ) ( )f u x u x dx F u x C   
 Hệ quả: Nếu ( 0) u ax b a   , ( ) ( )f u du F u C  thì 
1( ) ( )f ax b dx F ax b C
a
    
 Bảng nguyên hàm nâng cao: 
du u C  
1 ( )dx d ax b
a
  
1
( 1)
1
uu du C

 


   
 
11 ( )( ) . ( 1)
1
ax bax b dx C
a

 


    
 
lndu u C
u
  
1 lndx ax b C
ax b a
  
 
u ue du e C  
1ax b ax be dx e C
a
   
(0 1)
ln
u
u kk du C k
k
    
1 . (0 1)
ln
ax b
ax b kk dx C k
a k

     
cos sinudu u C  
1cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
    
sin cosudu u C   
1sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
     
2 tancos
du u C
u
  2
1 tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
  
 
2 cotsin
du u C
u
   2
1 cot( )
sin ( )
dx ax b C
ax b a
   
 
 1Vd 
2 1 2cos 2 sin 2
3 2 3
x dx x C          
   
 2Vd 
2 3 2 31
2
x xe dx e C      
 3Vd 
10
9 (1 )(1 )
10
xx dx C    
 4Vd 
3cos sinx xdx . 
Đặt t = cosx  dt = –sinxdx  
4 4
3 3 coscos sin
4 4
t xx xdx t dt C C         
 5Vd 
2
31
x dx
x
. 
Đặt 
2 2
3
3 3
3 21
32 1 1
 hay x dx x dxt x dt dt
x x
    
 
  
2
3
3
2 2 2 1
3 3 31
x dx dt t C x C
x
     

  . 
b) Nguyên hàm từng phần: 
 Định lý: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x v x u x dx    hay udv uv vdu   
 Chú ý: 
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 3 
 Dạng 1: ( ) ax bP x e dx , ta đặt 
( )
ax b
u P x
dv e dx



 Dạng 2: ( ) sin( )P x ax b dx , ta đặt 
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx


 
 Dạng 3: ( ) cos( )P x ax b dx , ta đặt 
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx


 
 Dạng 4: ( ) ln ( )nP x Q x dx , ta đặt 
ln ( )
( )
nu Q x
dv P x dx
 


 1Vd ln(1 )x x dx . 
Đặt 
2
1
ln(1 ) 1
2
du dxu x x
dv xdx xv
    
 
  

 nên 
2 21ln(1 ) ln(1 )
2 2 1
x xx x dx x dx
x
   
  = 
2 2ln(1 ) 1 1 1
2 2 1 1
x x x dx
x x
  
     
 
2 2( 1) ln(1 ) ( 1)
2 4
x x x C    
 2Vd sin(2 1)x x dx . Đặt 1sin(2 1) cos(2 1)
2
du dxu x
dv x dx v x
 
 
     
 nên 
1 1 1 1sin(2 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) sin(2 1)
2 2 2 4
x x dx x x x dx x x x C             
 3Vd 
2( 2 1) xx x e dx  = 2( 2 1) ( )xx x d e  = 2( 2 1) 2 ( 1)x xe x x e x dx    = 
2( 2 1) 2 ( 1) ( )x xe x x x d e    = 2( 2 1) 2 ( 1) 2x x xe x x e x e dx      = 2( 1)xe x C  
BÀI TẬP. 
1) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ƒ(x) = 2 3x – 5x + 7; b) ƒ(x) = 2
1
x
– 2x – 1
3
; c) ƒ(x) = 
1
3x

; 
d) ƒ(x) = 3 2x + 
2
x e) ƒ(x) = sin 5 cos3x x ; f) ƒ(x) = 2tan x ; 
g) ƒ(x) = 3 2xe  ; h) ƒ(x) = 1
(1 )(1 2 )x x 
; i) ƒ(x) = 
3
1x x
x
  
j) ƒ(x) = 2 1
x
xe
 ; k) ƒ(x) = 2 2
1
sin cosx x
; l) ƒ(x) = 210 x 
 Hướng dẫn: 
a) 
4 25 7
2 2
x x x C   b) 
31
3 3
x x C
x
    c) 
2
33
2
x C d) 
2
3
4
xx C  
e) 1 (sin8 sin 2 )
2
x x dx = 
1 1cos8 cos 2
16 4
x x C   
f) 2 2
1tan 1 tan
cos
xdx dx x x C
x
      
  
g) 3 2 3 21
2
x xe dx e C    
h) 1 1 1 1 2
(1 )(1 2 ) 3 1 3 1 2
dx dx dx
x x x x
 
      = 
1 1 1 1ln 1 ln 1 2 ln
3 3 3 1 2
xx x C C
x

     

THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 4 
i) 
2 1 1
3 6 3x dx x dx x dx

    = 
5 7 2
3 6 33 6 3
5 7 2
x x x C   
j) 2 1
x x
dx dx
e e
      
    
 = 
2 1
2 1ln ln
x x
e e C
e e
   
   
    
   
   
   
= 2 1
(ln 2 1)
x
x x Ce e
 

 = 2 ln 2 1
(ln 2 1)
x
x Ce
 


k) 2 2
1 1
sin cos
dx dx
x x
  = cot tanx x C   với 
22(1 tan ) 2tan cot 2cot 2
2 tan tan 2
xx x x
x x
  
     
l) 
210
2 ln10
x
C 
2) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 3( )x x dx b) 2
x x x dx
x

 c) 24sin xdx d) 
1 cos 4
2
xdx 
 Hướng dẫn: 
a) 
43
322 3
3 4
x x C  b) 22 x C
x
  c) 2 sinx x C  d) sin 4
2 8
x x C  
3) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 
a) 9(1 )x dx b) 
3
2 2(1 )x x dx c) 3cos sinx xdx d) 2x x
dx
e e  
 Hướng dẫn: 
a) 101(1 )
10
x C   ; b) 
5
2 21 (1 )
5
x C  ; c) 41 cos
4
x C  ; 
d) 22 2
( 1) 1( 1) ( 1)
2 2 1 ( 1) 1
x x
x x
x x x x x x
dx e d edx e d e C
e e e e e e


 
      
         
4) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ƒ(x) = 
2
3
9
1
x
x
 b) ƒ(x) = 1
5 4x 
 c) ƒ(x) = 24 1x x d) ƒ(x) =
 2
1
1x x
 Hướng dẫn: 
a)    
1
3 323 1 1x d x

   =      
1 1
3 3 32 26 1 1 6 1x d x x C

       = 36 1 x C   
b)  
1
2
1 5 4 (5 4)
5
x d x  =  
1
2
2 5 4
5
x C  = 2 5 4
5
x C  
c)    
1
2 241 1 1
2
x d x   =  
5
2 42 1
5
x C   =  5242 1
5
x C   
d)    22 1 1x d x  =  
1
2 1 x C

   = 
2
1
C
x



5) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ƒ(x) = 23 7 3x x b)ƒ(x) = cos(3x + 4) c)ƒ(x) = 2
1
cos (3 2)x 
 d)ƒ(x) = 5sin cos
3 3
x x 
 Hướng dẫn: 
a) 23 7 3x x dx =  2 2
1 7 3 7 3
2
x d x   = 
 
3
2 27 3
3
x
C

  =  2231 7 3
3
x C   
b) cos(3 4)x dx = 
1 cos(3 4) (3 4)
3
x d x  = 
sin(3 4)
3
x C  
c) 2
1
cos (3 2)
dx
x  = 2
1 1 (3 2)
3 cos (3 2)
d x
x

 = 
tan(3 2)
3
x C  
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 5 
d) 5sin cos
3 3
x xdx = 53 sin sin3 3
x xd   
 
= 61 sin
2 3
x C 
6) Sử dụng phương pháp từng phần, hãy tính: 
a) ln(1 )x x dx b) 2( 2 1) xx x e dx  c) sin(2 1)x x dx d) (1 )cosx xdx 
 Hướng dẫn: 
a) 2 21 1( 1) ln(1 ) ( 1)
2 4
x x x C     ; b) 2( 1)xe x C  ; 
c) 1 1cos(2 1) sin(2 1)
2 4
x x x C     ; 
d) (1 ) (sin )x d x = (1 ) sin sinx x xdx   = (1 )sin cosx x x C   
7) Dùng phương pháp từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ƒ(x) = 3 xx e b)ƒ(x) = 3 9xe  c)ƒ(x) = 2 cos 2x x d)ƒ(x) = lnx x . 
 Hướng dẫn: 
a) 3 xx e dx =  3 xx d e = 3 23x xx e x e dx  =  3 23x xx e x d e  = 3 23 6x x xx e x e xe dx   = 
 3 23 6x x xx e x e xd e   = 3 23 6 6x x x xx e x e xe e dx    =  3 23 6 6xe x x x C    
b) 3 9xe dx =    3 92 3 9 3 93
xx e d x  =    3 92 3 93
xx d e  = 
   3 9 3 92 23 9 3 93 3
x xx e e d x    =   3 9 3 92 23 93 3
x xx e e C    =  3 92 3 9 13
xe x C    
c) 2 cos 2x xdx =  2
1 sin 2
2
x d x = 2
1 sin 2 sin 2
2
x x x xdx  =  2
1 1sin 2 cos 2
2 2
x x xd x  = 
21 1 1sin 2 cos 2 cos 2 (2 )
2 2 4
x x x x xd x   = 2
1 1 1sin 2 cos 2 sin 2
2 2 4
x x x x x C   
d) lnx xdx =  2 lnx xd x = 32 ln 2 (ln 1)x x x x dx  = 32 ln 2 ln 2x x x xdx xdx    
3 lnx xdx = 32 ln 2x x xdx   lnx xdx = 
3 32 ln 4
3 9
x x x C  
8) Tìm nguyên hàm: 
a) 1 1 1 1 11 1 ( 1) 1 ( 1) 1
2 2 3 31 1
dx x dx x dx x x x x C
x x
 
              
   
b) 1 1 2ln
( 3)( 2) 5 2 3 5 3
dx dx dx x C
x x x x x
            
c) 2
3 3 3 3 12 9 12 ln 4 9 ln 1
5 4 ( 1)( 4) 4 1
xdx x dx dxdx x x C
x x x x x x
 
       
         
d) 2 2 2
( 2) 1 1 1[ ]
( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
dx x x dx dx
x x x x x x x
 
  
      = 
1 1ln
4 2 2( 2)
x C
x x
 
 
e) 2 32 ( 1)x x dx = 2 3 2( 1) ( 1)x d x  = 
2 4( 1)
4
x C  
f) 
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1( ) ( ) ln
( 1) ( 1) 2 1 2 1
dx xdx xd x C
x x x x x x x
    
      
g) 
21 xxe dx = 
21 21 (1 )
2
xe d x  = 
21
2
xe  + C 
h) sin
2
xx dx = 2 cos 2
xxd    
 
= 2 .cos 2 cos
2 2
x xx dx   = 2 cos 4sin2 2
x xx C   
i) 3 ln(2 )x x dx =  4
1 ln(2 )
4
x d x 
4
3ln(2 ) 1
4 4
x x x dx  = 
4 4ln(2 )
4 16
x x x C  
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 6 
§2. TÍCH PHÂN. 
1) KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: 
a) Định nghĩa: Cho hà ... 
1
3 2 ln .
1 2 ln
e xI dx
x x



 Hướng dẫn: Đặt 
2 11 2 ln ln
2
t dxt x x tdt
x

      . Đổi cận: 
2
1 1
x e t
x t
 

 
. 
Do đó I = 
22 2 3
1 1
(4 ) 10 2 114
3 3
t tdt tt
t
  
   
 
 
53) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối A). Tính I = 
/ 2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x dx
x x


 . 
 Hướng dẫn: I = 
/2
2
0
2sin cos
1 3sin
x x dx
x


 . Đặt t = 2sin x  dt = 2sinxcosxdx. Đổi cận: 
/ 2 1
0 0
x t
x t
 

 
. 
Do đó I = 
11 1
00 0
1 (1 3 ) 2 21 3
3 3 31 3 1 3
dt d t x
t t

   
  
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 36 
54) (Đề dự trữ năm 2006 – Khối A – Đề 1). Tính 
6
2 2 1 4 1
dxI
x x

  
 Hướng dẫn: Đặt 
2 14 1
4 2
t tdtt x x dx      . Đổi cận: 
6 5
2 3
x t
x t
 

 
. 
Do đó I = 
55 5
2 2
3 3 3
1 1 1 3 1ln 1 ln
2 1 1 ( 1) 1 2 12
tdt dt t
t t t t t
                  
  
55) (Đề dự trữ năm 2006 – Khối A – Đề 2). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 
  2: 3P y x x   và đường thẳng : 2 1.d y x  
 Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai đường 2 2
1
3 2 1 3 2 0
2
x
x x x x x
x

          
Diện tích 
32 2 3 2
2 2
( )
1 1 2
3 13 2 ( 3 2) 2
3 2 6H
x xS x x dx x x dx x
 
            
 
  (đvdt). 
 Vì 2 3 2 0 (1;2)x x x     nên  2 23 2 3 2x x x x      
56) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối D). Tính I = 3 2
1
ln
e
x xdx . 
 Hướng dẫn: Gọi J = 3
1
ln
e
x xdx . Đặt 3 4
1
ln
4
du dxu x x
dv x dx xv
  
 
  

J = 
4 4 4
3
11 1 1
ln ln
4 4 4
e e eex x xx x dx x   = 
4 4 41 3 1
4 16 16 16
e e e 
   
I = 3 2
1
ln
e
x xdx . Đặt 
2
43
2ln
ln
4
xdu dxu x x
xdv x dx v
    
  

Do đó I = 
4
2 3
11
1ln ln
4 2
e ex x x xdx  = 
4 4 4 4 41 3 1 8 3 1 5 1.
4 2 16 32 32
e e e e e   
   
57) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối D). Tính 
1
2
0
( 1)
4
x xI dx
x


 
 Hướng dẫn: 
11 1 1 12
2
2 2
0 0 0 0 0
1 2 2 3ln 3 ln 44 ln 4 ln
4 4 ( 2)( 2) 2 2 2
x x xdx dx xI dx dx x x
x x x x x
     
              
    
58) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối B). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. 
Tính thể tích khối tròn xoay hình thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. 
 Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là xlnx = 0  x = 1. 
Ta có: V = 2( )
b
a
f x dx  . Do đó V = 2 2
1
ln
e
x xdx  . 
Với 
3
2 3 3 2 3
1 11 1 1
1 1 1 1ln ln ( ) ln
3 3 3 3 9
e ee e e ex xdx xd x x x x dx e       = 
3 3 3 3
3
1
1 1 2 1
3 9 3 9 9 9
ee e e ee      
Nên V = 2 2
1
ln
e
x xdx  . Đặt 
2
32
2 ln
ln
3
xdu dxu x x
xdv x dx v
   
 
  

THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 37 
V = 2 2
1
ln
e
x xdx  = 
3 3 3 3
2 2
11
2 2 2 1 5 2ln ln . .
3 3 3 3 9 27
e ex e e ex x xdx  
    
      
    
 (đvtt) 
59) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối B). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2; 2y x y x   
 Hướng dẫn: 
Hoành độ giao điểm của hai đường 2 2 4 2
1
2 2 0
1
x
x x x x
x
 
        
. 
1 1 1 1
2 2 2 2 2
( )
1 1 1 1
22 2 2
3H
S x x dx x dx x dx x dx
   
            
Đặt 2 sin 2 cosx t dx tdt   . Đổi cận: 
1 / 4
1 / 4
x t
x t


 

   
. Do đó I = 
 
/4/4 /4
2
( )
/4 /4 / 4
2 2 1 2 12 cos 1 cos 2 sin 2
3 3 2 3 2 3H
S tdt t dt t t
 
  

  
             
60) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối A). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = (e + 1)x, y = (1 + xe )x. 
 Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (e + 1)x = (1 + xe )x  
x(e – xe ) = 0  x = 0, x = 1. Ta có: (e + 1)x  (1 + xe )x x [0; 1]. 
Diện tích hình phẳng S = 
1 1 1 1
0 0 0 0
( 1) (1 ) ( ) .x x xe x e x dx x e e dx e xdx x e dx          = 
1 11 12 2 1
0
0 00 0
1( ) . 1 1
2 2 2 2
x x xx x ee xd e e x e e dx e e e           
61) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối A). Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 
24y x và y = x. Tính thể tích vật thể tròn trong khi quay (H) quanh trục Ox trọn một vòng. 
 Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai đường 2 2
01 4 0
44
x
x x x x
x

      
Thể tích 
424 4 5 4 3
2 4 3 2
( )
0 0 0
1 1 1 32
4 16 2 80 8 3 15H
x x xV x x dx x x x dx   
                 
     
  
62) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối D). Tính I = 
2
3
1
ln x dx
x . 
 Hướng dẫn: Đặt 
3 2
ln 2
1 1
2
u x du dx
dv dx v
x x
  
   
   
Do đó I = 
2 2
2 3
1 1
ln 1
2 2
x dx
x x
   = 
2 2
2 2
1 1
ln 1
2 4
x
x x
  = ln 2 ln1 1 1 3 2 ln 2
8 2 16 4 16

     . 
63) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối D). Tính 
1
2
2
0 4
x xI xe dx
x
 
  
 
 
 Hướng dẫn: 
11 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
1 1 (4 ) 1 1 6 4 34
2 2 2 2 44 4
x x x xxdx d x eI xe dx xde xe e x
x x
              
    
64) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối B). Tính I = 
4
0
sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
x
dx
x x x
   
 
   . 
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 38 
 Hướng dẫn: I = 
4
0
1 sin cos
2sin cos 1 2(sin cos ) 12
x x dx
x x x x


    . 
Đặt t = sinx + cosx  dt = –(sinx – cosx)dx và 2t = 1 + 2sinxcosx. Đổi cận: 24
10
x t
tx

 


. 
Do đó I = 
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2 1 2 ( 1)
dt dt
t t t

 
    = 
2
2
1
2 ( 1)
2 ( 1)
d t
t


 = 
2
1
2 1 4 3 2.
2 1 4t



65) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối B). Tính 
2
0
1
4 1
xI dx
x



 Hướng dẫn: Đặt 24 1
4 1
dxt x dt
x
   

 và 
2 31
4
tx   . Đổi cận: 
2 3
0 1
x t
x t
 

 
. 
Do đó I = 
33 3
2
1 1
1 1 11( 3) 3
8 8 3 6
tt dt t
 
    
 
 
66) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối A). Tính I = 
46
0
tan
cos 2
xdx
x

 . 
 Hướng dẫn: Đặt t = tanx  dx = 21
dt
t
 và cos2x = 
2
2
1
1
t
t


. Đổi cận: 
3
6 3
0 0
x t
x t

 

 
. 
Do đó I = 
3 3 33
4 33 3 33
2
2 2
0 0 00
1 1 1 11
1 1 3 2 1 1
t tdt t dt t dt
t t t t
                       
   = 
3
3
0
3 3 1 1 10 3 1 3 3 1 10 3ln ln ln(2 3)
27 3 2 1 27 2 2 273 3
t
t
 
        
 
67) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối A). Tính 
2
0
sin 2
3 4sin cos 2
xdxI
x x


  
 Hướng dẫn: 
2 2
2
0 0
sin 2 sin cos
3 4sin cos 2 (sin 1)
xdx x xdxI
x x x
 
 
    . Đặt t = sinx  dt = cosxdx 
Đổi cận: 
/ 2 1
0 0
x t
x t
 

 
. Do đó I = 
11 1 1
1
2 2 0
00 0 0
1 1ln 1 ln 2
( 1) 1 ( 1) 1 2
tdt dt dt t
t t t t
      
      
68) (Đề thi CĐ năm 2009 – Khối A, B, D). Tính I = 
1
2
0
( )x xe x e dx  . 
 Hướng dẫn: I = 
1 1 1 1
0 0 0 0
( ) ( )x x x xe dx xe dx e d x xd e         = 
1
1 1
0 0
0
12x x xe xe e dx
e
     
69) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối D). Tính I = 
3
1 1
x
dx
e  . 
 Hướng dẫn: Đặt t = xe  dt = xe dx  dx = dt
t
. Đổi cận: 
33
1
x t e
x t e
 

 
. 
Do đó I = 
3
3 3
1 1 1ln
( 1) 1
ee e
e e e
dt tdt
t t t t t
       
= 3 3 2ln( 1) ln ln( 1) ln ln( 1) 2e e e e e e         
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 39 
70) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối B). Tính I = 
3
2
1
3 ln
( 1)
xdx
x

 . 
 Hướng dẫn: Đặt 
2
13 ln
1
1
( 1)
1
u x du dx
x
dv dx
vx
x
         
Do đó I = 
3 3 3 3
1 1 1 1
1 3 1(3 ln ) ln 3
1 ( 1) 4 4 1
dx dx dxx
x x x x x

     
     = 
3
1
3 1 ln 3 ln
4 4 1
x
x
 

 = 
3 1 3 1 3 1 3 1 27ln 3 ln ln ln 3 ln 3 ln
4 4 4 2 4 4 2 4 16
         
 
71) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối A). Tính I =  
/ 2
3 2
0
cos 1 cosx xdx

 . 
 Hướng dẫn: I =  
/ 2 /2 /2
25 2 2 2
0 0 0
(cos cos ) 1 sin cos cosx x dx x xdx xdx
  
      = 
/2 / 2 /2
2 4
0 0 0
1 1(1 2sin sin ) (sin ) cos 2
2 2
x x d x dx xdx
  
      = 
/2 /23 5
00
sin sin 1 1sin 2 sin 2
3 5 2 2
x xx x x
 
           
 = 2 1 81
3 5 4 5 4
 
     
72) (Đề thi CĐ năm 2010 – Khối A, B, D). Tính I = 
1
0
2 1
1
x dx
x

 . 
 Hướng dẫn: I = 
1
0
2 1
1
x dx
x

 = 
11 1 1
0 0 0 0
32 2 3 2 3ln 1 2 3ln 2
1 1
dxdx dx x x
x x
                 
73) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối D). Tính I = 
1
32 ln
e
x xdx
x
  
 
 Hướng dẫn: Đặt 
2
1ln
32 3ln
u x du dx
x
dv x v x xx
    
     
. Do đó I =  2
1
1
33ln ln ln
ee
x x x x x dx
x
    
 
2
1 1
3 3 ln (ln )
e e
e xdx xd x
 
    
 
  = 
2 2 2
2
1
ln3 3 1
2 2 2
e
x x ee
 
     
 
74) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối B). Tính I = 2
1
ln
(2 ln )
e x dx
x x . 
 Hướng dẫn: I = 2
1
ln
(2 ln )
e x dx
x x . Đặt t = 2 + lnx  dt = 
dx
x
. Đổi cận: 
3
1 2
x e t
x t
 

 
. 
Do đó I = 
33 3
2 2
2 2 2
2 1 2 2 3 1ln | | ln
2 3
t dt dt t
t t t t
                
75) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối A). Tính I = 
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e dx
e
 
 . 
 Hướng dẫn: I = 
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e dx
e
 
 = 
1 12
2
0 0
(1 2 )
1 2 1 2
x x x
x x
x e e edx x dx
e e
  
    
  
= 
1 1
2
0 0
1 (1 2 )
2 1 2
x
x
d ex dx
e


  = 
13
0
1 1 1 1 2ln(1 2 ) ln
3 2 3 2 3
xx ee
  
    
 
THPT Tân Bình – Bình Dương. TÍCH PHÂN 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 40 
76) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối D). Tính tích phân 
4
0
4 1
2 1 2
xI dx
x


 
 Hướng dẫn: Đặt t = 2 1 2x   => (t – 2)dt = dx 
 I = 
5 52
2
3 3
(2 8 5)( 2) 10 34 3(2 12 21 ) 10 ln
3 5
t t t dt t t dt
t t
  
       
77) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối B). Tính tích phân 
3
2
0
1 sin
cos
x xI dx
x


  
 Hướng dẫn: 
 
3 3 3 3
3
2 2 2 20
0 0 0 0
sin sin sintan 3
cos cos cos cos
dx x xdx x xdx x xdxI x
x x x x
   

         
Đặt u = x => du = dx 
2
sin
cos
xdxdv
x
 , chọn 
cos
v
x

 
 I = 
3
2
0
sin3
cos
x xdx
x

  = 
33
0 0
3
cos cos
x dx
x x

   = 
3
2
0
2 cos3
3 sin 1
xdx
x


 
 
= 
3
0
2 1 sin 13 ln
3 2 sin 1
x
x

 
 

 = 2 1 2 33 ln
3 2 2 3
 
 

78) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối A). Tính tích phân 
4
0
sin ( 1) cos
sin cos
x x x x dx
x x x

 
 
 Hướng dẫn: 
4 4
0 0
cos
sin cos
x xI dx dx
x x x
 
 
  
 
4 4
4
0
0 0
( sin cos ) 2ln sin cos ln 1
sin cos 4 2 4
d x x xdx x x x x
x x x
 
                 
 