Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo câu - Câu II

Nội dung chính phải học và làm được bài tập:
PHẦN ÔN TẬP LŨY THỪA – PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGA RÍT
Giải được các dạng toán về lũy thừa, lôgarít và giải được các dạng phương trình mũ và phương trình lôgarít:
Yêu cầu: Nhớ được các công thức về lũy thừa, lôgarít
Phương trình
Phương trình mũ 
Bất phương trình mũ
Phương trình lôgarít
Bất phương trình lôgarít
Các phương pháp giải chủ yếu
PP đưa về cùng cơ số
PP đưa về cùng cơ số
Phương pháp đặt ẩn số phụ
Phương pháp đặt ẩn số phụ
Phương pháp lôgarít hóa
Phương pháp mũ hóa
PP khác
PP nhẩm nghiệm và sử dụng sự biến thiên của hàm số
PP nhẩm nghiệm và sử dụng sự biến thiên của hàm số
Các công thức cần nhớ:
Về lũy thừa
Về lôgarít
F Về cơ số: khi xét lũy thừa : 
	+ xác định " a Î .
	+ xác định khi a ≠ 0 
	+ xác định khi a > 0. 
F Qui tắc lũy thừa: Với a, b > 0; m,n Î : 
* .
* ; * 
* 	* a0 = 1 với mọi a ¹ 0
* 
F Đạo hàm :
; 
Đạo hàm: (a > 0, a ≠ 1)
Sự đồng biến & nghịch biến
 ▪ Khi a > 1 hàm số y = ax đồng biến trên .
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = ax ng biến trên
FĐịnh nghĩa : Cho 0 0: 
	logax = y Û a y = x.
FCác công thức :  
* Với 0 0 ); 
* ("m Î ); 
 loga1 = 0; .
* loga(x1.x2) = logax1 + logax2; 
* = logax1 logax2 ( x1; x2 > 0 ).
 * (x > 0, α ≠ 0).
F Đổi cơ số: 
* hay logax = logab.logbx
* logab = và .
F Đạo hàm :
* , 
*
Sự đồng biến & nghịch biến
Khi a > 1 hàm số y = logax đồng biến trên TXĐ ( 0 ; + ∞ ).
Khi 0<a<1 hàm số y = logax nghịch biến trên TXĐ ( 0 ; + ∞ ).
Chú ý: thường dùng các công thức sau:
Phương trình & bất phương trình mũ
Phương trình & bất phương trình lôgarít
J ax = m x = logam
J ax > m 
ax 0 với mọi x R
F Với 0 < a 1 thì:
J af(x) = ag(x) f(x) = g(x);
J khi a > 1: af(x) > ag(x) f(x) > g(x) 
J khi 0 ag(x) f(x) < g(x) 
 F Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì:
J logax = m x = am 
J logax > m 
J logaf(x) = logag(x) 
F Nếu a > 1 thì:
J logaf(x) > logag(x) 
F Nếu 0<a<1 thì:
 Jlogaf(x)>logag(x).
Các bài giải hoặc hướng dẫn minh họa:
Ví dụ 1: ( các ví dụ minh họa) Giải các phương trình và bất phương trình sau:
Nội dung bài giải
Phương pháp giải
1) 2x+1 .5x = 2.102x+5 
	 10x = 102x+5 
	 x = 2x +5 x = - 5.
Vậy nghiệm của pt là x = - 5
PP giải:
Đưa về cùng cơ số 
af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x)
F với cơ số a = 10
2) - = 20 ĐK: x 0
Giải: đặt t = 
p t đã cho trở thành:
t - -20 = 0 t2 – 20t -125 = 0 
Û t = - 5 (loại), t = 25 (nhận)
Û t = 25 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 4
Các bước giải:
Bước 1: chọn và ẩn số phụ đặt 
t = af(x).
Bước 2: thay vào phương trình để được một trong các dạng:
at + b = 0 (bậc nhất theo t)
at2 + bt + c = 0(bậc hai theo t)
at3 + bt2 + ct + d = 0 ........
Giải tìm t rồi tìm x và kết luận
3) 3.49x + 2.14x – 4x = 0 Û 
Chia hai vế của PT cho 4x rồi đặt t = (t > 0), phương trình trở thành: 3t2 + 2t – 1 = 0 Û t = -1 (loại), t = 
Với t = Û 
Vậy nghiệm của phương trình là 
PP giải: phương trình có chứa 3 “cơ số chính” là 7, 2 và 7.2 = 14
Ta có 3 cách đưa về cùng 1 có số
F chia 2 vế cho 4x.
F chia 2 vế cho 49x.
F chia 2 vế cho 14x.
Cách giải bên trái là 1 trong 3 cách trên
4) (*) Đk x -2 . 
Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có 
 (*) Û 
	 x = 1 hoặc x = -(1+log32).
Vậy nghiệm của pt là: x = 1 hoặc x = -(1+log32)
PP giải: Ta có thể lấy loga 2 vế với cơ số tùy chọn là loga cơ số 3, có số 8, cơ số e 
PP đang sử dụng là lấy loga cơ số 3.
Sử dụng các công thức:
F loga(M.N) = logaN + logaM 
F 
5) ln(4x + 2) – ln(x – 1) = lnx (*)
Điều kiện: 
	(*) Û ln(4x + 2) = ln[x(x – 1)] Û 4x + 2 = x(x – 1)
	Û x2 – 5x – 2 = 0 
	Û (loại) hay (nhận)
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Đặc biệt lưu ý đặt điều kiện để mọi lôgarít đều phải có nghĩa
Áp dụng: 
logaf(x) = logag(x) Û f(x)=g(x)
F sau tìm được các giá trị x cần so sánh điều kiện để kết luận
6) 	 (ĐK: x ¹ 1)
 x1 hay -2 x < -1.
Vậy nghiệm của bpt là: x1 hay -2 x < -1
F với cơ số a = hay 
a = 
F giải bpt (*) bằng cách chuyển về 1 vế và xét dấu vế trái và dựa vào bảng xét dấu để kết luận
(cần nhận xét để thấy giải bất phương trình khác với giải phương trình ở “xét dấu biểu thức” để tìm nghiệm. 
7) log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) 
 log5(4x +144) < log580(2x-2+1) 
 4x -20.2x +64 < 0 (**) 
 4 < 2x < 16 2< x < 4. 
Vậy nghiệm của bpt là: 2< x < 4
FCơ số 5 có sẳn nhưng “gom” các lôga như thế nào? Dùng công thức gì?
F giải bpt (**) bằng cách đưa về cùng cơ số mấy?
8) 4x – 2.52x < 10x 
HD: Chia hai vế cho 10x , ta được 
, Đặt t = . 
Bất phương trình trở thành:
 Û 
Û t2 – t – 2 < 0 
Û 0 < t < 2 
 , 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
Hãy giải bpt này
Các bài tập luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình: ( Có phải PP đưa về cùng cơ số ? J)
a) 	b) . 	c). 
a) 	b). c) 	
d) 	e) 	f) 
Bài 2: Giải các phương trình: ( Có phải PP đưa về cùng cơ số ? J)
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Bài 3: Giải các phương trình sau đây:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 	l)
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 	 b) 	c) 
d) e) f) 
Bài 5: Đơn giản – tính giá trị các biểu thức.
1) 	2) 
Bài 6) Tìm x biết: a) 	b)	c) 	d) e) 
f) 	 g) 	h) k) 	l) 	
Bài 7) Tính: 
a) b) . c) .
d) e) . f) 
g) h) 
PHẦN ÔN TẬP CỰC TRỊ :
1. Phương pháp: 
Phương pháp 1: Hàm số y = f(x)
F Tìm đạo hàm y’ = f’(x).
F Thay x0 vào f’(x) để có f’(x0) và lập phương trình: f’(x0) = 0. Giải phương trình này tìm giá trị của tham số ( thường là m, k). 
F Thay giá trị m vừa tìm vào hàm số và hực hiện bài toán tìm cực trị ( hay cực đại, cực tiểu). Nếu tại x0 đúng yêu cầu của đề bài, ta được giá trị tham số cần tìm.
Phương pháp 2: Hàm số y = f(x)
	Sử dụng 	1) Nếuthì hàm số đạt cực trị tại x0 
	2) Nếuthì hàm số đạt cực trị tại x0
3) Nếuthì hàm số đạt cực trị tại x0
2. Bài tập minh họa: 
Nội dung bài giải
PP giải – các chú ý
Bài tập:Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3. Tìm m để hàm số :
a) Đạt cực trị tại x = 1 
b) Đạt cực đại tại x = 0
a) Cách 1 :
Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0 3 – 4 + m = 0 . 
Khi m = 1 ta có y’ = 3x2 – 4x + 1 
x
-¥	1/3	1	+¥
y'
	+	0	-	0	+
y
-¥
CĐ
CT
-¥
Vậy: m = 1 thì hàm số đạt cực trị tại x = 1
Cách 2 :
Ta có f’(x) = 3x2 – 4x + m và f’’(x) = 6x – 4.
Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi: 
Vậy m = 1 thỏa đề bài
Cách 1:
Bước 1: tìm f’(x)
Bước 2: Hs đạt cực trị tại x0 khi f’(x0) = 0 ( giải phương trình này tìm m)
Bước 3:Thử lại xem với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực trị tại x = 1
Cách 2:
Bước 1: tìm f’(x) và f’’(x)
Bước 2: H số đạt cực trị tại x = 1 khi 
Bước 3: giải hệ này tìm m và kết luận
b) Cách 1 :
Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi f’(0) = 0 Û m = 0
Khi m = 0: y = f(x) = x3 – 2x2 – 3
x
-¥	0	4/3	+¥
y'
	+	0	-	0	+
y
-¥
CĐ
CT
-¥
Vậy: khi m = 0 hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Cách 2:
Ta có f’(x) = 3x2 – 4x + m và f’’(x) = 6x – 4.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi: 
Vậy m = 0 là kết quả cần tìm.
Cách 1:
Bước 1: tìm f’(x)
Bước 2: Hs đạt cực đại tại 
x = 0 khi f’(0) = 0 ( giải phương trình này tìm m)
Bước 3:Thử lại xem với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 0
Cách 2:
Bước 1: tìm f’(x) và f’’(x)
Bước 2: Hsố đạt cực đại tại x = 0 khi 
Bước 3: giải hệ này tìm m và kết luận
Bài tập tương tự : 
 1. Cho hàm số. Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại 	
2. . Tìm để hàm số đạt cực đại tại 
3. Chứng minh rằng hàm số y = x3 + mx2 – (1 + n2)x – 5(n + m) luôn luôn có cực trị với mọi giá trị m,n.
4. Xác định m để hàm số y = x3 – mx2 + (m – 23)x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính giá trị cực trị tương ứng.
5. Tìm cực trị của các hàm số:
a) y = (x + 2)2(x – 3)3.	b) 
c) 	d) 
HD: câu 1. Và 2. Tương tự như trên
3. y’ = x2 – 6mx + m2 – 1
HS đạt cực trị Û phương trình: x2 – 6mx + m2 – 1=0
Có 2 nghiệm phân biệt 
Û ??
5. Đây là bài toán tìm cực trị của 1 hàm số không có tham số:
Bước 1: tìm y’
Bước 2: xét dấu y’
Bước 3: kết luận 
3. Bài tập rèn luyện: 
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
Cho . Tìm m để có 2 giá trị cực trị cùng dấu.
Cho . Tìm m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương.
Cho .Tìm m để (C) có 2 điểm cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Cho . Tìm m để (C) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
Cho . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu,
Cho . Tìm m sao cho hsố đạt cực đại tại x = 2 
PHẦN ÔN TẬP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT :
Phương pháp 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên [a;b]
F Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1 . 
(nghiệm nào không thuộc [a;b] thì ghi Ï[a;b])
F Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1),
F là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.
F là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên.
Phương pháp 2: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên (a;b)
F Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1, ...
F Xét dấu y’ trên (a;b)
F dựa vao bảng xét dấu để kết luận.
Phần minh họa – bài mẫu
Nội dung bài giải
PP giải – các chú ý
Ta có: 
Do đó: 	f’(x) = 0 Û 3x2 + 6x – 9 = 0 
Û x = 1 Î [-2;2], x = -3 Ï [-2;2]
Ta có: 
Vậy:	
PP giải:
Tính f’(x), giải pt f’(x) = 0
Chỉ tính f(1), f(-2), f(2) (vì sao?
Bài tập tương tự :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=cos22x-sinx.cosx+4 
Giải: ta có 
y=cos22x-sinx.cosx+4=1-sin22x-12sin2x+4=-sin22x-12sin2x+5 
Đặt t=sin2x khi đó t∈[-1;1] 
hàm số trở thành y=-t2-12t+5
y'=-2t-12 ; y'=0Û t=-14
y-1=92 ; y1=72 ; y-14=
Vậy GTLN bằng , 	GTNN bằng 
Hàm số cho dưới dạng lượng giác, cần chú ý:
-1 ≤ sinx, sin2x, sin ≤ 1
-1≤cosx, cos(6x),sin ≤ 1
	.............
Khi đưa được về dạng đại số , thực hiện như bài tâp 1
Các bài tập rèn luyện
Bài 1: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên đoạn [-4;3].
f(x) = 25-x2 trên đoạn [-4;4]
f(x) = x2-3x+2 trên [0;3]
f(x) = 1sinx trên đoạn [π3;5π6]
f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0;3π2]
Bài 2: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = x4 – 8x2 + 16 trên [-1;3]
f(x) = trên (-2;4]
f(x) = x + 2 + trên (1;+∞)	
f(x) = x1-x2	
f(x) = cos3x – 6cos2x + 9cosx + 5	
f(x) = sin3x – cos2x + sinx + 2	
Bài 3: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số.
	KQ: GTLN y = 2 tại x = 1; GTNN y = tại x = 
	KQ: GTLN y = 2 tại x = 1; GTNN y = tại x = -2;x=4
 	KQ: GTLN y = 4 ; GTNN y = -2 
 	KQ: GTLN y = 2 tại x = 0; GTNN y = tại x = ±1
PHẦN ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN :
Các công thức và tính chất của nguyên hàm: 
Các công thức – tính chất - ứng dụng của tích phân:
Định nghĩa tích phân:
Các tính chất của tích phân:
JTính chất 1: 
JTính chất 2: 
JTính chất 3: 
JTính chất 4: 
Ứng dụng của tích phân tính diện tích:
J Diện tích (H) giới hạn bởi các đường y=f(x) và Ox,x=a,x=b (a<b)
	S = 
J Diện tích (H) giới hạn bởi các đường 
y=f(x) và y=g(x),x=a,x=b (a<b)
	S = 
Ứng dụng của tích phân tính thể tích:
J Thể tích do (H) giới hạn bởi các đường y=f(x) và Ox,x=a,x=b (a<b) quay quanh Ox tạo ra
	V = 
Thể tích do (H) giới hạn bởi các đường x=f(y) và Oy,y=a,y=b (a<b) quay quanh Oy tạo ra
	V = 
Một số bài tập minh họa:
Nội dung bài giải
PP giải – các chú ý
Bài tập 1: kiểm tra trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại
f(x) = esinx.cosx và g(x) = esinx.
f(x) = sin2 và g(x) = 
Giải: 
 a) ta có g’(x) = (esinx)’ = esinx.(sinx)’ = esinx.
Vậy g(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x)
b) Ta có: 
f’(x) = (sin2)’ = = = 
Vậy f(x) là 1 nguyên hàm của hàm số g(x).
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa nguyên hàm:
Nếu [F(x)]’ = f(x) thì F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x)
Bài tập 2: Tính các tích phân sau:
a)
= ln2 - .
Vậy: = ln2 – 1 .
Phương pháp: Một trong những cách biến đổi là “chia tử cho mẫu để xuất hiện các dạng có công thức tìm nguyên hàm”
b)
= 	Vậy 
Áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi:
c)
= = 
Vậy: = 
Chú ý:
J 
Và 
J 
d)
= 
 = . Vậy: 
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: 
Bài tập 3: Tính các tích phân sau:
a) .
Đặt t = cosx Þ dt = – sinx dx Þ sinxdx = – dt. 
Đổi cận: 	
do đó: 
Vậy: 0
Phương pháp đổi biến số:
F Bước 1: chọn biến số “phù hợp”.
F Bước 2: Tính dt và đổi cận.
F Bước 3: Thay trở lại vào tích phân và tính tích phân theo t.
F Bước 4: Kết luận.
Vì sao đặt t = cosx ....... ?? J
b) 
Đặt t = x2 + x + 1 Þ dt = (2x + 1)dx
Đổi cận: 	x = - 1 Þ t = 1
	x = 1 Þ t = 3
Từ đó: 
Vậy: = 
Đặt t = x2 + x + 1 hoặc t = đều được .... Kết quả vẫn là 
JJ
c) 
Đặt: 	u = x Þdu = dx
	dv = cosxdx Þ v = sinx
Từ đó: 
. Vậy = 
Phương pháp tích phân từng phần
Chú ý: chọn và 
đặt 	u = ..........
	dv = .........	(cho phù hợp)
Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(P): y = 2 – x2 và đường thẳng (d): y = – x. 
Giải: Lập phương rình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2 – x2 = – x Û x2 – x – 2 = 0 Û x = -1; x= 2.
Diện tích cần tính 
S = 
 (vì –x2 + x + 2 ≥ 0 trên [-1;2] )
= 
Vậy S = ( đơn vị diện tích)
Nhận xét: áp dụng công thức 
S = 
 Với f(x) và g(x) đã cho còn các cận thì cần phải tìm thêm. L
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận dưới và cận trên.
Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.
Bước 3: tìm cách khử giá trị tuyệt đối ( bằng cách xét dâu biểu thức trong giá trị tuyệt đối hoặc vẽ đồ thị để quan sát để khử )
Bước 4: tính và kết luận diện tích ( Đặc biệt lưu ý kết quả là một số dương)
Bài tập 5: Tính thể tich vật thể tròn xuay do hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành và (P): y = x(4–x)
Giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm của Ox và (P): x(4 – x) = 0 Û x = 0; x = 4.
Thể tích cần tính 
= .
Vậy thể tích V = ( đơn vị thể tích)
Nhận xét: Áp dụng công thức:
 với a, b là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình hoành độ giao điểm: x(4 – x) = 0
Bài tập rèn luyện:
Bài 1 : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ?
1. f(x) = 2 – x2 và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) = 
2. f(x) = 4 và F(4) = 0 ĐS. F(x) = 
3. f (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x4 – x3 + 2x + 3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1.  ; 2. ; 3. ; 	4.
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. ; 	 2.  ; 3.  ; 4.  ; 
5. 	6.  7. ;	 8..
Bài 4 : Tính các tích phân sau đây :
1.  ; 2. ;	3.  ; 4. ; 5.
6. ; 7. 8. ; 
Bài 5 : Tính các tích phân sau : L
1.  2. ; 3. ; 4. ; 5.  
Bài 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
y=x3-3x+5, trục Ox và các đường thẳng x = 1; x = 3	KQ: S = 18 (đvdt)
y=12x2+3x+1, y=-x+1 và hai đường thẳng x=1 , x=2	KQ: S = 436(đvdt)
y=cosx, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = p	KQ: S = 2(đvdt)
y=x2-3x+1 và y = -x + 4 .	KQ: S = 323(đvdt)
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
Bài 8 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) : y = tanx, y = 0, x = 0, x = .
Tính diện tích hình phẳng 
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox.