Vấn đề 2: Bàn về cực trị của hàm số

VẤN ĐỀ 2 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I)Dấu hiệu của cực trị:
1) Dấu hiệu I: 
vQuy tắc I để tìm các điểm cực trị:
1)Tìm f’(x) 3)Xét dấu của đạo hàm 
2)Tìm các điểm tới hạn 4)Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
x
 a
 x0
 b
f’(x)
 + -
f(x)
 f(x)
 Hàm số đạt cực đại tại x0
x
 a
 x0
 b
f’(x)
 - +
f(x)
 f(x)
 Hàm số đạt cực tiểu tại x0
2) Dấu hiệu II:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên (a;b) , x0 Ỵ (a;b) & f’(x0) = 0.
a) f”(x0) ¹0 Þ Hàm số đạt cực trị tại x0.
b) f”(x0) < 0 Þ Hàm số đạt cực đại tại x0. 
c) f”(x0) > 0 Þ Hàm số đạt cực tiểu tại x0.
* Chú ý: Nếu f”(x0) = 0 hoặc f”(x0) không tồn tại thì không kết luận được điều gì về điểm x0.
vQuy tắc II để tìm các điểm cực trị:
1)Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0. Gọi xi (i = 1, 2) là các nghiệm.
2)Tính f”(x).
3)Từ dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu II.
II) Điều kiện để hàm số có cực trị:
Hàm số có cực trị Û Hàm số có điểm tới hạn & y’đổi dấu qua điểm tới hạn
v Đặc biệt: 
1)Hàm số y = ax3+bx2 +cx+d (a¹0) có Ûy’= 0 có hai nghiệm phân biệt.
2)Hàm số có Û y’= 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ.
III) Điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực tri tại x0:
1) y = f(x) đạt cực tri tại x0 Þf’(x0) = 0 (Thử lại) 3) y = f(x) đạt cực đại tại x0 Û
2) y = f(x) đạt cực trị tại x0 Û 4) y = f(x) đạt cực tiểu tại x0 Û
IV) Đường thẳng đi qua các điểm cực trị:
1)Hàm số bậc ba: y = ax3+bx2+cx + d (a¹0) có hai cực trị:
+Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ta được: y(x) = (Ax + B)y’(x) + mx + n
+Gọi (x0;y0) là các điểm cực trị thì : Þy(x0) = mx0+n
Vậy phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: y = mx + n 
2)Hàm hữu tỉ có hai cực trị: 
íC1:
 +Ta có: 
+Gọi (x0;y0) là các điểm cực trị thì : 
Þ 
Vậy phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: 
 íC2: 
 + Đặt = (v(x) ¹0) Þ 
+ Gọi (x0;y0) là các điểm cực trị thì: Þ
Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: 
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của hàm số.
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, đạt cực trị tại một điểm.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau. 
a) b) c) 
a) b) c) 
a) b) c) d) 
a) b) c) d) e) y = cos2x 
 trên đoạn 
Bài 2: Cho hàm số , đồ thị là ( Cm ), m là tham số.
Xác định giá trị của m để hàm số có cực trị.
Xác định giá trị của m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 3: Cho hàm số y = (m2 – 1) + (m + 1)x2 +3x +5, m: tham số.
Tìm m để hàm số có một cực đại & một cực tiểu.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 4: Cho hàm số y = x3 –3mx2 + (m2 +2m –3) x +4
Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thị là (C).
Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung.
Bài 5: Cho hàm số y = x3 +mx2 +1, trong đó m là tham số. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực trị .
Bài 6: Tìm các giá trị của m để mỗi hàm số sau không có cực trị:
y = x3 +mx +1, trong đó m là tham số .
 trong đó m là tham số.
Bài 7: Cho hàm số ,m là tham số
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 8: Cho hàm số có đồ thị là (Cm ). Xác định m sao cho hàm số có cực trị.
Bài 9: Cho hàm số , với tham số k. Chứng minh rằng với k bất kỳ đồ thị hàm số luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0.
 (Đề thi TN THPT 1993-1994) 
Bài 10 : Cho hàm số y = f(x) = x3 – (m + 2)x + m, m là tham số. Tìm m để hàm số tương ứng có cực trị tại x = -1. (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)
Bài 11: Tìm m để hàm số:
y = f(x) =, đạt cực đại tại x = -2.
, đạt cực đại tại x = 2.
Bài 12: Cho hàm số (a, b là tham số). Tìm a và b để hàm số đã cho đạt cực trị bằng 4 khi x = 2.
Bài 13: Cho hàm số: y = , m tham số
Tìm m để hàm số đạt giá trị cực đại yCĐ, giá trị cực tiểu yCT & 
 Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục Ox.
Bài 14: Cho hàm số , m: tham số 
Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có một cực đại & một cực tiểu Xác định m để hai giá trị cực trị của hàm số cùng dấu.
Bài 15: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu:
.
y = x3 – x2 – 94x + 95.
Bài 16: Tìm m để hàm số có cực trị. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
.
y = 2x3 – 3(m + 1)x2 + 6mx – 2m.
Bài 17: Tìm m > 0 để , có cực tiểu trong khoảng 0 < x < 2m.
Bài 18: Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại các điểm x1, x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1. 
Bài 19: Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.