Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN - Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Chuyên đề 1
ÔN TẬP PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
	I. Định nghĩa	
	Cho hàm số y=f(x) xác định trên K
 f đồng biến trên K nếu " x1, x2 ÎK mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2).
 f nghịch biến trên K nếu " x1, x2 ÎK mà x1f(x2).
	II. Định lý:
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
Nếu f’(x)>0 ;"xÎ(a,b) Þ y=f(x) đồng biến trên (a,b).
Nếu f’(x)<0 ;"xÎ(a,b) Þy=f(x) nghịch biến trên (a,b).
Trong giả thiết nếu ta thay (a;b) bằng [a;b) [a;b] hay(a;b] thì phải bổ sung thêm hàm số liên tục trên [a;b) [a;b] hay(a;b].
Định lí vẫn còn đúng nếu f’x≥0;"xÎ(a,b) dấu bằng chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b).
CÁC BÀI TẬP:
Xét tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính y’.
B3: Xét dấu y’ và kết luận tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số y=x3-3x2+1 
Giải: + Tập xác định D=R
 + y’=3x2-6x ; y'=0Û 3x2-6x=0 Û x=0;x=2
 + Bảng biến thiên:
+ Kết luận: hàm số tăng trên -∞;0;(2;+∞) giảm trên (0;2).
Ví dụ : Tìm m để hàm số y=-13x3+m-1x2+m-3x-4 
Nghịch biến trên R
Đồng biến trên (0;3).
Giải: a) 
+ Tập xác định D=R
+ y’=-x3+2m-1x+(m-3)
 y'=0Û-x3+2m-1x+m-3=0 (*)
Để hàm số nghịch biến trên R thì
 y’£ 0,∀xϵRÛa<0 ∆'≤0 Û ∆'=m-12+m-3≤0 Û-1≤m≤2 
b.Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì 0,3Ì (x1;x2) do a âm khi đó
 y'0≥0y'3≥0Û m-3≥07m-36≥0Û m≥367
 Vậy m≥367 thì hàm số đồng biến trên đoạn (0;3).
Chú ý : Tam thức bậc hai fx=ax2+bx+c
fx≥0,∀xϵRÛa>0 ∆'≤0 ; fx≤0,∀xϵRÛa<0 ∆'≤0 ; 
Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình hay hệ phương trình:
Giả sử cần giải phương trình f(x)=g(x) 
	+ Tìm tập xác định D của phương trình.
	+ Nếu f(x) tăng trên D ; g(x) giảm hoặc hàm hằng trên D khi đó phương trình có nhiều nhất là một nghiệm.
	+ Tìm nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ : Giải phương trình x3+x-1-3x+2=0
Tập xác định : D=(¥;1/3).
Đặt f(x)=x3+x-1-3x+2 
f’x=3x2+1+321-3x>0 ∀x∈D 
Vậy f(x) tăng trên D ,g(x)=0 là hàm hằng nên phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm, dể thấy x=-1 là nghiệm của phương trình vậy pgương trình đã cho có duy nhất nghiệm
Ví dụ : Giải hệ phương trình x3-y3+3y-3x=0x2008+y2008=1
Giải : Tập xác định x;y∈[-1;1] do x2008+y2008=1 nên x2008≤1 và y2008≤1 
Xét hàm ft=t3-3t trên -1;1
f't=3t2-3 do t∈[-1;1] nên f’t≤0 hay f(t) là hàm giảm trên [-1;1]
Vậy fx=fyÛx=y thay vào hệ phương trình ta được
x3-y3+3y-3x=0x2008+y2008=1Ûx=yx2008+y2008=1
x=±20081/2 ;y=±20081/2
 Chú ý: Nếu f đồng biến trên D và f(x) > f(y) thì x > y 
 Nếu f nghịch biến trên D và f(x) > f(y) thì x<y 
 Nếu f đơn điệu trên D thì f(x)=f(y)Û x=y.
CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số .
	a) Khảo sát hàm số khi m=1.
	b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
	c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số 
a) Tính y’’(1).
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
 Bài 4: Chứng minh rằng
	a) x > sinx	"x Î (-π/2,π/2).
	b) .
	c) .
Bài 5 :  Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :   
§2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và điểm x0 ÎD .
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) Ì D và ta có f(x)<f(x0) với mọi xÎ(a;b)\{x0}.
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y= f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) Ì D và ta có f(x)>f(x0) với mọi xÎ(a;b)\{x0}.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
	Định lý1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0Î(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x0) = 0.
	Định lí 2:
 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) khi đó
   	 a) Nếu f’(x0) > 0 với mọi xÎ(a ; x0); f’(x) < 0 với mọi xÎ(x0; b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
    	 b) Nếu f’(x0) 0 với mọi xÎ(x0; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
   	 Định lí 3. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại xo .
a) Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Bài 2: Cho hàm số
Khảo sát hàm số khi m=-1.
Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số 
	a)Khảo sát hàm số khi m=1 gọi đồ thị là (C).Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
	b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;¥).
Bài 4: Cho hàm số   với tham số k.
	1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
	2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
	3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Bài 6: Cho hàm số Xác định m sao cho hàm số.
Có cực trị.
Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số 
	a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
	b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
	 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
	Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu M=maxf(x) )
	Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
	+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
	+ Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTNN -GTLN
Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. 
	+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].
	+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
	+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
B. CÁC BÀI TẬP:
I. Tìm GTLN-GTNN của hàm số:
+Xét xem tìm GTLN GTNN trên đoạn[a;b] hay không phải đoạn.
+ Thực hiện cách tìm tương ứng.
Ta có thể tìm trực tiếp hay quy về một hàm số khác đơn giản hơn.
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
y=cos22x-sinx.cosx+4 
Giải : ta có 
y=cos22x-sinx.cosx+4=1-sin22x-12sin2x+4=-sin22x-12sin2x+5 
Đặt t=sin2x khi đó t∈[-1;1] hàm số trở thành y=-t2-12t+5
y'=-2t-12 ; y'=0Û t=-14
y-1=92 ; y1=72 ; y-14=5116 
Vậy maxy=5 1/16 min y =7/2 
II. Tìm Max Min để chứng minh bất đẳng thức:
Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức f(x)<g(x)
+ Xét hàm số h(x)=f(x)-g(x) trên tập xác định D của bất đẳng thức 
+ Tìm Maxh(x)(hay Min(h(x)) ) trên D
+ Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ : Chứng minh rằng ex>x+1 ∀x∈R
Giải : Xét hàm số fx=ex-x-1 
+Tập xác định D=R.
+ f’x=ex-1 ; f'x=0Û ex-1=0 Ûx=0
+Bảng biến thiên:
Vậy min f(x)=0 hay fx≥0 ∀xϵR Û ex>x+1 ∀x∈R 
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	a) trên [-2;-1/2] ; [1,3).
	b) .
	c)        trên đoạn [0,π]	(TN-THPT 03-04/1đ)
	d) 	xÎ[0,π/2]	(TN-THPT 01-02/1đ)
	e) trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng	 với mọi giá trị x.
§5. TIỆM CẬN
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Tiệm cận đứng: 
Đường thẳng x=x0 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số y=fx nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mản:
limx→x0-fx=+∞ ; limx→x0+fx=+∞
limx→x0-fx=-∞ ; limx→x0+fx=-∞
Tiệm cận ngang:
Đường thẳng y=x0 là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y=fx nếu:
limx→+∞fx=y0 hoặc limx→-∞fx=yo
Tiệm cận xiên: Chương trình Nâng Cao
Đường thẳng y=ax+b; a≠0 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số y=fx nếu:
limx→+∞[fx-(ax+b)]=0 hoặc limx→-∞[fx-(ax+b)]=0
Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
a=limx→+∞fxx ; b=limx→+∞[fx-ax]
a=limx→-∞fxx ; b=limx→-∞[fx-ax]
Nếu a=0 thì ta có tiệm cận ngang.
 CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
Khảo sát hàm số . 
Xác định m để đồ thị hàm số  có các tiệm cận trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
y=x2+x-1x2-1 (hàm số có một tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng)
y=x2+1x (hàm số có hai tiệm cận ngang và một tiêm cận đứng)
	c)	 d) 	e)	
TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN : 
Trong hệ trục Oxy cho (C): y=f(x) và I(a;b).Tịnh tiến hệ Oxy theo được hệ trục IXY theo công thức thì trong hệ trục IXY ta có 
1. Đồ thị (C) có tâm đối xứng I(a;b)
Cách 1 : M(x0;y0) (C) y0 = f(x0)
Gọi N(x1;y1) l điểm đối xứng của M qua I 
Ta chứng minh y1 = f(x1)
Cách 2 : Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :
 biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ 
 ( g(–X) = – g(X) )
2; Đồ thị (C) có trục đối xứng : x = a
Cách 1 : M(x0;y0) )
Gọi N(x1;y1) là điểm đối xứng của M qua 
 Ta chứng minh y1 = f(x1)
Cách 2 : Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :
 biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn ( Với I(a;0) ) ( g(– X) = g(X) )