Phương trình – bất phương trình cơ bản

1. phương trình –bất phương trình cơ bản
a. Phương trình cơ bản: 
Dạng phương trình: (nếu g(x) có TXĐ là R)
b.Bất phương trình cơ bản:
Dạng 1: 
Dạng 2: 
Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đưa về dạng cơ bản , ta làm như sau:
+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa .
+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm .
+ Bình phương hai vế .
+ Tiếp tục cho đến khi hết căn .
bài tập áp dụng
Bài 1.1: Giải các phương trình sau:
Giải 1: Phương trình đã cho tương đương với: 
Giải 2: Phương trình đã cho tương đương với: 
Bài 1.2 Giải phương trình sau (ĐH Xây Dựng -2001).
Giải: Phương trình đã cho tương đương với: 
Bài 1.3 Giải phương trình: 
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ: 
Bài 1.4: Giải phương trình 
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
Bài 1.5: Giải phương trình 	 (ĐHQG Hà Nội 2000)
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
Bài 1.6: Giải phương trình 
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
Bài 1.7: Giải bất phương trình: 	 (ĐH DL Phương Đông -2001)
Điều kiện: 	
Bất phương trình đã cho tương đương với: 
Bài tập làm thêm:
2. phương pháp Đặt một ẩn phụ
Dạng 1: Giải phương trình: 
Phương pháp giải : Đặt ;
Phương trình đã cho trở thành : 
Làm tương tự với bất phương trình dạng: 
Dạng 2: Giải phương trình: (Với )
Phương pháp giải : Đặt 
Phương trình đã cho trở thành : 
Làm tương tự với bất phương trình dạng: 
bài tập áp dụng:
Bài 2.1: Giải các phương trình 
 (ĐH DL Hồng lạc-2001)
Giải 1: 	Đặt 
Phương trình đã cho trở thành:
Giải 2: 	Đặt 
Phương trình đã cho trở thành:
	Vậy 
Bài 2.2: Giải các phương trình (ĐH Đông đô-2000).
(ĐH Mỏ -2001)
Giải 2: Đặt 	
Phương trình đã cho trở thành: 
Giải hệ đối xứng này ta được nghiệm: 
Giải 1: Điều kiện: Đặt 
Phương trình đã cho trở thành: 
Giải phương trình bậc 4 :
Xét t = 0 không là nghiệm . Xét t ạ 0 ,chia hai vế cho t2 và đặt 
Ta được phương trình 
Bài 2.3: Giải các bất phương trình sau
 (ĐHDL Phương Đông -2000)
 (ĐH QG HCM -1999)
Giải 1: Điều kiện:	Đặt: 
Bất phương trình đã cho trở thành: 
Thay vào cách đặt: 
Giải 2: 	Điều kiện:
Đặt:	Thay vào BPT Đã cho và giải ra ta được 
Thay vào cách đặt ta được:
Bài 2.4: Giải các bất phương trình sau
(ĐH Thái Nguyên -2000)
Giải 1: Biến đổi bất phương trình đã cho trở thành: 
Đặt: . BPT đã cho trở thành: 
Giải 2: Điều kiện:	Đặt 
Vậy 
Bất phương trình đã cho trở thành: 
Bài tập. Giải các PT sau:
Bài 1:
Bài 2:
Đặt ẩn phụ để trở thành phương trình có 2 ẩn
* Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
* PP này thường được SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT còn lại không BD được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD được thì công thức BD quá phức tap. 
* Khi đó thường ta được 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là 1 số chính phương.
Bài tập. Giải các PT sau:
3. Phương pháp Đặt hai ẩn phụ
Dạng 1: Giải phương trình: 	(Với )
Phương pháp giải : Đặt: 
Phương trình đã cho trở thành: 
Dạng 2: Giải phương trình: (Với )
Phương pháp giải : Đặt: 
Phương trình đã cho trở thành: 
bài tập áp dụng:
Bài 3.1: Giải phương trình: (ĐH Ngoại Ngữ-2001)
Giải : Đặt
Phương trình đã cho trở thành: 
Vậy: 
Bài 3.2: Giải phương trình: (An Ninh-01)
Giải : Đặt: 	Phương trình đã cho trở thành:
Bài 3.3: Giải phương trình
Đặt:	
Phương trình đã cho trở thành: 
Bài tập làm thêm: Giải các pt:
4. Phương pháp Nhân liên hợp
Dạng : Giải phương trình: 	Với 
Phương pháp giải : Nhân hai vế với biểu thức: 
Ta được phương trình 
Nhóm nhân tử chung và giải hai phương trình: 
bài tập áp dụng:
Bài 4.1: Giải các phương trình sau:
(ĐH Quân Sự -2001)
Giải 1: Điều kiện: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: 
Phương trình đã cho trở thành: 
Giải 2: 
Điều kiện: ; Phương trình đã cho tương đương với: 
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 
Làm tương tự như phần 1) ta được tập nghiệm: 
Bài 4.2: Giải các bất phương trình sau (ĐH Ngoại thương HCM-2001).
Giải: Điều kiện: 
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp thì bất phương trình đã cho tương đương với:
Bài làm thêm: (Nhân liên hợp)
5. Phương pháp Phân chia miền xác định
Dạng : Giải phương trình: 
Phương pháp giải : Xét ba trường hợp :
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: Khi đó phải có 
Phương trình đã cho trở thành (Phương trình cơ bản)
Trường hợp 3: Khi đó phải có 
Phương trình đã cho trở thành (Phương trình cơ bản)
bài tập áp dụng:
Bài 5.1: Giải phương trình sau
 (ĐH Bách khoa Hà Nội -2001).
Giải: Điều kiện :
Nhận thấy x = -1 là một nghiệm của phương trình đã cho
Với : Phương trình tương đương với:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = -1
Bài 5.2: Giải các bất phương trình sau
 (ĐH Kế toán Hà Nội -2001)
 (ĐH Y HCM -2001)
Giải 1: Điều kiện: 
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của bất phương trình
Với Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được 
Hệ này vô nghiệm vì 
Với Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được
Kết luận: Tập nghiệm 
Giải2: Điều kiện: 
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của bất phương trình
Với Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được bpt 
BPT thoả mãn với vì: 
Với Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được bpt
BPT vô nghiệm vì 
Kết luận: Tập nghiệm 
Bài tập làm thêm:
Bài 3: (PP phân chia MXĐ)
6. Phương pháp Khai căn
Dạng : Giải phương trình: 
Phương pháp giải :
Khai căn và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta được phương trình 
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân chia miền xác định ta được một tuyển hai hệ
 Giải hai hệ này ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình đã cho.
bài tập áp dụng:
Bài 6.1: Giải phương trình sau 
Giải 1: (1) 
Nếu pt trở thành: 
Vì Nên vậy phương trình này vô nghiệm
Nếu pt trở thành: 
Vậy pt đã cho có nghiệm là x = 4 và x = 5.
Giải 2: 
Giải tương tự ta được nghiệm là x = -1 và x = 3.
Bài 6.2: Giải phương trình sau 
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với: 	Tập nghiệm:
7. Phương pháp Đạo hàm
Dạng : Bài toán tìm m để phương trình f(x)=m có nghiệm,
	 Bài toán chứng minh phương trình f(x)=A có nghiệm duy nhất,
 	 Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=m theo tham số m.
Phương pháp giải :
	* Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x)
	* Tính đạo hàm f’(x) ,lập bảng biến thiên .
	* Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phương trình .
bài tập áp dụng:
Bài 7.1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Giải: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: ta được:
Xét TXĐ 
 ; 
 đồng biến và luôn dương trên D.
 ; 
 đồng biến và luôn dương trên D.
Suy ra hàm số cũng sẽ là hàm số đồng biến trên D.
Từ đó 
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì: 
8. Phương pháp đánh giá hai vế
Phương pháp:
Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh và tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra
bài tập áp dụng:
Bài 8.1: Giải các phương trình sau: 
(ĐHQG Hà Nội-2001)
Giải 1: Điều kiện: 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi x = 1. Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
Giải 2: Điều kiện: 
Vậy Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy pt đã cho có nghiệm: 
Bài 8.2: Giải các phương trình sau: 
Giải: Điều kiện: Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình
Với x > 0 
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0
Kết luận: nghiệm x = 0
Bài 8.3: Giải các phương trình sau: 
Giải: Nhận thấy x = -2 là một nghiệm. Với x > -2 thì x + 1 > -1 
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x > -2
Tương tự với x < -2
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x < -2
Kết luận : nghiệm x = 0
Bài tập làm thêm : Căn bậc ba.
Bài tập. Giải các PT sau:
9. Phương pháp Tam thức bậc hai
Dạng : Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = m theo tham số m.
Trong đó ta đặt được: ;
Bài toán khi đó trở thành: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình bậc hai 
Bảy bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, hai số: 
Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai:
1, Tìm điều kiện để f(x) > 0 với mọi x thuộc R
2, Tìm điều kiện để f(x )> 0 với mọi x thuộc khoảng (a;+Ơ);
3, Tìm điều kiện để f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b);
bài tập áp dụng:
Bài 9.1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 (CĐ SP HCM-2001).
Giải: Điều kiện: Đặt 
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để phương trình t2- t + 5 - m = 0 có nghiệm 
nghĩa là
Hệ điều kiện trên tương đương với: 
Bài 9.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (CĐ Y HCM-1997).
Giải: Điều kiện: Đặt : 
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để phương trình t2-2t+m-9=0 có nghiệm 
nghĩa là
Hệ điều kiện trên tương đương với: 
10. Hệ phương trình
Hệ đối xứng loại 1:
Là hệ phương trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi.
Cách giải: + Đặt 
+ Giải hệ với hai ẩn S,P 	+ Thử đk và lấy x,y là hai nghiệm pt X2 – SX + P=0
bài tập áp dụng:
Bài 10.1: Giải hệ: (ĐH Hàng Hải 1999).
Giải: Hệ đã cho tương đương với:
Đặt Hệ đã cho trở thành
Giải ra ta được 2 nghiệm
Hệ đối xứng loại 2:
- Là hệ phương trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì hai phương trình của hệ đổi chỗ cho nhau.
Cách giải: -Trừ vế với vế của hai phương trình để được một phương trình có dạng tích.
- Hệ đã cho sẽ tương đương với tuyển hai hệ phương trình.
- Giải hai hệ này để tìm nghiệm x và y.
bài tập áp dụng:
Bài 10.2: Cho hệ:
1, Giải hệ khi m=9;
2, Tìm m để hệ có nghiệm (ĐH SP HCM 2001).
Giải: Điều kiện: 
Bình phương hai vế ta được hệ: 
Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được hệ:
1, Với m=9 ta có hệ: 
2,Tìm m để hệ có nghiệm : Hệ 
 Điều kiện 
	Kết luận:.
11. Phương pháp đặc biệt
1.Phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai 
Bài toán tổng quát:
 Giải phương trình: Với a ạ 0, u ạ 0 , r ạ 0 ;
Phương pháp giải: Điều kiện dể phương trình có nghĩa: 
Đặt ẩn phụ : 
Với điều kiện 
Lúc đó (I) trở thành : 
Giả sử các điều kiện sau được thoả mãn: u = ar +d và v = br + e
Lúc đó phương trình đã cho trở thành hệ 
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình , được một tuyển hai hệ phương trình trong đó có một nghiệm x = y
bài tập áp dụng:
Bài 11.1:
Giải phương trình: 
Lời giải: Điều kiện 
Biến đổi phương trình (1) thành: 
Đặt ẩn phụ : .
Phương trình (1) trở thành : 
Vậy ta có hệ: Hệ này là hệ đối xứng loại hai
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình ,
Ta được 2 nghiệm là 
2.Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba
Bài toán tổng quát:
Giải phương trình: Với a ạ 0, u ạ 0 , r ạ 0 ;
 Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ : 
Lúc đó (II) trở thành : 
Giả sử các điều kiện sau được thoả mãn: u=ar +d và v=br+e
Lúc đó phương trình đã cho trở thành hệ
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình , được một tuyển hai hệ phương trình trong đó có một nghiệm x=y.
bài tập áp dụng:
Bài 11.2: Giải phương trình: 
Lời giải: 
Đặt ẩn phụ : 
Lúc đó (2) trở thành 
Lúc đó phương trình đã cho trở thành hệ
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình ,
Ta được 3 nghiệm: 
Bài tập. Giải các PT sau:
3. Sử dụng tính chất véc tơ:
Dấu bằng xảy ra khi hai véc tơ và 
cùng hướng , tương đương với: 
Dạng : Giải phương trình 
Với Đặt : ;
Phương trình đã cho trở thành Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ và cùng hư ... hai ẩn.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
	Lời giải
Điều kiện: 
Phương trình (1) 
 ( Do có đk có x + y > 0)
Thay vào phương trình (2) ta được: 
 ( Do y0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5	Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)
Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn (chẳng hạn ẩn y). Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn được y theo x bằng cách giải phương trình bậc 2 ẩn y.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Biến đổi phương trình (2) về dạng: 
Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)
Với y = 4 - x thay vào (1) ta được: 
Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (- ; 0).
ii. phương pháp đặt ẩn phụ
	Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ 
u = f(x,y)
v = g(x,y) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0 để đưa hệ về dạng đơn giản hơn.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
x2y+xy2+ x+y=18xyx4y2+y4x2+x2 +y2=208x2y2
Lời giải:
Dễ thấy khi x = 0 thì y = 0
Hệ phương trình có nghiệm: (x = 0; y = 0) 
Khi x 0 y 0
Chia hai vế của phương trình (1) cho xy và chia hai vế của phương trình (2) cho x2y2 ta được hệ:
	Đặt:
Ta có hệ phương trình:
Trường hợp thứ nhất hệ có 4 nghiệm (x,y) là:
Trường hợp thứ (2) hệ có thêm 4 nghiệm (x,y) là:
Kết luận hệ phương trình có 9 nghiệm
Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình
Lờigiải
Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với 
 Đặt ta có hệ 
Ta có hệ Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình	
Đặt ; v = x -y ta có hệ phương trình
Giải hệ (với lưu ý ta có u = 2 ; v = 1. Ta có Hệ phương trình (x = 1 ; y = 0)
Hệ phương trình có nghiệm: (x,y) là (1;0)
phương pháp hàm số
Loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = f(y)
phương trình còn lại giúp ta giới hạn được x.y để trên hàm f đơn điệu. 
Từ đó suy ra x = y
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 
Lời giải
Từ phương trình (2) 	
xét hàm f(t) = t3 - 5t t[-1 ; 1]
Ta có f’(t) = 3t2 - 5 < 0 t [-1 ; 1] hàm f(t) x = y thay vào phương trình (2) x8 + x4 -1 = 0
Đặt a = x4 0 ta có a = 
Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong 2 phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn điệu
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 
Lời giải
 Đặt a = x – 1, b = y – 1. Ta được hệ . Trừ theo vế của 2 phương trình trên ta được
xét hàm f(x) = có f’(x) = và> f(x) >0 t
 f(t) đồng biến trên 
Từ phương trình (3) a = b thay vào phương trình (1) ta có 
Xét hàm g(a) = 
Có: 
Nên hàm g(a) nghịch biến và do phương trình (4) có nghiệm a = 0 nên ta có nghiệm ban đầu của hệ là (x = 1; y= 1)
	v. phương pháp đánh giá
	Với phương pháp này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.
	Ví dụ 10. Giải hệ phương trình 
Lời giải:
Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0. Không giảm tính tổng quát giả sử : 
Ta lại có 
Do x dương 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = y = z=
	Ví dụ 11. Giải hệ phương trình 
Lời giải:
Nếu x = 0 y = 0 z = 0 hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0). Nếu x 0 y > 0 z > 0 x > 0
	Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (0; 0; 0) và (1; 1; 1)
	Ví dụ 12: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta có: 
Ta có: 	
Dấu “ = “ khi 	Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm như trên.
	Ví dụ 13. Giải hệ phương trình
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với: 
Nếu x > 2 thì từ (1) y = 2 < 0; Điều này mâu thuẫn với phương trình (2) có x - 2 và y - 2 cùng dấu.
Tương tự với x ta cũng suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 2
vi. các phương pháp khác
1. Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả
	Ví dụ 13: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Cộng theo vế (1), (2), (3) rồi chia cho 2 ta có phương trình:	x + y + z = 3 (4)
Trừ theo vế của (4) cho (1) z = 2; Trừ theo vế của (4) cho (2) x = 1; Trừ theo vế của (4) cho (3) y = 0
Hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 0; 2)
	Ví dụ 14: Giải hệ phương trình 
Lời giải:
Viết hệ về dạng: 
Nhân theo vế của 3 phương trình trên ta được: 
Các phương trình (4) và (5) là các phương trình hệ quả
Trường hợp thứ nhất ta có: 
Trường hợp thứ hai ta có: 
Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; - 1; - 2)
Kết luận: Hệ phương trình có 2 nghiệm (như trên).
2. Phương pháp sử dụng hệ thức Viet mở rộng
Ta sử dụng kết quả: nếu x, y, z thoả mãn 
Thì x, y, z là 3 nghiệm của phương trình X3- aX2+ bX - C = 0
	Ví dụ 14: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Bình phương hai vế của (1) rồi trừ cho (2) ta có:
	hay 
Bình phương hai vế của (2) rồi trừ cho (3) ta có:	2xy + 2yz + 2xz = 18 à xy + yz + xz = 9 (5)
Bình phương hai vế của (4) rồi trừ cho (5) ta có:	
Từ (1), (4), (6) theo định lý Viet mở rộng là 3 nghiệm của phương trình x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0
(x-1)2 (x- 2) = 0 (x, y, z) = (1; 1; 4) và các hoán vị của nó hệ phương trình có các nghiệm: 
(x, y, z) (1; 1; 4), (1; 4; 1) ,(4; 1; 4)
Phần iii. Các bài toán liên quan
1. Bài toán giải phương trình.
Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta được bài toán giải phương trình về giải hệ phương trình.
	Ví dụ 15: Giải phương trình
Lời giải:
Đặt . Ta có hệ phương trình đối xứng loại 2 
Thì theo vế của 2 phương trình ta được (x- y)(x2 + y 2 + xy + 2) = 0
Dễ thấy : x2 + y 2 + xy + 2 > 0 với mọi x, y x = y
Với x = y ta có: x3 - 2x + 1 = 0 (x - 1)(x2 + x - 1) = 0 
Phương trình có 3 nghiệm như trên.
2. Bài toán nghiệm nguyên
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của hệ: 
Lời giải:
Hệ (x2 - 6x - 2y - 15) + 2(x2y -3xy + 2z + 6) + (x2y2 + 2y + 12 - 4z) 
(xy + x)2 - 6(xy + x) + 9 (xy + x - 3)2 xy + x = 3 x(y + 1) = 3
Giải các trường hợp ta tìm được nghiệm nguyên của hệ là: (x= -1; y = - 4; z = 5)
iv. một số sai lầm khi giải
1. Làm mất nghiệm của hệ phương trình:
	Ví dụ 17: Giải hệ phương trình
Nếu không xét trường hợp x = 0, y = 0, z = 0 biến đổi hệ về dạng: 
Rồi cộng theo vế 3 phương trình 
Ta bỏ sót nghiệm: 
2. Chọn nghiệm ngoại lai của hệ
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình 
Theo cách giải ở ví dụ 10 ta suy ra x = y = z x, y, z là nghiệm của phương trình.
Đặt nếu không để ý đến điều kiện t 0
Ta có: thừa nghiệm 
Phương trình (TT)
	1. Phương pháp biến đổi đồng nhất
Ví dụ 1: Giải phương trình : x3 - x 2 - x = 
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
3x3 - 2x2- 3x = 1
3x3 = 3x3 + 3x + 1
4x3 = x3 + 3x2 +3x + 1
4x3 = (x + 1)3 
	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình
 với a + b 0
Lời giải:
	Đk: a0, x 0, b0, a + x + b 0
Biến đổi phương trình về dạng: 
ax + bx + ab
=
1
abx
x + a + b
(ax + bx + ab)(x + a + b) = abx
(ax + bx + ab)( a + b) + (ax + bx)x + abx = abx
( a + b) (ax + bx + ab) + x2( a + b) = 0
( a + b) (ax + bx + ab + x2) = 0
( a + b) (a + x)( b+x) = 0 Do a + b 0 
	Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm như trên:
Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải:
	Điều kiện: 
	 (ỉ)
với điều kiện (ỉ) (1) (x + 3)2(4 - x)(12 - x) = (28 - x)2 
 x4 + 14x3 + 10x2 - 272x + 352 = 0
 (x2 + 6x - 22) (x2 + 8x - 16) = 0 
Đối chiếu điều kiện ta thấy x1, x3 thoả mãn bài toán.
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải
 Đặt u = x + 3 v = với v 
Khi đó phương trình (1) trở thành:
	2uv = u2 + v2 - 1(u - v)2 = 1 
Với v = u - 1 ta có 
Với v = u + 1 0 ta có :
Phương trình có tập nghiệm là: 
Ví dụ 5: Giải phương trình
(x - 8)2 + (x - 6)4 = 16 (1)
Lời giải
Đặt y = x - 7
Khi đó phương trình (1) trở thành
(y - y)4 + (y + 1)4 = 16 
y4 - 4y3 6y2 - 4y + 1 + y4 - 4y3 6y2 + 4y + 1 = 16
2y4 + 12y2 + 2 = 16
 y4 - 6y2 - 7 = 0 (y2+7) (y2-1) = 0 (do y2+7 > 0) 
y2 - 1 = 0 
Với y = 1 ta có x - 7 = 1 x = 8
Với y = -1 ta có x - 7 = -1 x = 6
Tập nghiệm của phương trình là {6 ; 8}
Ví dụ 6: Giải phương trình
X4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 10 = 0
Lời giải
đây là phương trình đối xứng bậc 4 để giải phương trình này ta nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình 
x2 - 6x + 10 - 6. (chia 2 vế cho x2)
Đặt 
Ta có phương trình: 
Khi t = 2 ta có
Khi t = 4 ta có 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 7: Giải phương trình
(x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
Lời giải:
Phương trình 
Đặt t = ta có:	t(t + 2) = 3	t2 + 2t - 3 = 0 
Với t = 1 ta có phương trình: 	
Với t = -3 ta có: phương trình này vô nghiệm
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là
3. Phương pháp đánh giá
Ví dụ 8: Giải phương trình: (x - 8)4 + (x -6)4 = 16 (1)’
Lời giải:
Dễ thấy x = 8 hoặc x = 6 là 2 nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu x > 8 ta có (x -6)4 > 24= 16
 (x - 8)4 > 0
 (x - 8)4 + (x -6)4 > 16. Vậy x > 8 không là nghiệm của phương trình.
Nếu x 16
 (x -6)4 > 0
 (x - 8)4 + (x -6)4 > 16 nên x < 6 không thoả mãn.
Với 6 < x < 8 phương trình (1) viết về dạng:
(x - 6)4 + (8 - x)4 = 16
Khi đó (x - 6)4 + (8 - x)4 < (x - 6 + 8 - x)4 = 16
Vậy phương trình vô nghiệm khi: 6 < x < 8
Tóm lại tập nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 9. Giải phương trình
Lời giải:
Biến đổi phương trình về dạng: 
VT Dấu “=” khi x = -3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 3
Ví dụ 10: Giải phương trình:
x(2008 - x2007) = 2007
Lời giải:
Nếu thì loại
Vậy 
Viết phương trình về dạng: x2008 + 2007 = 2008x
Theo bất đẳng thức côsi cho 2008 số dương. Ta có: 
x2008 + 2007 = x2008 + 1 + 1 +..+1 2008x
 2007 số 1
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 11: Giải phương trình 
Lời giải:
Điều kiện: x . Với thì 
x2 - 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 < 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1
Thử x = 2008 thoả mãn.
Với x > 2008 thì: 
x2 - 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 > 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 12: giải phương trình 
Lời giải:
Điều kiện: x + 1 > 0 hay x > -1. Viết phương trình về dạng: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi: 	Hay 4x = 	Hay x = 
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 
Ví dụ 13. Giải phương trình 
Lời giải
 Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x6 ta được phương trình tương đương: 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương ta có: 
Do đó x thoả mãn phương trình bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức 
x10 = 3 x = 
Ví dụ 14: Giải phương trình 
Lời giải:
Ta có: 
áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có: 	Dấu “ =” xảy ra khi x = 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 
Phần 3: Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải hệ phương trình: (Gợi ý dùng phương pháp đánh giá)
Bài 2: Giải hệ phương trình:(Dùng phương pháp đánh giá)
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của hệ: (Dùng Định lý Viet mở rộng)
Bài 4: Giải hệ phương trình: (Dùng phương trình hệ quả)
Bài 5: Cho a, b, c là 3 số khác 0
Giải hệ phương trình: (Dùng phương trình hệ quả)
Bài 6: Trong các nghiệm của hệ
Tìm nghiệm sao cho x + z đạt Giá trị lớn nhất	(Dùng phương pháp đánh giá)
Bài 7: Giải phương trình 
(Dùng phương pháp đánh giá)
Bài 8: Giải phương trình
(Dùng phương pháp biến đổi tương đương)
Bài 9: Giải phương trình: 48x(x +1)(x3 - 4) = (x4 + 8x + 12)2
(Dùng phương pháp biến đổi tương đương)
Bài 10: Giải phương trình: x4 + x3 + x2 + x + = 0
(Dùng phương pháp đánh giá)