Tài liệu ôn thi lớp 12 - Ứng dụng của đạo hàm

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tóm tắt lý thuyết
Tính chất:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, khi đó:
nếu f ’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K
nếu f ’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính f ‘(x)
Bước 3: giải phương trình f ‘(x) = 0 tìm nghiệm xo yo
Bước 4: lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận
Bài tâp
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = 2x2 – 3x + 5
y = 4 + 3x – x2
y=3x2 – 8x3
y = x3 – 6x2 + 9x
y = x4 + 8x4 + 5
y = x4 – 2x2 + 3
y = x4 + 8x3 + 5
*
*
*
*
*
*y = x + sinx
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
Bài 2: Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến với mọi x
* Chú ý:
Hàm số y = f(x) luôn đồng biến với mọi x với mọi x
y = 
y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2
y = x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1)
y = x3 + 3x2 + (m +1)x +4m
* Chú ý:
Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến với mọi x với mọi x
Bài 3. Tìm m để hàm số sau luôn nghịch biến với mọi x
1. 
2. 
***Bài 4 
Tìm m để hàm số y = đồng biến với mọi x 
Cho hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2. Tìm m để hàm số đồng biến trong 
Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến khi x: 
 y = x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1)
Tìm m để hàm số sau nghịch biến trong : y = x3 + 3x2 + (m +1)x +4m
Tìm m để hàm số sau đồng biến trên : y = x4 – 8mx2 + 9m
Tìm m để hàm số sau đồng biến trên : y = mx4 + 2x2 + 3m + 1
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên 
Tìm m để hàm số sau luôn đòng biến trong (0 ; ): 
Tìm m để hàm số sau luôn đòng biến trong (0 ; ): 
Tìm m để hàm số sau luôn đòng biến trong (1 ; ): 
* Chú ý: Đê giải các bài toán “Tìm Tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên miền K”, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm miền xác định D
	Hàm số đơn điệu trên K khi nó xác định trên K 
+ Bước 2: Tính y’
+ Bước 3: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K 
Bài toán được chuyển về dấu của nhị thức bậc nhất hoạc tam thức bậc hai hoạc sử dụng phương pháp hàm số
+ Bước 4: kết luận
***Bài 5. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1. 5
2. 
3. 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
Quy tắc 1 (Dùng bảng biến thiên)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính f ‘(x)
Bước 3: giải phương trình f ‘(x) = 0 tìm nghiệm xo yo
Bước 4: lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận
Quy tắc 2 (Dùng đạo hàm cấp 2)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính f ‘(x)
Bước 3: giải phương trình f ‘(x) = 0 tìm nghiệm xo yo
Bước 4: tính f’’(x) và f’’(xo)
Bước 5: Kết luận
Nếu f’’(xo) < 0 thì hàm số đạt cực đại bằng yo tại xo
Nếu f’’(xo) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu bằng yo tại xo
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
y = x3 – 6x2 + 9x + 5	ĐS: yCĐ = y(0)= 9; yCT = y(3)= 5
y = x3 – 3x2 – 9x – 8	ĐS: yCĐ = y(- 1)= - 3; yCT = y(3)= - 35
y = – x3 + 3x2 – 5	
	ĐS: yCĐ = y(0)= ; yCT = y(- 2) = y(2)= 
f(x) = x4 – 8x3 + 22x2 – 24x + 10	ĐS: fCĐ = f(2) = 2; fCT = f(1) = f(3) =1
	ĐS: yCĐ = y(0)= - 1; yCT = y(2)= 3
f(x) = sinx + cosx với 	 ĐS: ; 
y = (x – 1)8 + 1000	ĐS: yCT = y(1)= 1000
y = (x – 2008)9 + 2009	ĐS: Không có cực trị
	ĐS: yCĐ = y(2)= 
	ĐS: yCĐ = y(–1)= 3; yCT = y(1)= 
* 	ĐS: yCĐ = y(0)= –2; yCT = y(2)=y(–2) = 2
* 	ĐS: yCT = 
* 
* 	ĐS: yCĐ = 
* 	ĐS yCT = 
* 	
	ĐS: yCĐ = ; yCT = 
	ĐS: yCĐ = ; yCT = 
y = (1 + sinx).cosx	ĐS: yCĐ = ; yCT = 
y = cot(x + )	ĐS: Không có cực trị
	ĐS: Không có cực trị
	ĐS: Không có cực trị
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Để tìm điều kiện cho hàm số y = f)x) có cực trị ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm y’
Bước 3: lựa chọn theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Nếu xét được dấu của y’ thì sử dụng quy tắc 1 với lập luận: Hàm số có k cực trị phương trình y’ = 0 có k nghiệm phân biêt và đổi dấu qua các nghiệm đó
Cách 2: Nếu không xét được dấu của y’ hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại hoặc cực tiểu thì sử dụng quy tắc 2, bằng việc tính thêm y’’. Khi đó:
Hàm số có cực trị Hệ sau có nghiệm thuộc D 
Hàm số có cực tiểu Hệ sau có nghiệm thuộc D
Hàm số có cực đại Hệ sau có nghiệm thuộc D
Hàm số có cực tiểu tại xo 
Hàm số có cực đại tại xo 
BÀI TẬP
Bài 2
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
* Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m3 – 3m. Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi thì các điểm cực đại, cực tiểu luôn chạy trên hai đường thẳng cố định.
 Cho hàm số 
Chứng minh rằng với mọi a hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu
* Giả sử hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x2. Chứng minh rằng 
Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 
* Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu, khi đó hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn x1 – x2 không phụ thuộc vào tham số m.
Tìm k để hàm số y = kx4 + (k – 1)x2 + 1 – 2k chỉ có một cực trị. ĐS: 
*Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu	ĐS: 
 Chứng minh rằng khi hàm số có cực đại và cực tiểu thì tổng bình phương hoàng độ của các điểm cực trị là một hằng số.
* Cho hàm số Chứng tỏ rằng nếu hàm số có cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2. thì ta luôn có 
Cho hàm số tìm m để:
Hàm số có cực trị	ĐS: - 1 < m < 1
* Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn x1 + x2 = 4x1x2	ĐS: 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương.	ĐS: 0 < m < 1	
Tìm m để hàm số y = (x – m)3 – 3x đạt cực tiểu tại x = 0 	ĐS: m = -1
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 	ĐS: Không có m
Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1	ĐS: m = -2
* Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.	ĐS: 
Tìm m để hàm số mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 có 3 cực trị.	ĐS: 
*Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có cực tiểu mà không có cực đại. 
ĐS: hoặc m = -1
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (CONG) ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ
Cho hàm số y = f(x), giải sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2, 
Với yêu cầu: Lập phương trình đường (C) đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Ta có thể làm theo một trong 2 cách sau:
Cách 1: Nếu tọa độ của các điểm cực trị là những số nguyên, số hữu tỉ thì phương trình đường (C) được xác định bằng phương pháp thông thường ( Ví dụ công thức phương trình đường thẳng qua 2 điểm)
Cách 2: Nếu tọa độ các điểm cực trị có dạng vô tỉ hoặc chứa tham số thì phương trình đường (C) thường được xác định bằng lập luận sau:
Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn hệ: 
Vậy tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường cong (C): y = Q(x)
BÀI TẬP
Bài 3. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của các hàm số sau:
y = x3 – 3x2 – 9x + 5	ĐS: 8x – y + 18 = 0
y = x3 – 3x2 + 4	ĐS: y = -2x + 4 
	ĐS: 
y = x3 + mx2 + 7x + 3	ĐS: 
	ĐS: y = 2x + m – m2
	ĐS: 
y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 	ĐS: y = 2(m – 2)x + m – 2 
Bài 4: Lập phương trình các đường Parabol (P) đi qua các điểm cực trị của các hàm số sau:
, biết (P) tiếp xúc với đường thẳng (d): 4x – 12y – 23 = 0	ĐS	
y = x4 + 2mx2 + 3	ĐS: y = mx2 + 3
y = x4 – 6x4 + 4x + 6	ĐS: y = -3x2 + 3x +6
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, khi đó:
M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D 
Ký hiệu 
m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D 
Ký hiệu 
CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG 
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm xo yo 
Bước 4: Lập bảng biển thiên của hàm số trên khoảng 
Bước 5: Kết luận
CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN 
Bước 1: Tính y’
Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm xo yo 
Bước 3: Tính f(x) và f(b)
Bước 4: Từ các giá trị yo, f(a), f(b) ta kết luận GTLN và GTNN của hàm số
BÀI TẤP:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = 1 + 8x – 2x2	 ĐS: Maxy = y(2) = 2
y = 4x3 – 3x4	ĐS: Maxy = y(1) = 1
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1. (x > 0) ĐS: Miny = y(2) = 8
2. (x > 0)	 ĐS: miny = y(1) = 3
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 trên nửa khoảng 
y = 	ĐS: Miny = y(-2) = , Maxy = y(2) = 
y = 	ĐS: Maxy = y(0) = 1
y = 1 + 4x3 – 3x4	ĐS: maxy = y(1) =2
 trên khoảng 	ĐS: miny = y(2) = 3
 trên 
 trên khoảng (1 ; +∞ )
với 
 trên khoảng .
 (x > 5 )
 trên khoảng ( 0 ; +∞ )
 với x < 3
 trên khoảng 	Đs: maxy = y() = -1.
 trên khoảng 	Đs: maxy = y() = -1
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y = x3 – 8x2 + 16x – 9 trên 	ĐS: Maxy = , miny = y(3) = - 6 
f(x) = x3 – 3x + 1 trên 	ĐS: Maxf(x) = f(2) = 3, minf(x) = f(1) = - 1
f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 4 trên 	ĐS: Maxf(x) = f(-3) = f(0) = - 4, 	 minf(x) = f(- 4) = f(- 1) = 
y = trên 	ĐS: 
f(x) = 2x3 – 6x2 + 1 trên 	ĐS: Maxf(x) = f(0) = 1, minf(x) = f(-1) = - 7
f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 1 trên 	
f(x) = x3 + 5x – 4 trên 	
f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên 	
f(x) = x4 – 8x2 + 16 trên 	
f(x) = x4 – 2x2 + 1 trên 	ĐS: maxf(x) = f(2) = 9, minf(x) = f(1) = 0
f(x) = –x4 + 4x2 + 3 trên 	ĐS: maxf(x) = f(1) = 5, minf(x) = f(2) = - 13 
y = trên đoạn 	ĐS: 
f(x) = x4 – 8x2 + 16 trên 
f(x) = -2x4 + 4x2 + 1 trên [-1;2]
y = -x4 + 2x2 + 3 trên [0; 2]
y = x4 - 2x2 + 5 với x[-2; 3]
 trên đoạn [–2 ; 0]
 trên đoạn [-1;-1/2].
 trên đoạn [-1;0].
 trên đoạn 
 trên 
 trên đoạn [-2;-1].
 trên đoạn [0;1]
 trên 
 trên 
y = x3 + 3x2 - 9x - 1 trên [- 4 ; 3]
y = trên 
 trên đoạn [-1/2;2/3].
y = trên 
 trên đoạn [0;3]
 trên đoạn [-3;3/2]
 trên đoạn [-2;2].
	trên [-3;2]
y = x3 - 3x2 + 5 trên [-l ; 4]
 trên đoạn 
 trên đoạn 
 trên đoạn [-3;3]
 trên đoạn [-4;4]
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 trên 
	ĐS: maxf(x) = f(0) = 4,minf(x) = f() = 1
	ĐS: Minf(x) = f(1) = 5
	ĐS: Maxf(x) = f(1) = 2, minf(x) = f()=
 trên đoạn [-1;1]
y = x+
y = (x – 6) trên đoạn [0 ; 3]
y = .
trên đoạn 
*Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 trên 	ĐS: maxf(x) = 
f(x) = sin2x – x trên 
y = sin2x – x trên đọan 
f(x) = 2sinx + sin2x trên 
; với 
 trên .
f(x) = x – cos2x trên 
y = 3 sin x + 4 cos x – 4
f(x) = cosx.(1 + sinx) với ()
y = 2sin2x + 2sinx – 1
f(x) = 4 sin3x - 9cos2 x + 6sin x + 9
y = sin x + cos2 x + 
y = 
y = 
y = cos x + cos 2x
y = sin3x + cos3x
y = sin3x - cos3x
y = sin6x + cos6x
y = sin8x + cos8x
y = sinx.sin2x
y = cosx.cos2x
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y = x(ln x - 2) trên đoạn [l; e2].
y = trên đọan [0 ; 2].
y = trên đọan [1 ; e2 ]
y = x2e2x trên nữa khỏang (-; 0 ]
y = trên đọan [ 1; e ]
y = x – lnx + 3
f(x) = x – e2x trên đoạn [-1 ; 0]
y = x2e2x trên nửa khoảng (-; 0 ]
y = trên đọan [ 1; e ]
y = 
 trên đoạn 
y = trên đoạn [0, p]
 trên đoạn 
ĐS: + 
	ĐS: 
Bài 7.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 64 cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Cho a, b 0 và a + b = 1 .Tìm giá trị lớn nhất, nh ... phép biến đổi tương đương sau:
Dạng 1: Với bất phương trình: hoặc 
Dạng 2: Với bất phương trình: hoặc 
Chú ý: Cần đặc biệt lưu ý tới giá trị của cơ số a đối với bất phương trình mũ.
II. Bài tập: Gải các bất phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:
Để chuyển ẩn số khỏi loga người ta có thể mũ hoá theo cùng 1 cơ số cả 2 vế bất phương trình. Chúng ta lưu ý các phép biến đổi cơ bản sau:
Dạng 1: Với bất phương trình: 
Dạng 2: Với bất phương trình: 
Dạng 3: Với bất phương trình:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
31) 
32) 
33) 
34) 
35) 
36) 
37) 
38) 
39) 
40) 
41) 
42) 
43) 
44) 
45) 
46) 
47) 
48) 
49) 
50) 
51) 
52) 
53) 
54) 
55) 
56) 
57) 
58) 
59) 
60) 
61) 
62) 
63) 
64) 
65) 
66) 
a. 	
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
m. 
n. 
o. 
p. 
q. 
r. 
s. 
t. 
u. 
v. 
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
Baûng coâng thöùc ñaïo haøm.
Ñaïo haøm hs sô caáp cô baûn
Ñaïo haøm haøm soá hôïp
 ( u = u(x ))
Ñaïo haøm hs sô caáp cô baûn
Ñaïo haøm haøm soá hôïp ( u = u(x ))
Baûng coâng thöùc nguyeân haøm. 
Coâng thöùc boå sung.
Tính tích phaân baèng ñònh nghóa. 
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Đặt t = f(x) (nếu được)
Tính dt = f’(x)dx (hoặc dx = )
Đổi cận (đối với tích phân xác định)
Thế vào tích phân và tính theo t
Thế kết quả vừa tính được theo x (đối với tích phân bất định)
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC
SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC:
Bài tập:
TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
 : 
Neáu baäc P baäc Q thì chia ña thöùc
Neáu baäc P < baäc Q
*	Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (D < 0)
*	Ñöa P/Q veà daïng toång caùc phaân thöùc ñôn giaûn, döïa vaøo caùc thöøa soá cuûa Q :
4) 	5) 	 
 Bµi2: 1) Cho hµm sè y = 
a) X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A, B, C ®Ó:y = 
b) T×m hä nguyªn hµm cña hµm y
 Bµi3: a) X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A, B sao cho	
b) Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ®Ó t×m hä nguyªn hµm cña hµm sè : f(x) = 
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
	Caùc daïng thöôøng gaëp :
«
« , R laø haøm höõu tyû : 
«chöùa (a + bxk)m/n : thöû ñaët un = a + bxk.
«Nếu f(x) chứa x = a.sint 
« Nếu f(x) chứa x = a.tant 
«Nếu f(x) chứa .Đặcbiệt:
	1) 	2) 
3) 	4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 	
10) 	11) 
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
	Caùc daïng thöôøng gaëp :
a.	:	u = sinx.
	:	u = cosx.
	:	haï baäc veà baäc 1
b.	:	u = tgx	(n ³ 0)
	:	u = cotgx	(n ³ 0)
c.	 , R : haøm höõu tyû
	R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) 	: u = cosx
	R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx)	: u = sinx
	R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx)	: u = tanx Ú u = cotx
TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:
1) 	2) 	3) 	4) 
5) 	6) 	7) 	
8) 	9) 	10) 	11) 	
12) 	13) 	14) 
15) 	16) 	17) 	18) 
19) 	20) 	21) 
 Bµi1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1) 	2) 	3) 	
4) 	5) 	6) 
 Bµi2: Cho f(x) = 
	1) T×m A, B sao cho f(x) = A + B	2) TÝnh: I = 
 Bµi3: Cho hµm sè: h(x) = 
 	1) T×m A, B ®Ó h(x) = 	2) TÝnh: I = 
 Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 4cosx + 3sinx	;	g(x) = cosx + 2sinx
	1) T×m A, B ®Ó g(x) = A.f(x) + B.f'(x)	2) TÝnh: I = 
TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT
SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC:
4) 
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
	Thöôøng duøng khi tính tích phaân caùc haøm hoãn hôïp.
a.	
b.	
c.	
	töøng phaàn 2 laàn, giaûi phöông trình aån haøm ʃ
*) Chuù yù: Phaûi thöïc hieän theo nguyeân taéc sau:
- Choïn pheùp ñaët sao cho deã xaùc ñònh ñöôïc .
- phaûi ñöôïc tính deã hôn 
Bài1. Tính các tích phân sau : 
1) 	2) 	3) 	 4) 5) 
6) 	7) 	8) 	9) 
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I=
.
J= 
I=
I
I= (Đặt t = - )
I 
I = 
.
.
Cho và . Hãy tính I+J và IJ , từ đó suy ra I và J .
Cho với f là hàm số lẻ. Hãy tính tích phân : I = .
Cho hàm số . Tìm nguyên hàm F(x ) của hàm số , biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm M(; 0) .
ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN VAØO TÍNH DIEÄN TÍCH _ THEÅ TÍCH.
I. Tính diện tích hình phẳng:
1. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox và các đường thẳng 
x = a, x = b được tính theo công thức: 
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b. thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức
Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các cách
Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối
Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0. Giả sử ptrình có 
2 nghiệm c, d (c < d) thuộc thì:
II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
 Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và (Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là giao điểm của (P) và (Q) với Ox. Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x () cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên . Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức :
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt:
* Thể tích khối chóp: 
* Thể tích khối chóp cụt: 
III. Thể tích khối tròn xoay:
1. Thể tích khối tròn xoay: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và đường thẳng 
x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay coù theå tích laø:
2. Thể tích khối cầu bán kính R: 
1/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a. vaø .
b. vaø 
c. 
d. vaø 2 tieáp tuyeán xuaát phaùt töø 
e. vaø caùc tieáp tuyeán cuûa taïi vaø 
f. 
g. vaø 
2/ Tính theå tích khoái troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng khi (H) xoay quanh truïc Ox:
a. vaø .
b. 
c. 
d. 
3/ Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng vaø 
Tính dieän tích hình (H).
Tính theå tích khoái troøn xoay khi (H) xoay quanh truïc Ox.
4/ Cho haøm soá coù ñoà thò laø 
a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò 
b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò vaø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc tieåu,cöïc ñaïi.
c. Hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng .
Tính dieän tích hình .
 Tính theå tích khoái troøn xoay sinh ra khi hình xoay quanh truïc hoaønh.
5/ Cho haøm soá 
a. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá.
b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò ,tieäm caän ngang,truïc tung,ñt .
c. Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò ,truïc hoaønh,truïc tung xoay quanh truïc Ox.
6/ Cho haøm soá 
Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá.
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò vaø truïc hoaønh
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò vaø ñt .
===== Heát =====
Số phức
Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di ó a = c; b = d. 2) môđun số phức
3) số phức liên hiệp z = a+bi là = a - bi.
* z+ = 2a; z.= 
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 
5) (a+bi ) -( c+di) = (a-c)+(b-d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac - bd)+(ad+bc)i 
7) z = 
8) Chia hai soá phöùc :
 a) Soá phöùc nghòch ñaûo cuûa z (z: 
 b) Thöông cuûa z’ chia cho z (z: 
 c) Vôùi z, 
9/ Caên baäc hai cuûa soá phöùc : z laø caên baäc hai cuûa soá phöùc 
z = x + yi laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w = a + bi (a, b, x, y
a) w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0
b) w coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau 
 * Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø 
 * Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø 
Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với D = b2 - 4ac.
Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệp kép (nghiệm thực)
Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: 
Nếu D < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức 
 Bµi6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
 Bµi7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
2) TÝnh ph©n vµ ®¼ng thøc:
 Bµi1: CMR: NÕu f(x) lµ hµm lÎ liªn tôc trªn [-a; a] th×: I = = 0
 VD: TÝnh: I = 
 Bµi2: CMR: NÕu f(x) lµ hµm ch½n liªn tôc trªn [-a; a] th×: I = 
 Bµi3: CMR: NÕu f(x) lµ hµm ch½n liªn tôc trªn R th×: I = 
 VD: TÝnh: I = 
 Bµi4: Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn [0; 1]. CMR: 
 VD: TÝnh: I = 
 Bµi5: (Tæng qu¸t ho¸ bµi4)
 	NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = f(x) th× I = 
 Bµi6: NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = -f(x) th×: I = 
 VD: TÝnh: I = 	J = 
 Bµi7: NÕu f(x) liªn tôc trªn th×: = 
 VD: TÝnh: I = 	J = 
 Bµi8: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu kú T th×: 
 VD: TÝnh: I = 
3) TÝch ph©n hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
 Bµi1: Cho c¸c hµm sè: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + 1	;	g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 1
	1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: f(x) ³ g(x).
	2) TÝnh: I = 
 Bµi2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	1) 	2) 
 Bµi3: Cho I(t) = víi t Î R.
	1) TÝnh: I(t).
	2) T×m minI(t). 
 Bµi4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	1) 	2) 	 
 Bµi5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	1) I = 	2) 
4) BÊt ®¼ng thøc tÝch ph©n:
 Bµi1: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc tÝch ph©n sau:
	1) 	2) 
	2) 
 Bµi2: CMR: 
 Bµi3: Cho hµm sè: f(x) = . CMR: 
5) TÝch ph©n truy håi:
 Bµi1: Cho In = 
	1) CMR: In > In + 1
	2) ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a In vµ In - 1
	3) TÝnh In theo n. 
 Bµi2: Cho In = 
	1) ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a In vµ In - 2
	2) TÝnh In. ¸p dông tÝnh I11 = 
 Bµi3: Cho In = 
	1) ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a In vµ In - 1
	2) TÝnh In. 
 Bµi4: Cho In = 
 	1) ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a In vµ In - 1
	2) TÝnh In. 
 Bµi5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	1) In = 	2) In = 
III) øng dông cña tÝch ph©n:
1) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng:
 Bµi1: TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau ®©y:
	1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
 Bµi2: VÏ ®å thÞ hµm sè: y = f(x) = x3 - 3x + 2 (C)
	1) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d1) víi (C) t¹i A cã xA = 2. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d2) víi (C) t¹i ®iÓm uèn cña (C).
	2) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: 
	3) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: 
 Bµi3: Cho hµm sè: y = (C)
	1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
	2) T×m b sao cho diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c ®­êng th¼ng y = 1, x = 0, x = b b»ng . 
 Bµi4: TÝnh diÖn tÝch cña c¸c h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
	1) ElÝp (E): 	2) Hypebol (H): 
	 ElÝp (E1): vµ ElÝp (E2): 
 Bµi5: TÝnh diÖn tÝch phÇn chung cña hai ElÝp:
 	(E1): vµ (E2): 
2) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ:
 Bµi1: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay t¹o nªn khi ta quay quanh Ox mét h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
 Bµi2: Gäi (D) lµ miÒn giíi h¹n cña c¸c ®­êng: . TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®­îc t¹o thµnh do ta quay D
	1) Quanh Ox	b) Quanh Oy 
 Bµi3: Gäi (D) lµ miÒn giíi h¹n cña c¸c ®­êng: . TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®­îc t¹o thµnh do ta quay D quanh Ox. 
 Bµi4: Cho miÒn D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng trßn (C): x2 + y2 = 8 vµ Parabol (P): y2 =2x
	1) TÝnh diÖn tÝch S cña miÒn D.
	2) TÝnh thÓ tÝch V sinh ra bëi A khi quay quanh Ox. 
 Bµi5: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi ta quay ElÝp (E): quanh Ox.