Sáng kiến kinh nghiệm Giảng dạy bài “Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số”

 1 
I- Đặt vấn đề 
1) Cơ sở lý luận: 
 Đất n−ớc ta đang trên đ−ờng đổi mới vμ phát triển, nền kinh tế tri thức đòi hỏi 
cần phải có những con ng−ời toμn diện, có đủ Đức - Trí - Thể - Mỹ. Nhu cầu đó đặt 
ra cho nền giáo dục n−ớc ta nhiệm vụ mới, tr−ớc hết cần phải đổi mới nội dung 
ch−ơng trình sách giáo khoa sao cho phù hợp với thực tiễn, phải đ−a ra đ−ợc ph−ơng 
pháp dạy học thích hợp, có hiệu quả. Ph−ơng pháp dạy học mới phải lμm thế nμo để 
giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động tích cực đồng thời biết vận 
dụng các kiến thức đã học vμo giải quyết các bμi toán thực tiễn một cách linh hoạt, 
sáng tạo, ph−ơng pháp đó phải lấy trò lμm trung tâm, thầy lμ ng−ời h−ớng dẫn học 
sinh đi tìm tri thức - Đó lμ ph−ơng pháp dạy học tích cực, thầy thiết kế, trò thi 
công. 
2) Cơ sở thực tiễn: 
 Thực tế trong những năm qua, nhìn chung chất l−ợng giáo dục của n−ớc ta nói 
chung vμ tr−ờng THPT Đô L−ơng 2 nói riêng còn thấp. Đại bộ phận học sinh vẫn 
tiếp thu các kiến thức một cách thụ động vμ vận dụng các kiến thức đã học vμo giải 
toán một cách máy móc, thiếu sáng tạo. Hầu hết các em ch−a có cách học tập hiệu 
qủa, việc học còn mang tính áp đặt, bắt buộc, các em ch−a thấy đ−ợc nhu cầu cần 
phải học-Ch−a biết mình học để lμm gì. Số ít còn lại đã thấy đ−ợc nhu cầu cần phải 
trang bị cho mình vốn tri thức để lμm hμnh trang vμo đời, tuy nhiên các em vẫn 
ch−a thực sự chủ động, tích cực, sáng tạo trong việc chiếm lĩnh tri thức. 
 Tr−ớc thực trạng đó, nghμnh giáo dục n−ớc ta đã không ngừng sửa đổi, chỉnh lý 
sách giáo khoa, đổi mới nội dung vμ ph−ơng pháp dạy học cho phù hợp, trang bị các 
thiết bị, ph−ơng tiện dạy học phong phú, hiện đại... . Cá nhân tôi, qua năm năm 
 2 
giảng dạy tôi đã cố gắng sử dụng các ph−ơng pháp dạy học thích hợp để phần nμo 
khắc phục các nh−ợc điểm trên của học sinh; 
3- Thực trạng. 
Ph−ơng pháp dạy học mới lấy học sinh lμm trung tâm, các thầy cô giáo lμ 
những ng−ời tạo ra các vấn đề để giúp học sinh t− duy giải quyết vấn đề để tìm ra 
chân lý vμ quan trọng hơn nữa lμ vận dụng các kiến thức đã học để vận dụng vμo 
thực tiễn. Để lμm tốt vấn đề nμy ngoμi việc nắm vững kiến thức phổ thông, tr−ớc 
mỗi tiết dạy giáo viên cần chuẩn bị kỹ giáo án, tìm tòi suy nghĩ kỹ các vấn đề cơ 
bản của bμi học đ−ợc trình bμy ở sách giáo khoa nhằm tạo ra các hoạt động hợp lý, 
các tình huống thực sự có vấn đề để học sinh giải quyết. Có nhiều nội dung đ−ợc 
sách giáo khoa trình bμy rất ngắn gọn (để đảm bảo thời gian) nh−ng ẩn chứa nhiều 
kiến thức quan trọng nên trong quá trình giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh 
phân tích kỹ để thấy bản chất của vấn đề. Khái niệm “Đồ thị hμm số lồi, lõm” lμ 
một ví dụ cụ thể. 
Thực tế trong quá trình giảng dạy bμi “Tính lồi lõm vμ điểm uốn của đồ thị 
hμm số” tôi thấy, hầu hết học sinh chỉ nắm đ−ợc cách xét tính lồi lõm vμ điểm uốn 
của đồ thị hμm số (bằng công cụ đạo hμm) mμ ch−a biết cách phân tích để khai thác 
các tính chất của nó để sử dụng vμo giải toán; 
Một thực trạng nữa th−ờng gặp ở hầu hết học sinh phổ thông lμ gặp rất nhiều 
khó khăn trong việc giải bμi toán về bất đẳng thức, vẫn biết rằng đây lμ một trong 
những dạng toán khó nhất đối với học sinh phổ thông vì nó không có một quy trình 
giải rõ rμng, không có ph−ơng pháp giải cụ thể mμ có rất nhiều ph−ơng pháp giải 
trong đó có ph−ơng pháp sử dụng đạo hμm. 
Trong phạm vi đề tμi nμy tôi không có tham vọng đ−a ra một ph−ơng pháp tối 
−u để giải quyết vấn đề trên mμ chỉ trình bμy một kinh nghiệm nhỏ của bản thân 
giúp học sinh phát hiện vμ khai thác tính chất của đồ thị hμm số lồi để vận dụng vμo 
giải toán, qua đó rèn luyện khả năng t− duy cho học sinh, không những cung cấp 
cho học sinh một công cụ để giải toán mμ còn giúp học sinh tự sáng tạo ra các bμi 
toán hay vμ khó (một yếu tố rất cần thiết ở ng−ời lμm toán). 
 3 
II- Nội dung. 
Chúng ta bắt đầu bằng bμi toán quen thuộc ở lớp 11 (SGK chỉnh lý hợp nhất 2000) 
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có 
sinA + sinB + sinC ≤ 3 3
3
Cách giải sau đây lμ phổ biến đối với học sinh: 
Xét: sinA + sinB + sinC +sin
3
π
 = 2sin
A B
2
+
.cos
A B
2
−
 + 2sin(
C
3
2
π+
).cos(
C
3
2
π−
) 
≤ 2sin A B
2
+
 + 2 sin(
C
3
2
π+
) 
≤ 4sin( 3A 3B 3C
12
+ + + π
) = 4sin
3
π
Vậy ta có: sinA + sinB + sinC ≤ 3sin
3
π
 = 3
3
3
Dấu “=” xảy ra khi A = B = C. 
Cách giải sau đây phổ biến ở nhiều sách đọc thêm toán: 
Xét hμm số: y = f(x) = sinx trên (0 ; π ) 
Với mọi x1, x2 ∈ (0 ; π ) ta có : 
sinx1 + sinx2 = 2sin
1 2
2
+x x
.cos 1 2
2
−x x
 ≤ 2sin 1 2
2
+x x
 nên hμm số y = sinx 
lồi trên (0 ; π ) 
áp dụng tính chất hμm số lồi cho 3 số A, B, C ∈(0 ; π ) ta có 
sinA + sinB + sinC ≤ 3sin A B C
3
+ +
 ≤ 3sin
3
π
 (đpcm) 
Nhận xét: Cách giải trên đây rất hay vμ “gọn”, cách giμi nμy có thể sử dụng để giải 
nhiều bμi toán về chứng minh bất đẳng thức rất hữu hiệu tuy nhiên nó không phổ 
thông, bởi lẽ: Khái niệm "hμm số lồi" không đ−ợc trình bμy ở sách giáo khoa phổ 
 4 
thông, cho dù ở các sách tham khảo đã trình bμy khái niệm hμm số lồi, hμm số lõm 
vμ các tính chất nh− sau: 
1) Hμm số y = f(x) đ−ợc gọi lμ lồi trên (a; b) nếu vμ chỉ nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) ≤ 2f( 1 22
+x x
) (dấu "=" xảy ra khi x1 = x2) 
2) Hμm số y = f(x) đ−ợc gọi lμ lõm trên (a; b) nếu vμ chỉ nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) ≥ 2f( 1 22
+x x
) (dấu "=" xảy ra khi x1 = x2) 
3) Tính chất : 
- Nếu hμm số y = f(x) lồi trên (a; b) thì ∀x1, x2, ... , xn ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≤ nf( 1 2 ...+ + + nx x xn ) 
- Nếu hμm số y = f(x) lõm trên (a; b) thì ∀x1, x2, ... , xn ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≥ nf( 1 2 ...+ + + nx x xn ) 
(dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 = ...= xn) 
Do khái niệm nμy không đ−ợc trình bμy ở SGK phổ thông nên nó không đ−ợc 
phép sử dụng để giải toán trong các kỳ thi tuyển sinh. 
Đến lớp 12, khi dạy vμ học đến bμi "Tính lồi, lõm vμ điểm uốn của đồ thị hμm số", 
nhiều học sinh khá đã thắc mắc : Liệu tính lồi, lõm của đồ thị hμm số có liên hệ nh− 
thế nμo với khái niệm hμm số lồi (lõm) đ−ợc trình bμy ở sách tham khảo ? 
Khái niệm đồ thị hμm số lồi, lõm đ−ợc trình bμy ở SGK Giải tích 12 chỉnh lý hợp 
nhất năm 2000, trang 66-67-NXBGD nh− sau : 
Xét đồ thị ACB hμm số y = f(x) biểu diễn trong hình d−ới đây. Giả thiết rằng 
tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến. 
Cung AC đ−ợc gọi lμ cung lồi, nếu tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn 
nằm phía trên cung AC. Nếu a, c lần l−ợt lμ hoμnh độ của A vμ C thì ta nói 
(a; c) lμ khoảng lồi của đồ thị 
 5 
Cung CB đ−ợc gọi lμ cung lõm nếu tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn 
ở phía d−ới. Nếu c, b lần l−ợt lμ hoμnh độ của C vμ B thì ta nói (c; b) lμ 
khoảng lõm của đồ thị. 
Sau đó SGK đã đ−a ra các dấu hiệu để nhận biết đồ thị hμm số lồi hay lõm trên 
khoảng (a; b) bằng công cụ đạo hμm. 
Định lý: Cho hμm số y = f(x) có đạo hμm tới cấp hai trên khoảng (a; b). 
 1. Nếu f’’(x) < 0 với mọi x∈(a; b) thì đồ thị của hμm số lồi trên khoảng đó. 
 2. Nếu f’’(x) > 0 với mọi x∈(a; b) thì đồ thị của hμm số lõm trên khoảng đó. 
Nh− vậy, nếu không có chú ý gì thêm thì qua bμi nμy chỉ đọng lại trong học 
sinh hình ảnh của cung lồi, cung lõm vμ dấu hiệu nhận biết cung lồi, cung lõm cũng 
nh− các bμi toán xét tính lồi lõm của đồ thị hμm số, mμ học sinh ch−a thấy đ−ợc bản 
chất của vấn đề, ch−a biết thêm các tính chất đ−ợc suy ra từ khái niệm đ−ợc trình 
bμy ở SGK nên ch−a vận dụng đ−ợc tính chất của nó vμo giải toán. 
Vì thế, khi dạy xong bμi nμy giáo viên nên nêu vấn đề để học sinh về nhμ giải quyết 
hoặc cùng với học sinh giải quyết vấn đề trên trong các giờ học phụ đạo. 
Trở lại với khái niệm hμm số lồi (lõm) ở các sách tham khảo ta thấy, nếu học 
sinh đ−ợc quyền áp dụng để giải toán thì tr−ớc hết ngoμi việc lựa chọn hμm thích 
a c b x O
y 
M
M
A
C
B
khoảng lồi khoảng lõm
 6 
hợp học sinh cần phải kiểm tra xem hμm số đang xét có tính lồi hay lõm trên 
khoảng (a; b), nghĩa lμ phải chứng minh ∀x1, x2 ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) ≤ 2f( 1 22
+x x
) 
hoặc f(x1) + f(x2) ≥ 2f( 1 22
+x x
) 
Sau đó muốn áp dụng cho nhiều hơn hai số thì phải chứng minh tính chất của 
hμm số lồi (lõm). Tuy nhiên việc lμm nμy không phải bao giờ cũng dễ dμng. Chẳng 
hạn ta xét ví dụ sau : 
Cho x1, x2, ... , xn lμ các số thực d−ơng, k > 1 . Chứng minh rằng: 
1 2 ...( )knx x x
n
+ + + ≤ 1 2 ...
k k k
nx x x
n
+ + +
Để giải quyết bμi toán nμy theo cách trên thì ta xét hμm số y = xk (k > 1) trên 
khoảng (0; +∞ ) vμ chứng minh đây lμ hμm số lồi, nghĩa lμ phải chứng minh 
∀x1, x2 ∈(0; +∞ ) thì: 1 2( )2
kx x+ ≤ 1 2
2
k kx x+
. 
Tuy nhiên đây lại lμ một bμi toán không dễ. 
Liệu có cách giải quyết nμo nhanh vμ đơn giản hơn không? Tới đây giáo viên có thể 
nêu lên vấn đề vμ yêu cầu học sinh giải quyết (đối với học sinh khá giỏi thì giáo 
viên có thể phân tích thêm để học sinh tự nêu vμ giải quyết vấn đề). Nếu ta tìm đ−ợc 
sự liên hệ giữa khái niệm hμm số lồi đ−ợc trình bμy ở sách tham khảo vμ khái niệm 
đội thị hμm số lồi ở SGK thì ta có quyền áp dụng đạo hμm để giải quyết bμi toán 
trên, lúc nμy việc xét hμm só lồi hay lõm trở nên dễ dãng hơn rất nhiều. Từ đó giáo 
viên dẫn dắt học sinh tới việc phát hiện vμ chứng minh các bổ đề sau: 
Bổ đề 1: 
Nếu một hμm số có đồ thị lồi trên (a; b) thì sẽ có các tính chất nh− "hμm 
số lồi". Nghĩa lμ nếu hμm số y = f(x) có đồ thị lồi trên (a; b) thì ∀x1, x2 ∈ (a; b) 
ta có f(x1) + f(x2) ≤ 2f( 1 22
+x x
) dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 
 7 
Chứng minh: 
Xét hμm số y = f(x) có đồ thị lồi trên (a; b) 
 ∀x1, x2 ∈ (a; b) đặt x0 = 1 22
x x+
 (rõ rμng x0 ∈ (a; b)). 
Giả sử y = g(x) = Ax + C lμ ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hμm số y = f(x) tại 
điểm (x0; f(x0)). Từ định nghĩa đồ thị hμm số lồi trên (a; b) ta suy ra: 
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
≤⎧⎨ ≤⎩
 suy ra f(x1) + f(x2) ≤ g(x1) + g(x2) = g(x1 + x2) = 2g( 1 22
x x+ ) 
 = 2g(x0) = 2f(x0) (vì x0 lμ hoμnh độ tiếp điểm) 
 Suy ra: f(x1) + f(x2) ≤ 2f( 1 22
x x+ ) 
dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 (đpcm) 
Bổ đề 2: 
Nếu hμm số y = f(x) có đồ thị lồi trên (a; b) thì ∀x1, x2, ... , xn ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≤ nf( 1 2 ...+ + + nx x xn ) dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 = ...= 
xn 
Chứng minh: 
Xét hμm số y = f(x) có đồ thị lồi trên (a; b) 
 ∀x1, x2, ... , xn ∈ (a; b), đặt x0 = 1 2 ... nx x xn
+ + +
 (rõ rμng x0 ∈ (a; b)). 
Giả sử y = g(x) = Ax + C lμ ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hμm số y = f(x) tại 
điểm (x0; f(x0)). T−ơng tự trên ta có: 
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
...
( ) ( )n n
f x g x
f x g x
f x g x
≤⎧⎪ ≤⎪⎨⎪⎪ ≤⎩
 8 
suy ra f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≤ g(x1) + g(x2) + .. + g(xn) 
≤ n.g( 1 2 ... nx x x
n
+ + +
) 
 ≤ n.g(x0) = nf(x0) 
Vậy∀x1, x2, ... , xn ∈ (a; b) ta có f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≤ n.f( 1 2 ...+ + + nx x xn ) 
dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 = ...= xn (đpcm) 
Hoμn toμn t−ơng tự ta có thể yêu cầu, gợi ý để giúp học sinh chứng minh đ−ợc 
bổ đề sau : 
Bổ đề 3 : 
Nếu hμm số y = f(x) lõm trên (a; b) thì ∀x1, x2, ... , xn ∈ (a; b) ta có 
f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≥ nf( 1 2 ...+ + + nx x xn ) 
dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 = ...= xn 
Với việc lμm trên chúng ta không những đã giúp học sinh nắm vững đ−ợc 
khái niệm đồ thị hμm số lồi (lõm), ph−ơng pháp chứng minh hμm số có đồ thị lồi 
(lõm) trên (a; b), mμ quan trọng hơn ta đã cung cấp cho học sinh một công cụ để 
giải một số các bμi toán bất đẳng thức, bμi toán tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) 
rất hữu hiệu, hơn nữa ta thấy các chứng minh trên rất đơn giản, học sinh hoμn toμn 
có thể chứng minh đ−ợc. 
Tất nhiên, để hoμn thiện việc giải bμi toán chứng minh bất đẳng thức bằng ph−ơng 
pháp trên, giáo viên cần giúp học sinh xây dựng quy trình giải toán gồm các b−ớc 
cơ bản sau: 
 B−ớc 1: Xác định dạng toán có thể sử dụng đ−ợc ph−ơng pháp trên 
B−ớc nμy rất quan trọng, để lμm tốt điều nμy tr−ớc hết giáo viên cần cung cấp cho 
học sinh một hệ thống các ví dụ đa dạng để qua đó hình thμnh ở học sinh t− duy về 
“dạng toán”. (Bởi vì chúng ta không thể đ−a ra một định nghĩa t−ờng minh bμi toán 
nμo thì sử dụng đ−ợc ph−ơng pháp hμm số lồi). Tuy nhiên giáo viên cũng nên cho 
 9 
học sinh thấy đ−ợc “đặc tr−ng” của các bất đẳng thức đã chứng minh ở các bổ đề lμ: 
Có một vế lμ tổng của các giá trị hμm số, vế kia lμ 1 giá trị của hμm. 
 B−ớc 2: Chọn hμm số vμ miền xác định thích hợp 
B−ớc 2 vμ b−ớc 1 có thể không phân biệt rõ rμng vì đôi khi cả hai b−ớc nμy đều 
hình thμnh song song trong quá trình t− duy. Để lμm tốt b−ớc nμy giáo viên cần 
h−ớng dẫn học sinh phân tích kỹ yêu cầu bμi toán, vì việc chọn hμm đ−ợc hình 
thμnh từ việc phân tích bất đẳng thức cần chứng minh cũng nh− điều kiện của giả 
thiết. 
 B−ớc 3: Dựa vμo đạo hμm cấp hai để chứng minh hμm số có đồ thị lồi hay 
lõm. 
 B−ớc 4: Chứng minh các bổ đề cần thiết cho việc giải quyết bμi toán (Các bổ 
đề đã đ−ợc chứng minh ở trên) 
 B−ớc 5: Vận dụng các bổ đề để chứng minh bμi toán. 
* Các bμi toán minh hoạ: 
Bμi toán 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta có: 
cosA + cosB + cosC ≤ 3
2
Giải: 
Ta thấy vế trái lμ tổng của các giá trị hμm số y = cosx, vế phải lμ một số (đó chính 
lμ 3cos
3
π ). Từ đó ta có cách giải quyết 
Xét hμm số: y = f(x) = cosx trên (0 ; 
2
π
) ta có 
y'' = - cosx <0 ∀x ∈(0 ; 
2
π
) 
nên đồ thị hμm số y = f(x) = cosx lồi trên (0 ; 
2
π
) 
áp dụng bổ đề 2 cho ba số A, B, C ∈(0 ; 
2
π
) (Tất nhiên khi đi thi học sinh phải 
nêu vμ chứng minh lại bổ đề nμy) 
 10 
ta có : cosA + cosB + cosC ≤ 3cos( A B C
3
+ + ) = 3cos
3
π = 3
2
Dấu “=” xảy ra khi A = B = C. 
Có thể thấy, nhiều bμi toán bất đẳng thức l−ợng giác đ−ợc giải quyết theo ph−ơng 
pháp trên một cách hiệu quả. 
Bμi toán 2: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: 
 a) sin A
2
 + sin B
2
 + sin C
2
 ≤ 3
2
(H−ớng dẫn: xét hμm số y = sin
2
x
 trên (0 ; π ) vμ sử dụng tính chất của đồ thị hμm 
số lồi) 
 b) cos A
2
 + cos B
2
 + cos C
2
 ≤ 3 3
2
(H−ớng dẫn: xét hμm số y =cos
2
x
 trên (0 ; π ) vμ sử dụng tính chất của đồ thị hμm 
số lồi) 
Bμi toán 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta có: 
 a) tanA + tanB + tanC ≥ 3 3 
Hoặc : tanA.tanB.tanC ≥ 3 3 
b) tan A
2
 + tan B
2
 + tan C
2
 ≥ 3 
c) cotA + cotB + cotC ≥ 3 
d) cot A
2
 + cot B
2
 + cot C
2
 ≥ 3 3 
Hoặc: cot A
2
. cot B
2
.cot C
2
 ≥ 3 3 
Bμi toán 4: Cho xi > 1 với i = 1,n , Chứng minh rằng: 
1
1
x 1+ + 2
1
x 1+ + ... + n
1
x 1+ ≥ n 1 2 n
1
1 x .x ...x+ 
(H−ớng dẫn: Đặt iae với i = 1,n , xét f(x) = x
1
e 1+ ) 
 11 
Bμi toán 5: Chứng minh rằng với mọi n lμ số tự nhiên ta có: 
1
n 1+ + 
1
n 2+ +... +
1
3n 1+ >1 
Giải: 
Xét hμm số f(x) = 
x
1
 với x > 0 
Rõ rμng f"(x) > 0 với mọi x > 0 nên hμm số f(x) có đồ thị lõm trên (0; +∞ ) 
áp dụng bổ đề 3 ta có : 
 f(x) = f[
2
)()( kxkx ++−
] < )]()([
2
1 kxfkxf ++− 
 ⇒2
x
1
 < 
kx −
1
 + 
kx +
1
 (1) 
Bất đẳng thức (1) đúng với mọi x > 0, k > 0. 
áp dụng liên tiếp (1), ta có các bất đẳng thức sau: 
1
1
+n + 13
1
+n > 2 12
1
+n 
2
1
+n + n3
1
 > 2
12
1
+n 
 ... 
n2
1
 + 
22
1
+n > 2 12
1
+n 
Cộng từng vế của n bất đẳng thức trên vμ thêm vμo mỗi vế 
12
1
+n , ta có 
1
n 1+ + 
1
n 2+ +... +
1
3n 1+ > (2n+1) 12
1
+n = 1 
Đó lμ điều phải chứng minh. 
Ngay cả bất đẳng thức Cauchy tổng quát chúng ta cũng có thể yêu cầu học sinh 
chứng minh một cách khá dễ dμng: 
Bμi toán 6: Chứng minh rằng với mọi xi ≥0 ( n,11= ) ta có 
 ∑
=
n
i
ix
1
 ≥ n n nxxx .... 21 
 12 
Dấu “=” xảy ra khi x1 = x2 = x3 = ...=xn 
(Bất đẳng thức Cauchy) 
Giải: 
 Xét hμm số y = lnx với x > 0. Đây lμ hμm số có đồ thị lồi trên (0; +∞ ). áp dụng 
bổ đề 2 ta có : 
 ∑
=
n
i
ix
1
ln ≤ n.ln(
n
x
n
i
i∑
=1 ) 
⇔ 
n
1
ln(x1.x2...xn) ≤ ln( n
x
n
i
i∑
=1 ) 
⇔ ln n )...x.x(x n21 ≤ ln( n
x
n
i
i∑
=1 ) 
⇔ n )...x.x(x n21 ≤ ( n
x
n
i
i∑
=1 ) (Do tính đồng biến của hμm lnx) 
Đây lμ điều phải chứng minh 
Vμ cả Bất đẳng thức Bunhiacopsky, học sinh khá giỏi có thể chứng minh đ−ợc bằng 
cách chọn hμm số y = f(x) = x2. 
* Một số bμi toán luyện tập: 
Bμi toán 7: Chứng minh bất đẳng thức Jensen 
Cho f(x) lμ hμm số có đồ thị lõm trên [a; b]. Giả sử x1, x2, ... , xn ∈[a; b] vμ iα > 0 
∑
=
n
i
i
1
α = 1. Chứng minh rằng: 
f( )
1
i
n
i
i x∑
=
α ≤ )(
1
i
n
i
i xf∑
=
α 
(H−ớng dẫn: Dùng ph−ơng pháp quy nạp toán học vμ sử dụng tính chất của đồ 
thị hμm số lõm) 
 13 
Bμi toán 8: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 (b + c)a(c + a)b(a + b)c ≤ [ 2
3
(a + b + c)]a + b + c 
(H−ớng dẫn: Do tính đồng biến của hμm số lnx, nên bất đẳng thức cần chứng minh 
t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức: 
)](
3
2ln[)ln(.)ln(.)ln(. cba
cba
bacacbcba ++≤++
+++++
Xét hμm số f(x) = - ln(a + b + c - x) với 0 < x < a + b + c lμ hμm số có đồ thị lõm) 
Bμi toán 9: Cho n số d−ơng ai (i = 1, 2, ..., n) (n ≥0) thỏa mãn điều kiện 0< a1 ≤ 
a2 ≤ ... ≤ an vμ từng đôi một (ai; aj) (i ≠ j) có ai.aj ≤1. Chứng minh 
1
1
n a+ + 2
1
n a+ +...+ n
1
n a+ ≤ n 1 2 n
n
1 a a ...a+ 
(H−ớng dẫn: Tr−ớc hết ta thấy rằng nếu a, b > 0 vμ ab ≤1 thì 
2
1 ab+ ≥ 
1
n a+ + 
1
n b+ . áp dụng vμo bμi toán trên ta có: 
n
i 1 i
1
1 a= +∑ ≤ 
n 1
2
i 1 i n 1 i
2
1 a a
+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −+∑ 
Sau đó ta xét hμm số f(x) = x
1
1 e+ lμ hμm số có đồ thi lồi trên (-∞ ; 0) vμ áp dụng 
bất đẳng thức Jensen) 
Bμi toán 10: Cho hμm số f(x) có đồ thị lồi trên [0; ∞ ) vμ f(0) ≥ 0, Chứng minh rằng 
với mọi x≥0 vμ mọi số tự nhiên n , ta có: f(nx) ≤ nf(x). 
Việc vận dụng ph−ơng pháp trên cũng giúp học sinh giải quyết các bμi toán 
nhận dạng tam giác dựa vμo điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra; giúp học sinh dễ 
dμng nhớ đ−ợc hệ thống các bất đẳng thức l−ợng giác vμ đặc biệt lμ giúp học sinh 
có thể sáng tạo nhiều bμi toán hay vμ mới. 
Ví dụ 1: Từ nhận xét, nếu tam giác ABC vuông ở A ta có A B
2
+ = 
4
π dẫn đến bμi 
toán sau: 
 14 
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông ở A thì: sinA + sinB ≤ 2 
Ví dụ 2: Từ Bμi toán 3: kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức 
Cauchy ta có bμi toán: 
 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta có: 
1- tan2A + tan2B + tan2C ≥ 9 
2- tanA.tanB + tanB.tanC + tanC.tanA ≥ 9 
3- tan2 A
2
 + tan2 B
2
 + tan2 C
2
 ≥ 1 
4- cot2 A
2
 + cot 2 B
2
 + cot 2 C
2
 ≥ 9 
Hoặc ngay cả bμi toán đã nêu ở phần đầu đề tμi nμy: 
Cho x1, x2, ... , xn lμ các số thực d−ơng, k > 1 . Chứng minh rằng: 
1 2 ...( )knx x x
n
+ + + ≤ 1 2 ...
k k k
nx x x
n
+ + +
Học sinh có thể thay đổi các giả thiết để có bμi toán mới. Chẳng hạn thay giả thiết 
x1, x2, ... , xn lμ các số thực âm hoặc 0 < k < 1, ... thì ta có các bất đẳng khác. 
Vận dụng ph−ơng pháp trên học sinh cũng có thể phát hiện vμ giải quyết các 
bμi toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
Ví dụ 3: Cho A, B, C lμ ba góc của tam giác ABC. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các 
biểu thức sau: 
1- M = 2
1
sin A
 + 2
1
sin B
 + 2
1
sin C
2- N = 1Asin
2
 + 1Bsin
2
 + 1Csin
2
3- P = 2
1
cos A
 + 2
1
cos B
 + 2
1
cos C
4- Q = 1Acos
2
 + 1 Bcos
2
 + 1 Ccos
2
 15 
III- Kết Quả 
 Thông qua việc h−ớng dẫn học sinh khai thác vμ sử dụng các tính chất của đồ 
thị hμm số lồi vμo giải toán, qua thực tế dạy học tại lớp 12A2 tr−ờng THPT Đô 
L−ơng 2 năm học 2007-2008, tôi thấy đa số các em đều nắm đ−ợc vấn đề vμ vận 
dụng vμo giải toán một cách linh hoạt, nhớ một số bất đẳng thức một cách có hệ 
thống, nhiều em đã xây dựng đ−ợc nhiều bμi toán mới rất hay. Quan trọng hơn nữa 
lμ thông qua việc lμm nμy, tôi đã giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, giúp các 
em phát triển khả năng t− duy sáng tạo toán học, giờ học toán của tôi luôn đ−ợc các 
em chờ đón vμ thực hiện các nhiệm vụ đ−ợc giao một cách nghiêm túc, tự giác, chất 
l−ợng giờ học đã đ−ợc nâng cao rõ rệt. Bμi tập về nhμ đ−ợc các em tích cực nghiên 
cứu vμ trao đổi kết quả với nhau. 
IV - Kết luận 
 Trên đây lμ một số kinh nghiệm tôi tích luỹ đ−ợc trong quá trình giảng dạy bộ 
môn toán. Tôi đã có dịp trao đổi những suy nghĩ trên với nhiều thầy cô, bạn bè đồng 
nghiệp vμ đều đ−ợc sự đồng tình h−ởng ứng. Thực tế tôi đã trực tiếp vận dụng vμo 
giảng dạy tại lớp 12A2 của tr−ờng vμ thấy có kết quả. Do vậy tôi mạnh dạn viết ra 
một kinh nghiệm nhỏ của bản thân không ngoμi mục đích trao đổi kinh nghiệm 
giảng dạy với các thầy giáo, cô giáo trong vμ ngoμi tr−ờng. 
 Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy của tôi ch−a nhiều 
nên đề tμi chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong đ−ợc sự góp ý nhiệt thμnh 
của quý thầy cô để sáng kiến của tôi đ−ợc hoμn thiện hơn. 
Tôi xin chân thμnh cảm ơn