Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm hữu tỷ

 Phửụng Phaựp Giaỷi
 Moọt Soỏ Baứi Toaựn
 Tớch Phaõn Haứm Hửừu Tyỷ
 I)Dạng 1: với 
 Ta thấy được xảy ra 2 trường hợp với hoặc 
 từ đó ta có cách giải khác nhau.
 + Trường hợp1: Với ta có 
 + Trường hợp2: Với ta có 
 Ví dụ 1: Tính 
 Giải:
 Ta có 
 Vậy 
Ví dụ 2: Tính 
 Giải:
 Ta có 
 Vậy 
II) Dạng 2: Tích phân dạng với 
 Để làm được dạng toán này trước tiên ta phải phân tích biểu thức
 Từ đó ta có 
 Lúc này , cho nên ta chỉ xét biểu thức và biệt thức xảy ra 3 trường hợp 
 Trường hợp 1: 
 - Nếu , lúc đó ta đặt và 
 Lúc này tích phân 
 Bài toán trở về tích phân đổi biến số dạng 1 mà các em đã học ở sách giáo khoa lớp 12.
Ví dụ 1: Tính 
 Giải: 
 Ta có 
 - Đặt với 
 - khi x= 0 thì , vậy 
 khi x= 1 thì , vậy 
 Vậy ta đặt ( với )
 Ta có 
 Do đó 
 Vậy 
Trường hợp 2: Nếu , Ta có 
Chú ý: Quay lại bài trường hợp 2 của dạng 1 mà ta đã xét ở trên.
 	Ví dụ 2: Tính 
 Giải:
 Ta có ( vì d(x+1) = dx )
 Vậy 
Trường hợp 3: Nếu , thì tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt và ( với ) và 
 Hơn nữa ( với )
 Ta có 
Chú ý: Quay lại trường hợp 1 của dạng 1
Ví dụ 3: Tính 
 Giải:
 Ta có 
 Vậy 
Chú ý: 
 Từ đó rút ra được những điều cần nhớ của 2 dạng này.
Dạng 1: 
 + Trường hợp 1: 
 + Trường hợp 2: 
 Dạng 2: có 3 trường hợp
 + Trường hợp 1: Nếu , ta đặt và 
 Thì 
 + Trường hợp 2: , ta đặt 
 Thì 
 + Trường hợp 3: Nếu , thì tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt và ( với ) và 
 Thì 
 Hai dạng trên chỉ có mẫu là đa thức chứa biến x, khi gặp cả tử thức cũng là một đa thức chứa x, thì ta đưa về những phân thức đơn giản tùy trường hợp của hai dạng và sau đây ta có dạng thứ 3.
 III) Dạng 3: 
Tổng quát với P(x), Q(x) là hai đa thức.
 + Trường hợp 1: Nếu bậc của P(x) (tử số) nhỏ hơn bậc của Q(x) (mẫu số) thì ta tìm cách phân tích thành những phân thức đơn giản như dang toán 1.
 + Trường hợp 2: Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) ta chia tử cho mẫu và được 
 và đưa về trường hợp 1.
Ví dụ 1: a) 
 b) 
Ví dụ 2: Tính 
 Giải: 
 Phân tích thành những phân thức đơn giản
 Vì 
 Ta đặt 
 Hóa đồng mẫu số ta có 
 Đồng nhất hóa đa thức ta được (*) 
 Suy ra 
 Vậy 
 ( vì d(x-3) = dx và d(x-2) = dx )
 Vậy 
Chú ý: Thay vì giải hệ phương trình để tìm A và B ở trên, ta có thể tính A và B nhanh hơn bằng cách lần lượt cho x = 2 và x = 3 vào Phương trình (*)
 + Với ta có 
 + Với ta có 
Ví dụ 3: 
 Giải: 
 Đặt 
 Hóa đồng mẫu số ta có 
 Dùng phép đồng nhất hóa đa thức ta được 
 (**) 
 Đẳng thức (**) đúng với mọi x. Do đó ta có thể thay x bằng những giá trị thích hợp để xác định A,B,C. Cho x lần lượt các nghiệm của mẫu ta được.
 + Với ta được 
 + Với ta được 
 + Với ta được 
 Suy ra 
 Vậy 
 Vậy 
Ví dụ 4: Tính 
 Giải: 
 Ta có 
 Vậy 
 Tóm lại: Học sinh đã vấp phải không ít khó khăn trong khi giải toán nói chung và những bài toán có nội dung tích phân hàm hữu tỷ nói riêng.
 Những ví dụ trên tôi đưa ra để cho học sinh nắm được một số dạng của bài toán tích phân hàm hữu tỷ, để từ đó giúp cho học sinh dễ dàng giải được các bài toán thuộc dạng này.
C. KEÁT LUAÄN:
Qua quá trình thực tế giảng dạy cho học sinh tại trường, sau khi tôi đưa ra một số dạng toán tích phân hữu tỉ đã giúp cho học sinh biết bớt sự rụt rè, ngại khó khi gặp các bài toán tích phân trên.Nhiều em đã tiến bộ roừ rệt, năng động và hăng say hơn trong việc giải toán noựi chung và các bài toán tích phân hữu tỉ nói riêng .
Thực ra những bài toán và ví dụ tôi đưa ra trong bài viết chỉ mang tính kinh nghiệm thực tế giảng dạy và thụứi gian ngắn ngủi cho nên bài viết có thể thiếu sót, rất mong được đón nhận các ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp.Xin chân thành cảm ơn. 
Tháng 01 năm 2009
 GV:Traàn Vaờn May(st)