Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của cực trị hàm số vào giải toán phổ thông

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM SỐ VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài:
Cực trị hàm số là một đặc tính rất quan trọng của hàm số, giúp chúng ta cùng với tính chất khác của hàm số để khảo sát và vẽ chính xác hoá đồ thị một hàm số, bên cạnh đó có rất nhiều các bài toán liên quan đến tính cực trị của hàm số. Trong chương trình sách giáo khoa chỉ đề cập đến một cách đầy đủ về kiến thức để giúp học sinh và giáo viên nắm một cách cơ bản cách xác định cực trị hàm số, vận dụng vào khảo sát hàm số. Chính vì vậy tôi muốn thực hiện đề tài “ Một số ứng dụng của cực trị hàm số vào giải toán phổ thông” để cùng các đồng chí giáo viên trong tổ thảo luận bồi dưỡng, trang bị thêm kiến thức về một số bài toán liên quan đến tính cực trị của hàm số.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Đưa ra một số phương pháp cơ bản để giải một số bài toán liên quan đến tính cực trị của hàm số.
- Giúp giáo viên, học sinh hệ thống thêm kiến thức về dạng toán này .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu: 
- Tuyển chọn và sắp xếp bài toán theo trình tự hợp lý để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh khối THPT, chủ yếu là học sinh khối 12.
- Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống một số dạng toán của cực trị hàm số trong chương trình THPT .
5. Kết cấu đề tài:
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Kết cấu đề tài.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
1: Kiến thức cơ bản, trình bày các định nghĩa, định lý liên quan	
2: Giới thiệu một số bài toán, phương pháp giải và một số ví dụ minh họa
3: Một số bài tập đề nghị, đáp án
Phần 3: KẾT LUẬN :
 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
I. Kiến thức cơ bản
1 - Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b), x0 ( a; b). Nếu h > 0 sao cho:
	a) x ( x0 - h ; x0 + h) và x ≠ x0 mà ta có f(x) > f(x0) ,ta nói rằng f(x) đạt cực đại tại x0
 b) x ( x0 - h ; x0 + h) và x ≠ x0 mà ta có f(x) < f(x0) ,ta nói rằng f(x) đạt cực tiểu tại x0
Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số gọi chung là các điểm cực trị 
2 - Điểm tới hạn ( điểm dừng) của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Điểm x0 D được gọi là điểm tới hạn ( điểm dừng) của f(x) nếu f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không xác định.
3 – Các định lý :
a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị .
* Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x = x0, và f’(x0) tồn tại thì f’(x0) = 0.
b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị .
* Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) có điểm tới hạn x = x0 và
+ Nếu f’(x) 0 khi x > x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
+ Nếu f’(x) x0 và f’(x) > 0 khi x < x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
+ Nếu f’(x) không đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0
* Định lý 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc 2 và f’(x0 ) = 0 
+ Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
+ Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
II. Một số bài toán về cực trị hàm số
1-Bài toán 1: 
Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại điểm x = x0
a) Phương pháp :
+ Tìm tập xác định 
+ Tính f’(x), xét phương trình f’(x) = 0 và xét các giá trị tại đó làm f’(x) không xác định
+ Xét điều kiện cần để hàm số đạt cực trị .
 x = x0 phải là điểm tới hạn của hàm số, tức là : 
+ Kiểm tra điều kiện đủ.
Cách 1: Kiểm tra tính đổi dấu của f’(x) khi x đi qua x0 .
Cách 2: Xét dấu f”(x0). Nếu f”(x0) = 0 thì ta không sử dụng cách 2 để kiểm tra điều kiện đủ. 
b) Một số ví dụ. 
 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 – ( m + 2 )x2 + mx + 5, đạt cực trị tại x = -1.
Lời giải : 
Tập xác định : D = 
Ta có y’ = 3x2 – 2x (m + 2) + m luôn xác định với mọi x .
Xét y’ = 0 ó 3x2 – 2x (m + 2) + m = 0
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x = -1 là : y’(-1) = 0 ð 3 + 2( m + 2) + m = 0 ð m = - 
Điều kiện đủ để hàm số có cực tri tại x = -1 là y’(x) khi x đi qua x = -1 đổi dấu. Với m = - ,ta có :
y’ = 3x2 + , y’ = 0 ó 
Ta có bảng xét dấu :
x
-∞ 1 7/9 +∞
y’
 + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số đạt cực trị tại x = -1, vậy m = - thoả mãn đề bài.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = đạt cực đại tại x = -2 .
Lời giải :
Tập xác định : D = .
Ta có y’ = , y’ không xác định khi x = - m . 
y’ = 0 ó = 0 ó 5x + 3m – 2 = 0 ó x = .
Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x = - 2 là  x = -2 phải là điểm tới hạn của hàm số, tức là :
 y’ ( -2) = 0 5(-2) + 3m – 2 = 0 m = 4
	ó ó 	
 y’( -2) không xác định	-m = - 2	 m = 2
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại tại x = -2 là y’(x) phải đổi dấu từ dương sang âm khi khi x đi qua x = -2
* Với m = 2, ta có y’ = , y’ không xác đinh tại x = -2, y’ = 0 khi x = , ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số đạt cực đại tại x = -2 khi m = 2. Vậy m = 2 thoả mãn đề bài
* Với m = 4, ta có y’ = , y’ không xác đinh tại x = -4, y’ = 0 khi x = -2, ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, khi m = 4. Vậy m = 4 không thoả mãn đề bài.
2-Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực trị (cực đại, cực tiểu) 
a) Dạng toán liên quan
- Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực trị ( hoặc có ít nhất một điểm cực trị).
- Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) không có cực trị. 
- Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại ( hoặc cực tiểu).
- Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) chỉ có đúng một điểm cực đại (hoặc có đúng một điểm cực tiểu).
b) Phương pháp:
+ Tìm tập xác định. 
+ Tính f’(x) , nhận xét về các điểm tới hạn.
+ Biện luận dấu của f’(x) , kết luận các trường hợp thoả mãn đề bài.
* Chú ý: Nếu f’(x) là tam thức bậc 2, tức là f’(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) , có ∆ = b2 – 4ac thì ta xét các trường hợp : ∆ > 0, ∆ < 0, ∆ = 0
c) Một số ví dụ 
Ví dụ 1 : Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 4(m – 1)x2 + 3mx + 5 tìm m để hàm số không có cực trị.
Lời giải :
Tập xác định : D = .
Ta có y’ = 3(m-1)x2 – 8(m – 1)x + 3m, y’ luôn xác định trên D
y’ = 0 ó 3(m-1)x2 – 8(m – 1)x + 3m = 0, hàm số chỉ có các điểm tới hạn làm cho f’(x) = 0
- Trường hợp 1 : m = 1 ð y’ = 3 > 0 với mọi x D, hàm số đã cho không có cực trị. Vậy m = 1 thoả mãn đề bài.
- Trường hợp 2 : m ≠ 1, y’ có ∆’ = 7m2 – 23m + 16 
+ Nếu ∆’ ≤ 0 tức là 1 < m ≤ thì y’ ≥ 0 với mọi x D, hàm số đã cho không có cực trị. Vậy 1 < m ≤ thoả mãn đề bài.
 + Nếu ∆’ > 0 tức là m thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm phân biệt đó, hàm số đã cho có cực trị .
 Vậy m không thoả mãn đề bài .
Kết luận : Vậy với m hàm số đã cho không có cực trị.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y = tìm m để hàm số phải có cực đại và cực tiểu.
Lời giải :
Tập xác định : D = R\ {1 }
Ta có : y’ = , y’ = 0 ó x2 - 2x + 2 – m = 0, có ∆’ = m – 1
 + Nếu m ≤ 1 tức là ∆’ ≤ 0 thì y’ ≥ 0 với mọi x ≠ 1, suy ra hàm số không có cực trị. Vậy m ≤ 1 không thoả mãn đề bài.
 + Nếu m > 1 tức là ∆’ > 0 thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm phân biệt đó, hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Vậy 
m > 1 thoả mãn đề bài.
Kết luận: Vậy với m > 1 hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx4 – 2(m +1)x2 + 1 tìm m để hàm số chỉ có đúng một điểm cực đại và không có một điểm cực tiểu nào
Lời giải: 
Tập xác định: D = 
Ta có y’ = 4mx3 – 4(m + 1)x = 4x( mx2 – m – 1)
 x = 0
 y’ = 0 ó 
	 mx2 = m + 1 (*) 
+ Trường hợp 1: m = 0 , phương trình (*) vô nghiệm, suy ra y’ = -4x và phương trình y’ = 0 có một nghiệm x = 0
Bảng xét dấu : 
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có một điểm cực đại tại x = 0, vậy m = 0 thoả mãn đề bài.
 + Trường hợp 2: m ≠ 0
- Nếu m(m + 1) < 0 tức là m ( 0 ; 1 ) phương trình (*) vô nghiệm, suy ra y’ = -4x( mx2 – m – 1) và phương trình y’ = 0 có một nghiệm x = 0
Bảng xét dấu : 
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có một điểm cực đại tại x = 0, vậy m ( 0 ; 1 ) thoả mãn đề bài
Nếu m = - 1 phương trình (*) có một nghiệm x = 0, suy ra y’ = -4x3 và phương trình y’ = 0 có một nghiệm x = 0
Bảng xét dấu : 
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có một điểm cực đại tại x = 0, vậy m = -1 thoả mãn đề bài
- Nếu m(m + 1) > 0, tức m , phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt, và y’ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, suy ra hàm số có cả cực đại và cực tiểu. Vậy m không thoả mãn đề bài
Kết luận: Với m [ 0 ; 1] hàm số đã cho có đúng một điểm cực đại, và không có điểm cực tiểu nào.
3-Bài toán 3: 
Một số bài toán liên quan đến điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).
3.1 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
 y = f(x).
a) Phương pháp:
+ Tìm tập xác định.
+ Tính y’, tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
+ Toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của hệ. 
 f’(x) = 0 , hoặc f’( x) không xác định
 ( I )
 y = f(x)
+ Ta biến đổi hệ (I ) về dạng y = Ax + B, suy ra các điểm cực đại, cực tiểu luôn thuộc đường thẳng y = Ax + B .
b) Ví dụ 1: 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 
 y = x3 – x2 – 3x + 5 
Lời giải: 
Tập xác định : D = R
Ta có y’ = 3x2 – 2x – 3, luôn xác định với mọi x 
y’ = 0 ó 3x2 – 2x – 3 = 0 , có ∆ = 10 > 0 suy ra y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, và y’ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó. Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu
Toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu là nghiệm của hệ
 3x2 – 2x – 3 = 0 3x2 – 2x – 3 = 0 	
 ó
 y = x3 – x2 – 3x + 5 y = (3x2 – 2x – 3) 
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình y = 
c) Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y =.
Lời giải:
Tập xác định: D = \ {-2}
Ta có y’ = 
y’ không xác định x = -2 , ta nhận thấy rằng x = -2 , 
y’ = 0 ó x2 - 4x + 10 = 0 , có ∆’ = 14 > 0, y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 2, và y’ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm, nên hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu. Toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn hệ phương trình.
 y’ = 0 (x2 – 4x + 2)’(x + 2) – (x + 2)’ (x2 – 4x + 2) = 0 
 ó 
 y = y = 
 ó (x2 – 4x + 2)’(x + 2) – (x + 2)’ (x2 – 4x + 2) = 0
	y = 2x – 4 
Phương trình đường thẳng cần tìm y = 2x – 4 .
* Chú ý: Từ cách làm trên ta suy ra cách tính nhanh cực trị của hàm số y = f(x) như sau: 
+ Viết phương trình đường thẳng y = Ax + B đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
+ Thay hoành độ cực trị của hàm số vào phương trình y = Ax + B, tính ra các cực trị hàm số.
3.2 Tìm điều kiện để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x) thoả mãn điều kiện T nào đó.
a) Phương pháp:
+ Tìm tập xác định.
+ Tính f’(x), và xác định điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
+ Xác định điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số A( x1 ; y1), B(x2 ; y2).
 - Nếu đề bài cho các điểm cực đại, cực tiểu bình đẳng với nhau ( không có sự khác biệt giữa các điểm cực đại, cực tiểu) thì ta gọi chung các điểm cực đại , cực tiểu là A( x1 ; y1), B(x2 ; y2).
 - Nếu đề bài cho các điểm cực đại, cực tiểu có sự phân biệt thì ta phải tính x1, x2, lập bảng xét dấu suy ra điểm cực đại, cực tiểu của hàm số , và tính y1, y2.
+ Ép điều kiện để các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện T.
+ Kết luận.
b) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 3x + m tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại, cực tiểu sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc toạ độ.
Lời giải:
Tập xác định : D = 
Ta có y’ = 3x2- 6x – 3 , y’ = 0 ó 3x2- 6x – 3 = 0 có ∆’ = 18 > 0 , vậy y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm đó. Suy ra hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Gọi các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là A( x1 ; y1), B(x2 ; y2) với toạ độ của A, B là nghiệm của hệ
 3x2- 6x – 3 = 0 x2- 2x – 1 = 0 
 y = x3 – 3x2 – 3x + m y = -4x + m - 1
Để tam giác OAB vuông tại O, ta có OA. OB = 0 
 ð x1.x2 + y1.y2 = 0 
 ó x1.x2 + (-4x1+ m – 1)( -4x2 + m – 1) = 0 (*)
	 x1 + x2 = 2
Mặt khác theo Viet ta có 	 Thay vào (*) ta được 
 x1. x2 = - 1 
 m2 – 10m - 8 = 0 ó m = 5 
c) Ví dụ 2 : Cho hàm số y = tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 4.
Lời giải :
Tập xác định : D = \ {1}
Ta có y’ = luôn xác định vói mọi x 
y’ = 0 ó x2 – 2x + 2 – m = 0 , có ∆’ = m – 1
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình g(x) = x2 – 2x + 2 – m = 0 (* ) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là ∆’ = m – 1
 ó m > 1 
 g(1) = 1 – m ≠ 0 
Gọi các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là A( x1 ; y1), B(x2 ; y2), trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) và y1 = 2x1 – 2, y2 = 2x2 – 2
Ta có AB = 4 ó (x2- x1)2 + (y2 – y1)2 = 16
 ó 5 [ (x1 + x2)2 - 4 x1.x2] = 16 (* * )
Mặt khác theo Viet ta có x1 + x2 = 2, x1. x2 = 2 – m , thay vào ( * * ) ta có 
 	5[ 4 – 4(2 – m)] = 16 
 ó m = ( thoả mãn)
 Vậy giá trị cần tìm là m = .
III. Một số bài tập đề nghị
Bài tập 1: Tìm a, b để đồ thị hàm số y = nhận M ( 3 ; 10 ) là điểm cực tiểu
Đáp số : a = -2, b = - 1
Bài tập 2: Tìm k để hàm số y = sinx + k. cosx + x đạt cực đại tại điểm x = 
Đáp số: k = 1
Bài tập 3: Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 4mx + 1 có cực trị
Đáp số : m 
Bài tập 4: Tìm m để hàm số y = -2x + m có cực tiểu
Đáp số : m > 2 
Bài tập 5 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 3mx + 1 có 2 điểm cực đại, cực tiểu sao cho các điểm này đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng x – 4y +10 = 0
Đáp số : m = 2 
Bài tập 6 : Tìm a, b để đồ thị hàm số y = có phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu là y = 2x + 3
Đáp số: a = 1, b = 2
Bài tập 7: Cho hàm số y = , tìm k để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu thuộc về hai phía của đường thẳng x + y + 1 = 0
Đáp số : k > 
Bài tập 8: Cho hàm số y = mx + , tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu sao cho khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng mx – y = 0 bằng 
Đáp số: m = 1
 PHẦN III-KẾT LUẬN:
Trên đây là một số bài toán sử dụng tính cực trị của hàm số để giải mà bản thân tôi đã đúc rút được qua quá trình giảng dạy môn Toán 12 và tìm tòi các tài liệu tham khảo. Tôi nhận thấy khi các em học sinh lớp 12 được trang bị và hệ thống các kiến thức từ dễ đến khó như trình bày ở trên thì hầu hết các em tự tin, không lung túng nữa khi các em gặp các dạng toán về tính cực trị của hàm số và có thể nói đa số các em giải tốt hơn.
Tuy rằng, ngoài các phương pháp và các ví dụ tôi đã nêu trong bài viết này còn có các phương pháp và các ví dụ hay hơn mà bản than tôi chưa được tìm hiểu đến. Rất mong sự đóng góp ý kiến của tất cả các đồng nghiệp để kinh nghiệm này ngày càng hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán nói chung và phương pháp giải các bài toán về cực trị hàm số nói riêng.
Nam Sách, ngày 25 tháng 3 năm 2011
MỤC LỤC
 Trang
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ. 1
Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2
I. Kiến thức cơ bản. 2
II. Một số bài toán về cực trị . 3
1. Bài toán 1. 3
2. Bài toán 2. 5
3. Bài toán 3. 8
III. Một số bài tập đề nghị. 12
Phần 3: Kết luận. 13