Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác tính đối xứng trong chứng minh bất đẳng thức

Phần 1	ĐẶT VẤN ĐỀ
Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Nguyên nhân là vì: thứ nhất, bất đẳng thức là bài toán khó, đòi hỏi phải tư duy sâu sắc và thường dùng để phân loại học sinh; thứ hai, cách giải khá đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách giải mang tính thủ thuật, không tự nhiên làm cho học sinh không có cách nhìn bao quát về nó. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đưa ra một kĩ thuật đơn giản (đó là khai thác tính đối xứng của các biến) nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Điều quan trọng là học sinh có thể được định hướng cách giải ngay từ đầu.
Qua nghiên cứu đề thi vào đại học, các đề thi học sinh giỏi, tôi thấy phần lớn đều có bài về bất đẳng thức, hơn nữa nó còn có dạng đối xứng đối với các biến nên vấn đề khai thác triệt để tính đối xứng có vai trò quyết định đến lời giải của bài toán. Đề tài của tôi chỉ nghiên cứu một khía cạch rất nhỏ đó là sử dụng điều kiện , với và để tìm ra ràng buộc giữa các biến. Điều quan trọng là phương pháp này có tính tổng quát rất cao và có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán có dạng: “Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng , trong đó là một biểu thức đối xứng đối với ba biến x, y và z”.
Xuất phát từ những lí do nêu trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm này với hy vọng cung cấp cho học sinh một phương pháp có hiệu lực để chứng minh BĐT. Đề tài cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, vì điều kiện thời gian có hạn và cách trình bày có thể chưa thật tốt nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các bạn độc giả đọc và góp ý cho tôi, tôi xin chân thành cảm ơn.
Phần 2	GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí thuyết
Đa thức được gọi là đối xứng đối với x và y nếu
* Tính chất.
+ Mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được qua và 
+ 
Nếu hàm số có và 
thì
Chứng minh.
TH 1. a = 0. Kết quả là hiển nhiên
TH 2. a > 0 thì là hàm số đồng biến trên đoạn nên 
TH 3. a < 0 thì là hàm số nghịch biến trên đoạn nên 
Vậy 
Phép chuẩn hóa.
Biểu thức được gọi là thuần nhất bậc n nếu 
Do vậy, nếu k > 0 thì . Đặt 
và chọn k = > 0 thì và .
Do đó đối với những bất đẳng thức thuần nhất ta có thể giả thiết thêm (hoặc nếu chọn ). Việc làm trên gọi là chuẩn hóa.
II. Bài tập áp dụng
Bài 1 (IMO 1984)
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng
 (1)
Giải.
(1) 	.
Đặt và xét 
Ta có 
	. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét. Trong bài toán này, ta không biết được dấu của . Tuy nhiên, ta có thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của trên đoạn chỉ đạt được tại hai đầu mút. Cách làm này tránh được việc phải xét nhiều trường hợp.
Bài 2 (Olympic 30 – 4 năm 2000)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng
 (2)
Giải.
(2) 	
Đặt và xét 
Ta có 	
	. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc và các hoán vị của nó. Bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét. Trong các chứng minh trên, giả thiết là quan trọng. Vì vậy đối với những bất đẳng thức chưa cho giả thiết này mà có tính đồng bậc (thuần nhất) thì ta có thể chuẩn hóa để tạo ra chúng.
Bài 3 (BĐT AM – GM cho ba số không âm)
Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
Chứng minh. 
TH 1. . BĐT là hiển nhiên.
TH 2. . Chia hai vế cho ta được
Đặt thì và bất đẳng thức đã cho trở thành hay .
Đặt và xét hàm số trên 
Ta có ; (do ).
Vậy . BĐT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay 
Nhận xét. BĐT ở trên là thuần nhất nên ta có thể tạo ra giả thiết . Từ đây, nếu BĐT là thuần nhất thì ta có thể giả thiết thêm .
Bài 4 (IMO 1964)
Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng
 (3)
Giải.
Do BĐT là thuần nhất nên nhờ chuẩn hóa ta có thể giả thiết thêm .
Thay vào (3) ta được
Đặt và xét 
Ta có 
	.
Đẳng thức xảy ra hoặc và các hoán vị của nó. Điều này tương đương với hoặc và các hoán vị của nó.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 5. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng
 (4)
Giải.
Do BĐT là thuần nhất nên nhờ chuẩn hóa ta có thể giả thiết thêm .
Khi đó (4) 
. Theo Bài 4 thì BĐT này là đúng.
Bài 6. Cho a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Giải. Coi c như tham số, ta được hệ đối xứng loại (I) đối với a, b
Chứng minh tương tự ta được . Vậy 
Bài 7. Trong các nghiệm (x ; y) của hệ , hãy tìm nghiệm sao cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Giải. Đặt thì hệ tương đương với 
Ta có 
Điều kiện đối với a để hệ có nghiệm (x ; y) là
 (thỏa mãn điều kiện ).
Khi đó 
Xét hàm số .
Lập bảng biến thiên của hàm số này trên đoạn ta được 
 khi hoặc , tức là khi hoặc 
 khi , tức là khi hoặc 
Bài 8 (HSG Quốc gia năm 2005)
Cho x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x + y.
Giải. Đặt . Bài toán trở thành: tìm S để hệ phương trình sau có nghiệm
 (I)
Đặt thì và . Hệ trở thành
Hệ (I) có nghiệm (x ; y) khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (a ; b) sao cho a ³ 0, b ³ 0 
Vậy 
Bài 9 (Đề thi tuyến sinh đại học năm 2006 khối A)
Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = .
Giải. 
Ta có . Đặt .
Bài toán trở thành: Cho a, b thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của A = . Ta có A = .
Từ giả thiết .
Đặt và xét hệ phương trình
.
Đẳng thức xảy ra . Vậy .
III. Bài tập tham khảo
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
P = 
Phần 3	KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Giúp học sinh hiểu sâu hơn về bất đẳng thức, mối quan hệ của nó với tính đơn điệu của hàm số, với hệ phương trình, với tính đối xứng của các biến, từ đó học sinh có được cái nhìn đa chiều về bất đẳng thức, thấy được tính ứng dụng của những mối quan hệ này trong chứng minh bất đẳng thức, qua đó gây được hứng thú, tạo được niềm tin và tinh thần học tập bộ môn.
2. Cung cấp cho học sinh một công cụ đơn giản nhưng có hiệu lực khi chứng minh một số bất đẳng thức có dạng như đã nêu.
3. Thông qua việc chứng minh BĐT, tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ giáo dục và đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lí sợ bài toán về chứng minh BĐT và còn có thể tạo ra những BĐT cho riêng mình.
Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không những nắm vững được phương pháp, biết cách vận dụng vào những bài toán cụ thể mà còn rất hứng thú khi học tập chuyên đề này. Khi học trên lớp và qua các lần thi thử đại học, số học sinh làm được bài về BĐT cao hơn hẳn các năm trước và các em không được học chuyên đề này.
Một số đề xuất
Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, việc học sinh phát hiện ra những cách giải khác nhau cần được khuyến khích. Song trong những cách giải đó cần phân tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn được cách giải tối ưu. Đặc biệt cần chú ý tới những cách giải bài bản, có phương pháp và có thể áp dụng phương pháp đó cho nhiều bài toán khác. Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thầy cô giáo cùng các em học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau. Chẳng hạn, các bài toán về ứng dụng tính đơn điệu của hàm số; dùng đạo hàm để chứng minh BĐT; ứng dụng cực trị vào tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số; ứng dụng của tích phân hay tổ hợp và xác suất; Đối với đề tài này, các thầy cô có thể phát triển theo hướng khai thác giả thiết , hoặc là tìm một số bài toán mà khi biểu diễn theo và ta được một hàm số bậc 2 theo .
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám đốc Sở, Ban giám khảo và các đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ý cho tôi hoàn thành đề tài SKKN này.