Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai trong việc tìm cực trị của các đại lượng cơ bản trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh

Mở ĐầU
Trong chương trình Vật lý lớp 12 bài tập về dòng điện xoay chiều đóng một vai trò rất quan trọng. Khi giải bài tập về mạch điện xoay chiều không phân nhánh chúng ta có rất nhiều cách giải như sử dụng giản đồ véctơ, dùng đạo hàm .... 
Sử dụng giản đồ véctơ trong các bài toán liên quan đến độ lệch pha, các bài toán về sự biến thiên của L, C chúng ta sẽ thu được kết quả nhanh và dễ dàng hiểu được, tuy nhiên giản đồ véctơ lại không sử dụng được trong bài toán về sự biến thiên của R, f . 
Sử dụng phương pháp đạo hàm ta cũng có thể giải được bài toán về L, C biến thiên và ngay cả trong các bài toán về sự biến thiên của f, R ta cũng có thể sử dụng được, tuy nhiên trong những trường hợp này nếu sử dụng đạo hàm thì sẽ dễ nhầm lẫn và khó hiểu. Vì vậy khi dạy bài tập tự luận phần dòng điện xoay chiều tôi nhận thấy có một phương pháp có thể sử dụng hiệu quả trong các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đại lượng cơ bản trong mạch điện xoay chiều đó là phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai. Ưu điểm của phương pháp này là sử dụng được trong mọi bài toán từ sự biến thiên của R – tính công suất cho đến các bài toán tìm giá trị cực đại của UL, UC khi L, C biến thiên, đặc biệt trong các bài toán về sự biến thiên của tần số thì phương pháp này cũng thật hiệu quả và đỡ nhầm lẫn. Quan trọng là học sinh dễ hiểu và dễ sử dụng vì phương trình bậc hai đã trở thành quá quen thuộc với học sinh.
Dưới đây tôi chỉ trình bày phương pháp chung và nêu một số bài tập thí dụ cụ thể cũng như đưa ra một số bài tập vận dụng về việc “ ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai trong việc tìm cực trị của các đại lượng cơ bản trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh”để mọi người tham khảo.
NộI DUNG
ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai trong việc tìm cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh 
1. Cơ sở lí thuyết
Trong phần này ta sẽ sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của các đại lượng vật lý.
Lý thuyết: Phương trình bậc hai tổng quát 
	ax2 + bx + c = 0 
Trong đó: a, b, c là những hằng số; a 0
	Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai ta xét D = b2 – 4ac
	Nếu D 0 phương trình có nghiệm
	Nếu phương trình vô nghiệm
Phương pháp chung
Tính các đại lượng yêu cầu theo các công thức đã biết (trong đó có chứa đại lượng biến thiên)
Đưa về dạng phương trình bậc hai của đại lượng biến thiên.
Lập luận phương trình có nghịêm khi từ đó rút ra giá trị cực trị cần tìm .
Biện luận nếu cần.
2. Các ứng dụng
ứng dụng 1. ứng dụng trong việc tìm công suất cực đại khi r thay đổi
Bài toán thí dụ: Cho mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp. R là biến trở có thể thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U. Cho R thay đổi, tìm R để công suất tiêu thụ trên mạch đạt giá trị cực đại, tính giá trị đó. 
Lời giải
	Ta có P=I2R= R2P – U2R +(ZL-ZC)2P=0. 
 Phương trình này phải có nghiệm nên ta có U4-4P2(ZL-ZC)2 0 Hay Pmax= khi đó phương trình có nghiệm R== .
Trường hợp này chúng ta cũng có thể dùng phương pháp đạo hàm nhưng phức tạp hơn và vì vậy dễ bị nhầm lẫn. 
ứng dụng 2. Tìm giá trị lớn nhất của UL, UC khi L, C biến thiên
	Bài toán thí dụ: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp. L có thể thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có tần số f, hiệu điện thế hiệu dụng U. Cho L thay đổi tìm L để UL đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó.
Lời giải
Ta có 	UL = I. ZL = 
Phương trình này phải có nghiệm.
Điều kiện: 
ULmax khi 
Mở rộng: Tương tự ta có thể mở rộng bằng cách sử dụng tính cực trị của hàm số bậc hai như sau:
Xét UL = chia cả tử và mẫu cho ZL ta được
UL = để (UL)max khi mẫu số đạt cực tiểu.
đặt y = = đõy là một hàm số bậc hai của ẩn là x =, hàm số này cú hệ số a > 0 nờn ta thấy với x == = hay thì ymin lúc đó ta có .
tương tự chúng ta có thể giải trong trường hợp của C biến thiên tìm C để UC đạt giá trị cực đại ta có:
UC = I. ZC = 
Phương trình này phải có nghiệm.
Điều kiện: 
ULmax khi 
vậy khi C biến thiên thì UC đạt giá trị cực đại: 
	UCmax = ứng với 
ứng dụng 3. Tìm giá trị lớn nhất của Ul, Uc khi thay đổi
Bài toán thí dụ: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. R,L,C là các đại lượng đã biết đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U, cho biến thiên. tìm giá trị của để ULmax và tính ULmax.
 Lời giải
Ta có thay vào biểu thức của tổngtrở Z ta được Z=
Ta lại có UL=I.ZL ==(1). 
	Từ (1) ta có khai triển ta được phương trình bậc hai của 2. 4 (UL2L2 C2- U2L2C2)– (2U2L LC– UL2 R2 C2) 2+UL2=0 phương trình luôn có nghiệm nên ta có điều kiện UL4C4(2)2 – 4UL2L2C2(UL2-U2) 
 UL2C2(2)2 – 4L2(UL2-U2) 
 UL2[(2L-R2 C)2-4L2] -4L2U2 
 UL2[4L2 -(2L-R2 C)2] 4L2U2 
 UL2max==
 ULMAX= khi đó = thay tỉ số U2/U2L ta được kết quả 2=
Hoàn toàn tương tự ta có thể áp dụng phương pháp này để giải bài toán khi f biến thiên tìm f để UC đạt giá trị lớn nhất ta thu được: 
2=
	ta cũng có thể dùng phương pháp đạo hàm để giải bài toán này ví dụ:
Ta có UL=I.ZL ==(1). Đặt y= và đạo hàm y theo và cho y’=0 ta được 2= Lúc đó ULmax =
Tuy làm bằng phương pháp này nó còn thể hiện được bản chất hiện tượng nhưng học sinh lại khó làm và dễ nhầm hơn phương pháp dùng phương trình bậc hai. 
3. Bài tập áp dụng
Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh, R=100W, C=. L có thể thay đổi được. Tìm L để hiệu điện thế hiệu dụng trên hai đầu cuộn cảm lớn nhất và tìm giá trị đó bằng phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai và phương pháp giản đồ véctơ. Cho tần số dòng điện bằng 50Hz và hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu mạch điện bằng 200V
Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh, R=100W, L=. C có thể thay đổi được. Tìm C để hiệu điện thế hiệu dụng trên hai đầu tụ điện lớn nhất và tìm giá trị đó bằng phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai. Cho tần số dòng điện bằng 50Hz và hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu mạch điện bằng 200V
Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh, R=100W, C=. L =tần số của dòng điện có thể thay đổi được. Tìm để hiệu điện thế hiệu dụng trên hai đầu cuộn cảm, tụ điện lớn nhất và tìm giá trị đó bằng phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai.
Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R là điện trở thuần, 
cuộn dây có điện trở không đáng kể và có độ tự cảm L thay
 đổi được, tụ điện có điện dung biến thiên. Đặt vào hai đầu 
A, B một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng
 không đổi UAB = 120V và tần số f thay đổi được.
Khi f = 50Hz và điều chỉnh L = L1; C = C1 thì thấy giá trị hiệu dụng của các hiệu điện thế UAN = 160V, UNB = 56V và công suất mạch điện là P = 19,2W. Tính R, L, C1
Giữ nguyên L = L1; C = C1 rồi thay đổi tần số cho đến khi hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở đạt giá trị cực đại. Tính f.
Với f = 50Hz, điều chỉnh cho C = C2 rồi điều chỉnh L thì thấy khi L = L2 = thì hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây đạt cực đại. Tìm C2 và giá trị cực đại của hiệu điện thế đó.
Cho mạch điện như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm độ tự 
cảm L, tụ điện có điện dung có thể thay đổi được. 
Hiệu điện thế mắc vào hai đầu AB là 
uAB = 220sin(2f t) V, tần số f có thể thay đổi được.
1. Ban đầu cho f = 50Hz; R = 50W; L = H; C = 
	a. Tìm biểu thức cường độ dòng trong mạch và biểu thức của các hiệu điện thế uAN , uMB
	b. Điều chỉnh C để công suất trên cả mạch đạt cực đại. Tìm C và giá trị của công suất.
2. Trong đoạn mạch AB nói trên, giữ nguyên L, thay R = R1 = 1000W; điều chỉnh C đến giá trị C1 = mF. Giữ nguyên hiệu điện thế hiệu dụng của nguồn thay đổi f đến giá trị f0 sao cho hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. Tính f0 và giá trị cực đại của UC.
V
r, L
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Hai đầu 
AB được đặt vào một hiệu điện thế xoay chiều: 
uAB = 120sin (2ft)V. Tần số f có thể thay
 đổi được. Điện trở vôn kế nhiệt là vô cùng lớn.
Khi f = f1 = 50Hz thì uAN lệch pha / 2 so với uMB; uAB lệch pha /2 so với uAN. Cho biết vônkế chỉ 120V, công suất tiêu thụ trên mạch AB là 360W. Tính R, r, L, C
Khi f = f2 vôn kế chỉ giá trị cực tiểu Umin. Tìm tần số f2 và giá trị Umin.
kết luận
Trên đây tôi đã trình bày về việc ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán về tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh đồng thời liên hệ mở rộng phương pháp này với việc sử dụng tính cực trị của hàm số bậc hai là một hàm số quen thuộc mà học sinh đã học rất nhiều. Phương pháp này rất thiết thực và dễ vận dụng mong các đồng chí nhận xét góp ý cho phương pháp thêm hoàn chỉnh để áp dụng dễ dàng hơn, linh động hơn.
	NBK ngày 20 tháng 5 năm 2007
Người viết : đỗ đình phả