Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 1 
PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA 
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Dạng 1 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
1 1( ) : ( )=C y f x 
Ta có: 1 1
0( ) :
0
≥
= = 
− ≤
y y
C y y
y y
 Nếu 
 Nếu 
Do đó đồ thị 1 1( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox 
+ Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía dưới Ox 
 lấy đối xứng qua Ox 
Dạng 2 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
2 2( ) : ( )=C y f x 
 Nhận xét : 2 2( ) : ( )=C y f x là hàm số chẵn 
 Nên 2 2( ) : ( )=C y f x nhận Oy làm trục đối xứng. 
Ta có: 2 2
( ) 0 (1)( ) : ( ) ( ) 0
= ≥
= = 
− ≤
f x y
C y f x f x
 Nếu x 
 Nếu x 
Do đó đồ thị 2 2( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía bên phải Oy 
 ( Do (1) ta có) 
 + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn 
Dạng 3 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
3 3( ) : ( )=C y f x 
 Nhận xét : Nếu 0 0 3 0 0 3( ; ) ( ) ( ; ) ( )∈ ⇒ − ∈M x y C M x y C 
 Nên 3 3( ) : ( )=C y f x nhận Ox làm trục đối xứng. 
Ta có: 3 3 3( ) : ( ) 0= = ⇒ = ≥C y f x y y y y Nếu 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 2 
Do đó đồ thị 3 3( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox 
+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox . 
Dạng 4 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( ) ( ). ( )= =C y f x u x v x suy ra đồ 
thị hàm số 4 4( ) : ( ) . ( )=C y u x v x 
Ta có: 
4 4
( ). ( ) ( ) ( ) 0( ) : ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 0
= = ≥
= = 
− = − = − ≤
u x v x f x y u x
C y u x v x
u x v x f x y u x
 Nếu 
 Nếu 
Do đó đồ thị 4 4( ) : ( ) . ( )=C y u x v x có 2 phần đồ thị : 
 + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm trên miền ( ) 0≥u x 
 + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm trên miền ( ) 0≤u x 
 lấy đối xứng qua Ox 
Ta hay gặp dạng đơn giản sau: 
Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( ) ( ). ( )= = −C y f x x a v x 
 suy ra đồ thị hàm số 4 4( ) : . ( ),= − ∈
C y x a v x a 
Ta có: 
4 4
( ). ( ) ( )( ) : . ( ) ( ). ( ) ( )
− = = ≥
= − = 
− − = − = − ≤
x a v x f x y x a
C y x a v x
x a v x f x y x a
 Nếu 
 Nếu 
Do đó đồ thị 4 4( ) : . ( ),= − ∈
C y x a v x a 
có 2 phần đồ thị : 
 + Phần 1: 
 là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên phải đường thẳng x = a 
 + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên trái 
 đường thẳng x = a lấy đối xứng qua Ox. 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 3 
TỔNG QUÁT 
 Từ 4 dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trên ta có thể suy ra 
nhiều dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối khác chẳng hạn: 
Dạng 5 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
5 5( ) : ( )=C y f x 
Để vẽ 5 5( ) : ( )=C y f x ta làm 2 bước như sau: 
+ Bước 1: vẽ 51 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 2 
+ Bước 2: vẽ 5 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 1 
Dạng 6 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
6 6( ) : ( )=C y f x 
Để vẽ 6 6( ) : ( )=C y f x ta làm 2 bước như sau: 
+ Bước 1: vẽ 61 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 2 
 + Bước 2: vẽ 6 ( )=y g x dựa vào dạng 3 
Dạng 7 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
7 7( ) : ( )=C y f x 
Để vẽ 7 7( ) : ( )=C y f x ta làm 3 bước như sau: 
+ Bước 1: vẽ 71 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 2 
+ Bước 2: vẽ 72 ( ) ( ) ( )= = =y f x g x h x dựa vào dạng 1 
+ Bước 3: vẽ 7 7( ) : ( )=C y h x dựa vào dạng 3 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 4 
 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − + có đồ thị (C). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) 
 với đường thẳng x = −1. 
3) Tìm tham số m để phương trình 
3 22 3 2x x m− + = có bốn 
 nghiệm phân biệt. 
Giải 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

 TXĐ: D = R 

 
2
' 6 6y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoặc 1x = 

 HSĐB trên khoảng ( −∞ ;0) ; ( 1; +∞ ). HSNB trên khoảng ( 0;1 ) 
 Hàm số đạt cực đại t ại 0; 1x y= =CĐ ; Hàm số đạt cực tiểu tại 1; 0x y= =CT 

 lim
x
y
→±∞
= ±∞ 

 BBT 
x −∞ 0 1 +∞ 
y’ + 0 – 0 + 
 1 +∞ 
 y CĐ CT 
 −∞ 0 

 '' 12 6y x= − ; '' 0y x= ⇔ = 1 /2 
 x −∞ 1/2 +∞ 
 y ’ – 0 + 
ĐTHS Lồi ĐU Lõm 
 I(1/2;1/2) 
2) Viết PTTT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x = −1 
x = −1 => y = f(−1) = −4 => giao điểm M( −1;−4) 
pttt có dạng d: 000 )).((' yxxxfy +−= . 
0'( ) '( 1) 12f x f= − = => pttt d: 12( 1) 4 12 8y x x= + − = + . 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
P
Q
O
ĐĐB:
P( − 1; − 4)
Q(2;5)
3 22 3 1y x x= − +N X: Đồ thị nhận
điểm uốn I làm
tâm đối xứng
Hì nh 1 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 5 
3) Tìm tham số m để phương trình 
3 22 3 2x x m− + = có bốn nghiệm 
phân biệt. 
Ta có: 
3 32 22 3 2 2 3 1 1x x m x x m− + = ⇔ − + = − 
Đây là PT HĐGĐ của đồ thị 1( )C :
3 2
1 2 3 1y x x= − + và đường thẳng 
d: y = m−1 
T a có 1( )C :
3 2
1 3 2
2 3 1 0
2 3 1 0
x x x
y
x x x
 − + ≥
= 
− − + <
neuá 
nếu 
 => 1( )C có 2 phần đồ thị: 
 Phần I : Đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả điểm nằm trên Oy) 
 Phần II : Lấy đối xứng đồ thị Phần I qua Oy 
 vì hàm số 1y là hàm số chẵn 
Vẽ 1( )C ( Hình 2) 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y Q
O
3 2
1 2 3 1y x x= − +
Hình 2 
 Dựa vào 1( )C ta có: 0 1 < m < 2 
Ví dụ 2. Cho hàm số 4 21 4 3
2
y x x= − + có đồ thị là (C) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 6 
b) Định m để phương trình : 4 21 4 3 lg
2
x x m− + = có 4 nghiệm phân 
biệt. 
c) Định m để phương trình : 4 21 4 3 lg
2
− + =x x m có 8 nghiệm phân 
biệt. 
Giải 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 

 TXĐ: D = R.Hàm số chẵn 

 
3
' 2 8y x x= − ; y ’= 0 x = 0 hoặc x =± 2 

 Giới hạn : lim
x
y
→±∞
= +∞ 
BBT : 
x −∞ –2 0 2 +∞ 
y ’ – 0 + 0 – 0 + 
 +∞ 3 +∞ 
y CT CĐ CT 
 –5 –5 

 HSĐB trên khoảng (–2;0) và (2;+∞ ). 
 HSNB trên khoảng (−∞ ;–2) và (0;2) 

 
2
'' 6 8y x= − ; '' 0 2 3 / 3y x= ⇔ = ± 
BXD y ’’ 
x −∞ – 2 3 / 3 2 3 / 3 +∞ 
y ’’ + 0 – 0 + 
ĐT 
(C) Lõm ĐU Lồi ĐU Lõm 
 (–2 3 / 3;–13/9) (2 3 / 3;–13/9) 

 Đồ thị: 
o NX: đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng 
o ĐĐB: A(–3; 15/2), B(3;15/2) 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 7 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
O
CĐ
CT CT
←→
4 21 4 3
2
y x x= − +
←→
←→
BA
b) Định m để phương trình : 4 2
1 4 3 lg
2
x x m− + = có 4 nghiệm phân biệt. 
YCBT 5 lg 3m− 5 3 5 3lg10 lg lg10 10 10m m− −< < ⇔ < < 
 c) Định m để phương trình : 4 21 4 3 lg
2
− + =x x m có 8 nghiệm phân biệt. 
Đây là PT HĐGĐ của đồ thị 1( )C : 4 21
1 4 3
2
= − +y x x và đường thẳng 
d: y = m−1 
T a có : 1 1
0( ) :
0
≥
= = 
− ≤
y y
C y y
y y
 Nếu 
 Nếu 
Do đó đồ thị 1 1( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox 
+ Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía dưới Ox 
 lấy đối xứng qua Ox 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
4 2
1
1 4 3
2
= − +y x x
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 8 
YCBT 0 lg 3 3lg1 lg lg10 1 1000< < ⇔ < <m m 
Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số 
2
1 1( ) : 1= −
xC y
x 
 Ta vẽ đồ thị hàm số 
2
( ) :
1
=
−
xC y
x 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
( ):
1
=
−
xC y
x
Dựa vào (C) ta có: 
2
1 1( ) : 1= −
xC y
x có 2 phần đồ thị : 
 + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên phải đường thẳng x = 1 
 + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên trái 
 đường thẳng x = 1 lấy đối xứng qua Ox. 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
1 1( ) : 1= −
xC y
x
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 9 
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số 1 1
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x 
 Ta vẽ đồ thị hàm số 
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1( ):
1
−
=
+
xC y
x
Dựa vào (C) ta có: 1 1
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox 
+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox . 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1 1
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 10 
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số 
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x 
 Dựa vào đồ thị hàm số 
2
( ) :
1
=
−
xC y
x ở ví dụ 3 ta có: 
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía bên phải Oy 
+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x
Ví dụ 6. Vẽ đồ thị hàm số 
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x 
 Dựa vào đồ thị hàm số 
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x ở ví dụ 5 ta có: 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 11 
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị 5( )C nằm phía trên Ox 
+ Phần 2: là phần đồ thị 5( )C nằm phía dưới Ox 
 lấy đối xứng qua Ox 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x
Ví dụ 7. Vẽ đồ thị hàm số 
2
7 7( ) : 1= −
xC y
x 
 Dựa vào đồ thị hàm số 
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x ở ví dụ 6 ta có: 
2
7 7( ) : 1= −
xC y
x có 2 phần đồ thị : 
+ Phần 1: là phần đồ thị 6( )C nằm phía trên Ox 
+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox . 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com
 Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Trang 12 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
2
7 7( ) : 1= −
xC y
x
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com