Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp 1 
Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 
Phương pháp 2 Với lần lượt là hai VTCP của a và b
Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa) 
 Nếu đường thẳng thì đường thẳng a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)
Phương pháp 4 ( tính chất 5 - tr 99)
Nếu đường thẳng thì mọi đường thẳng đều vuông góc với a.
Phương pháp 5( HĐ 2 - tr 97 ) 
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại.
Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk)
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho đường thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó.
Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97) Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp (P)
Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk)Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Phương pháp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk)
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt cách đều ba đỉnh của thì d vuông góc với mp (ABC).
Chú ý : Khái niệm trục của tam giác ABC : là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk) 
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
Phương pháp 6 (Hệ quả 2 - tr 107)
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 
Phương pháp 2 (ĐL 2 - tr 105)
 Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Phương pháp 3 
Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
KHÁI NIỆM GÓC
1) Góc giữa hai đường thẳng :Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1’ và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) .
3) Góc giữa hai mặt phẳng 
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q. Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng và 
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
 Giải
1.a/ * CMR: 
+) Ta có: (2 đường cao tương ứng)
 (do )
+) Xét có 
 * CMR: 
Cách 1: 
+) Vì 
+) Có (1đường thẳng với 2 cạnh của 1 tam giác thì với cạnh còn lại)
CM tương tự ta có: 
Vậy 
Cách 2:
+) Vì SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có: 
+) SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có 
Vậy từ (1) và (2) ta có: 
Cách 3: 
+) 
Mà với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 
+) 
b/ CMR: 
Có 
Mặt khác: BD // MN 
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì có AS = AC = a
 góc cần tìm là 
+) vuông tại B có 
Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC)
 Giải
a/ Vì và nên 
Mặt khác nên (định lý ba đường vuông góc) 
Vậy 
tức là: 
b/ Vì nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. 
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn 
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
c/ Chứng minh rằng 
 Giải
a/ Ta có: 
Vậy , tức là góc BAC của tam giác ABC là góc nhọn. Tương tự như trên, ta chứng minh được tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. 
b/ * Cách 1: Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp (ABC) nên 
Mặt khác nên 
Vậy (định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC. Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
 * Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì , mặt khác nên , suy ra . Tương tự như trên ta cũng có: . Vậy , tức là K trùng với H.
c/ Nếu tại thì 
Vì OH là đường cao của tam giác vuông (vuông tại O) và là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên
 Vậy 
Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/ 
c/ 
 Giải
a/ Gọi là đường cao của tam giác ABC, do nên (định lý ba đường vuông góc)
Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc , K thuộc 
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại 
b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên , mà nên 
Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên 
Vậy 
c/ Từ câu b ta suy ra . Mặt khác do 
Vậy 
Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng: . Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
 Giải
a/ 
Kẻ , do nên ta có 
Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó. 
Vậy 
Từ đó: (Với )
b/ 
Dễ thấy . Vì (P) đi qua A và vuông góc với SC nên AB nằm trong (P). Kẻ đường cao của tam giác SAC thì (P) chính là mp
Do tam giác SAC cân tại S nên điểm nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi 
Điều này tương đương với hay 
Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác 
(Với là trung điểm của AB)
Mặt khác 
Tức là: 
Vậy 
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. 
 Giải
a/ Ta có 
 và 
Vậy 
Tương tự ta có 
Vậy 
Do nên 
b/ Gọi M là trung điểm của BC thì (vì cùng bằng )
nên M thuộc mặt phẳng trung trực của 
Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, )
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh bằng 
Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là: 
Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và , SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 
 Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ vuông góc với SC, dễ thấy mp vuông góc với SC. 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng và 
Mặt khác mà nên 
Tương tự , tức là 
Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc khi và chỉ khi 
 (Vì cân tại )
Ta lại có: 
Như vậy 
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
 Giải
a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên 
Do nên 
Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, 
suy ra hay 
Vậy với a > x
Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên , tức là 
b/ Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy 
Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
 Giải
a/ Vì BC // AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD.
Từ giả thiết, ta có nên 
Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên là góc phải tìm.
Vậy góc giữa BC và SD bằng 
b/ Do ABCD là hình thoi nên 
Mặt khác IJ // BD nên tức là góc giữa IJ và AC bằng không đổi.
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
a/ Chứng minh rằng 
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng 
 Giải
a/ Vì ABCD là hình bình hành và nên OA = OC và OB = OD. 
Mặt khác SA = SC nên và SB = SD nên 
Vậy 
b/ Vì AB // CD mà 
nên d // AB và d qua S
Tương tự và qua S
Do nên 
Vậy 
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/ và 
 Giải 
a/ Ta có 
Vậy ACH là tam giác vuông tại H
Tương tự, ta có BKF là tam giác vuông tại K
b/ Ta có 
Mặt khác 
Vậy 
Tương tự ta có 
Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. 
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
 Giải
a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
Do I là trung điểm của DH nên 
Khi đó 
Tức là: 
Xét tam giác IBC có IM là tru ... 2003 đến 2008-2009)
cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ., BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007)(Đề số 5 – tr 10 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 35(Đề ĐH Đà Nẵng Khối A-2001- tr 83- sttdt 2001)
Cho tứ diện SABC có , tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất, 
Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA
Bài 36(Đề ĐH GTVT Khối A-2001- tr 90- sttdt 2001)
Cho tam giác ABC vuông cân có AB = Ac = a, M là trung điểm của cạnh BC. Trên các nửa đường thẳng AA’ và MM’ vuông góc với mp(ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N và I sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng AH vuông góc với NI.
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 27/02/2010
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng và 
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
Bài 2 Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC)
Bài 3 Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. 
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn 
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
c/ Chứng minh rằng 
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/ c/ 
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng: . Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
Bài 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. 
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và , SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 
Bài 8 Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
a/ Chứng minh rằng 
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng 
Bài 11 Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/ và 
Bài 12 a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. 
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Bài 13 Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng và 
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng 
Bài 14 Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.
Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp. 
Bài 16Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (tiếp)26/03/2010
Bài 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam gíac cân với AB = AC = a và góc , cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Bài 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng . Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ.
Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0) .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.
Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và Sa = 2a. Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Bài 21 ( Đề CĐ cơ khí luyện kim - 2007)Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD, BC.
Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N là trung điểm BC và C’D’. mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ ở P. Tính tỉ số 
Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và . Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD.
Bài 25( Đề CĐ Công nghiệp Tp HCM 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Các mặt bên (SAB) và (SCD) tạo với nhau một góc 600. Qua AB dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại M và N. Tính diện tích thiết diện ABMN.
Bài 26( Đề CĐ KTKT- 2007)
Cho tứ diện ABCD có : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c. Chứng minh rằng bốn mặt của tứ diện là các tam giác có 3 góc nhọn. 
Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường cao . Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
Bài 28( Đề CĐ HV – 2006)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lựot là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 30( Đề ĐH Khối B – 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có các cạnh bằng a.
a.Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
b.Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh B1B, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
Bài 31( Đề ĐH Khối D – 2002)
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 32( Đề ĐH Khối D – 2003)
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng . Trên lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuông góc với và AC = BD = AB. Tính bán kiính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 33( Đề ĐH Khối D – 2007)
cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ., BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 35(Đề ĐH Đà Nẵng Khối A-2001) 
Cho tứ diện SABC có , tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất, 
Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA
Bài 36(Đề ĐH GTVT Khối A-2001)
Cho tam giác ABC vuông cân có AB = Ac = a, M là trung điểm của cạnh BC. Trên các nửa đường thẳng AA’ và MM’ vuông góc với mp(ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N và I sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng AH vuông góc với NI.
Lời giải
Bài 1: 
1.a/ * CMR: 
+) Ta có: (2 đường cao tương ứng)
 (do )
+) Xét có 
 * CMR: 
Cách 1: 
+) Vì 
+) Có (1đường thẳng với 2 cạnh của 1 tam giác thì với cạnh còn lại)
CM tương tự ta có: 
Vậy 
Cách 2:
+) Vì SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có: 
+) SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có 
Vậy từ (1) và (2) ta có: 
Cách 3: 
+) 
Mà với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 
+) 
b/ CMR: 
Có 
Mặt khác: BD // MN 
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì có AS = AC = a
 góc cần tìm là 
+) vuông tại B có