Tài liệu ôn thi THPT môn Toán - Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ

Lý thuyết chung
1.	Hệ trục tọa độ Oxyz:
§	Hệ trục gồm ba trục đôi một vuông góc nhau.
§	Trục trục hoành, có vectơ đơn vị .
§	Trục : trục tung, có vectơ đơn vị .
§	Trục trục cao, có vectơ đơn vị 
§	Điểm là gốc tọa độ.
2.	Tọa độ vectơ: Vectơ .
Cho . Ta có:
§	
§	 cùng phương 
§	
§	
§	
§	
§	
§	
§	
3.	Tọa độ điểm: . Cho, ta có:
§	
§	
§	Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
§	Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
§	Điểm 
§	Điểm 
§	Điểm 
§	Điểm 
§	Điểm 
§	Điểm 
Đối xứng điểm qua trục tọa độ
Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
§
§	
§	
§	
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng
Câu 1.	 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2.	 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3.	 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4.	 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7.	 (Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8.	 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9.	 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10.	 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 (Mã 104 - 2019) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 (Mã 103 - 2019) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13.	 (Mã 102 - 2019) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14.	 (Mã 101 - 2019) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15.	 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là điểm
A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
Tọa độ điểm: . Cho, ta có:
§	
§	
Câu 1.	 (Mã 102 2018) Trong không gian , cho hai điểm và . Vectơ có tọa độ là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2.	 (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian cho hai điểm và . Vectơ 
có tọa độ là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3.	 (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm . Tính độ dài đoạn thẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4.	 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba vecto . Tọa độ của vecto là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5.	 (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian , cho hai điểm ,. Vectơ có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian cho và . Vectơ có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7.	 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , , . Tìm tọa độ của vectơ .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8.	 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho . Tọa độ của vectơ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và . Tìm tọa độ của vectơ.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian , cho và . Vectơ có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian cho Tọa độ vecto là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 13.	 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Tính tọa độ của vecto 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14.	 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ giả sử , khi đó tọa độ véc tơ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15.	 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian , cho và . Vectơ có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16.	 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ , cho Tọa độ của vectơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 17.	 (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B. Tính độ dài .
A. 26.	B. 22.	C. .	D. 
Câu 18.	 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian , cho hai điểm , . Độ dài đoạn thẳng là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19.	 (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho . Giá trị của bằng
A. 	B. .	C. . D. .
Câu 20.	 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian , cho 2 điểm , . Độ dài đoạn bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm
3.	Tọa độ điểm: . Cho, ta có:
§	Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
§	Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
Câu 1.	 (Mã 101 2018) Trong không gian , cho hai điểm và. Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2.	 Trong không gian , cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3.	Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4.	 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là :
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho , . Tìm tọa độ trung điểm của 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	Trong không gian cho hệ trục toạ độ , cho ba điểm . Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7.	Trong không gian với hệ trục tọa độ cho , . Tìm tọa độ trung điểm của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8.	(THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian , cho hai điểm và . Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9.	 (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với . Tọa độ trọng tâm của tam giác là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác biết , . Trọng tâm của tam giác có tọa độ:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian , cho 2 điểm và . Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và . Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13.	 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian , cho hai điểm và . Trung điểm của đoạn có tọa độ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14.	 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Tìm tọa độ điểm trên trục hoành sao cho .
A. ,	B. , 
C. , 	D. , 
Câu 15.	 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và . Tọa độ điểm biết là trung điểm của là
A. .	B. .C. .	D. .
Dạng 2. Tích vô hướng và ứng dụng
§	
§	
§	
§	
§	
Câu 1.	 (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ và . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2.	 (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian cho vectơ Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. 	B. và cùng phương
C. 	D. 
Câu 3.	 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ , cho tam giác biết , , . Tính cosin góc của tam giác.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4.	 (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian , góc giữa hai vectơ và là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian , cho , . Côsin của góc giữa và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ và . Tính tích vô hướng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9.	 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian cho ba điểm , . Cosin của góc là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , , . Diện tích của tam giác bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11.	 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian , cho và . Côsin của góc giữa và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ , cho và . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13.	 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hai véc tơ , . Khi đó, tích vô hướng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14.	 (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho hai vectơ , . Phát biểu nào sau đây là sai?
A. .	B. .	C. ngược hướng với .	D. .
Câu 15.	 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho , , góc giữa hai véctơ và là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16.	(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ , cho tứ diện với , , , . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 17.	 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian cho véc tơ ; . Tìm để .
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 18.	 (SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho và . Tìm số thực sao cho tích vô hướng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19.	 (CỤM Chuyên Môn 4 - Hải Phòng - 2018) Trong không gian cho . Tính tích vô hướng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 20.	 (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian , cho ba điểm , , . Côsin của góc bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Dạng 3. Tích có hướng và ứng dụng
F 1. Định nghĩa: Cho , , tích có hướng của và là:
.
F 2.Tính chất:
§	Điều kiện cùng phương của hai vectơ là với 
§	Điều kiện đồng phẳng của. ba vectơ và là 
3.Diện tích hình bình hành ABCD:
§	Diện tích tam giác ABC: 
§	Thể tích khối hộp: 
§	Thể tích tứ diện: .
Câu 1.	 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và vectơ . Tìm tọa độ vectơ là tích có hướng của và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2.	 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian , tọa độ một vectơ vuông góc với cả hai vectơ , là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3.	 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba véctơ . Câu nào sau đây đúng?
A. cùng phương với .	B. ,, không đồng phẳng.
C. ,, đồng phẳng.	D. vuông góc với .
Câu 4.	 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ , cho bốn điểm , , và . Thể tích khối tứ diện bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	Trong không gian với hệ toạ độ , cho và . Khẳng định nào sau đây sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian cho hai điểm . Diện tích tam giác bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7.	 (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian , cho 4 điểm , , , . Thể tích của khối tứ diện bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8.	 (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian , tính diện tích của tam giác , biết và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9.	 Trong hệ trục tọa độ , cho , , , . Tất cả giá trị của để điểm đồng phẳng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 Trong không gian , cho hình chóp có và Tính độ dài đường cao của hình chóp .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình hành . Biết , và . Diện tích hình bình hành là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và điểm . Khi đó thể tích tứ diện là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13.	 (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian , cho , . Tính diện tích tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .