Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học

 Hoàng Việt Quỳnh 
Toaën hoåc phöí thöng 
Các phương pháp giải nhanh đề thi 
đại học 
www.VNMATH.com
 1 
Các phương pháp giải toán đại số và 
giải tích 
L
i nói đu: 
Sau 12 năm học tập, giờ đây chỉ còn một kì thi duy nhất đang chờ đợi các em đó là kì thi đại 
học. Đây sẽ là kì thi khó khăn nhất trong suốt 12 năm các em ngồi trên ghế nhà trường. Kì thi 
đại học chính là một bước ngoặt lớn trong cuộc đời của mỗi học sinh vì thế mỗi học sinh cần 
phải chuẩn bị kiến thức thật toàn diện vì nội dung của đề thi mang tính liên tục. Có lẽ trong các 
môn, môn toán vẫn luôn chiếm vị trí quan trọng và là vật cản lớn nhất trên bước đường tiến tới 
giảng đường đại học. Vì thế tôi xin mạo muội góp chút kiến thức đã thu lượm được trong quá 
trình học tập để viết lên quyển sách này. Hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các em học tập. 
Quyển sách được chia thành sáu đơn vị bài học và hai phụ lục. Mỗi bài đều là những phần 
quan trọng, xuất hiện thường xuyên trong đề thi đại học. Ở mỗi bài đều có những đặc điểm 
sau: 
• Phần tóm tắt kiến thức đã học được trình bày ngắn gọn và tổng quát nhằm khơi lại phần 
kiến thức đã quên của các em. 
• Hệ thống các bài làm được chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình và khai thác tối đa các 
góc cạnh của vấn đề nêu ra, đồng thời phương pháp giải ngắn gọn, trực quan cùng nhiều 
kinh nghệm giải đề giúp các em có thể hiểu được nội dung bài giải và cách áp dụng cho các 
dạng đề thi sẽ gặp sau này. Đồng thời, các ví dụ đều được trình bày từ cơ bản đến nâng cao. 
Đây là những đề bài trích ra từ đề thi dự trữ của các năm trước và tham khảo từ những tài 
liệu của các thầy cô có nhiều năm kinh nghiệm trong quá trình luyện thi nên đảm bảo về 
mức độ và giới hạn kiến thức. Lời giải trong các ví dụ chỉ là tượng trưng nhằm mục đích nêu 
lên phương pháp giải, các em và các thầy cô khi tham khảo cuốn tại liệu này có thể tìm ra và 
trình bày cách giải và cách trình bày hợp lí hơn. Các em nên tập giải các dạng bài trên một 
cách thuần thục và độc lập. sau khi giải xong mời xem phần lời giải. Đó là điều mà tác giả kì 
vọng nhiều nhất. 
• Lí giải các phương pháp, đưa ra thuật toán giải chung, đưa ra bản chất lời giải, đó là 
phần lời bình, lưu ý ở cuối mỗi bài tập. 
Phần phụ lục là 12 đề thi tiêu biểu theo cấu trúc đề thi mới nhất do Bộ GD&ĐT công bố. Các 
đề thi có mức độ khó rất cao, đòi hỏi người làm phải tư duy rất nhiều. Với mức độ khó đó, tôi 
mong rằng khi các em giải thuần thục các bài trong bộ đề thi này các em sẽ có đủ tự tin và kiến 
thức để đạt điểm cao khi làm bài môn toán. Phụ lục 2 là một số mẹo để dùng máy tính đoán 
nghiệm cố định, phục vụ cho quá trình giải các bài tập về phương trình tích như lượng giác, hệ 
phương trình, phương trình, cách giải nhanh bài toán hình học bằng máy tính Đồng thời giới 
thiệu thêm phương pháp chia Horner để giúp các em làm nhanh bài toán có chia đa thức, phân 
tích thành tích 
Với dự định là sẽ giới thiệu quyển sách cho các em trong tháng cuối cùng trước khi thi đại 
học nên sách đã giản lược một số phần không cần thiết và các kiến thức bên lề, chỉ giới thiệu 
những trọng tâm của đề thi nên bài tập có thể còn ít. Tôi cũng có lời khuyên cho các thì sinh là 
hãy tìm thêm các đề thi trên mạng internet vì đây là kho kiến thức vô tận. 
Mặc dù rất cố gắng nhưng cuốn sách rất có thể còn nhiều thiếu sót do thời gain biên soạn 
ngắn đồng thời kinh nghiệm và sự hiểu biết còn hạn chế. Rất mong được sự góp ý của bạn đọc. 
Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả qua địa chỉ sau: 
Hoàng Việt Quỳnh 
Khu 6a – Thị trấn Lộc Thắng – Bảo Lâm – Lâm Đồng 
Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn 
Blog:  
Tel: 063-3960344 01676897717 
www.VNMATH.com
 2 
Bài I: Ứng dụng phương trình đường thẳng để 
giải phương trình căn thức. 
VD1. Nhắc lại kiến thức về đường thẳng. 
1) Phương trình tổng quát: 
 Đường thẳng đi qua M(x0;y0) và có vetơ pháp tuyến n


(A;B) thì đường thẳng đó có phương trình: 
(d): A(x-x0)+B(y-y0)=0 

(d): Ax+By+C=0 
VD1. Đường thẳng qua M(1;2) nhận n


(2;1) làm vectơ pháp tuyến. 
(d): 2(x-1)+1(y-2)=0 

 (d): 2x+y-4=0 
2) Phương trình tham số: 
Đường thẳng đi qua M(x0;y0) và có vectơ chỉ phương a


(a1;a2) 
(d): 



+=
+=
tayy
taxx
20
10
VD2. Đường thẳng qua M(3;4) nhận a


(2;3) làm vtcp có phương trình: 
(d): 



+=
+=
ty
tx
34
23
VD3. Cho (d): x+y=4. Viết phương trình tham số của (d). 
Giải: 
Vectơ pháp tuyến : n


(1,1) 
Vectơ chỉ phương : a


(1,-1) 
Điểm đi qua M(2;2) 
 (d) : 



−=
+=
ty
tx
2
2
VD2. Ứng dụng 
VD1. Giải phương trình : 101238 33 =−++ xx 
Giải: 
Đặt: 83 +x =1+3t và 312 x− =3-t Đk( -1/3 ≤t≤1/3) 

 x3 +8=(1+3t)2 (*) và 12-x3 = (3-t)2 (**) 
Lấy (*)+(**) ta có 20=10t2+10 
 t2=1 
 t=1 hoặc t=-1(loại) 

 x3=8 
 x=2 
Tip: 
Có phải bạn đang tự hỏi: thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy được cách đặt ẩn t ??? 
www.VNMATH.com
 3 
Không phải ngẫu nhiên mà tôi lại trình bày lại vấn đề đường thẳng, một vấn đề tưởng chừng như 
chẳng liên quan gì đến đại số. Nhưng giờ đây ta mới nhận ra được “đường thẳng” chính là “tuyệt chiêu” 
để giải phương trình dạng căn thức. Mấu chốt đó là: 
B1: 101238 33 =−++

YX
xx 
Từ đó ta có phương trình đường thẳng : X+3Y=10 
B2: ta viết lại phương trình: X+3Y=10 theo tham số t 



=
=
t-3Y
3t +1X
Lúc này phương trình đã quy về 1 ẩn t và việc giải phương trình trên là không khó. (Vì đây là kiến thức 
“lớp nhí”) 
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này các bạn hãy cùng tôi đến với VD2. 
VD2. Giải phương trình : 

X
x 3+ +

Y
x3 2+ =1 
Giải: 
Gọi (d): X=1+t và Y=0+t 
 (1) Đặt 




=+
−=+
tx
tx
3 2
13
 (t≤1) 
 




=+
+−=+
3
2
2
213
tx
ttx
Lấy phương trình 2 trừ pt1 ta có: -1=t3-t2 +2t-1 
 t3-t2 +2t=0 
• T=0 
 x=-2 
Lưu ý: 
Trong khi giải đề thi, các bạn nên trình bày từ bước(1) trở đi nhằm đảm bảo tính ngắn gọn cho bài toán. 
Bước gọi phương trình đường thẳng chỉ nên làm ngoài giấy nháp. 
• Trong bài trên ta có thể đặt 




=+
=+
vx
ux
3 2
3
 và quy về giải hệ phương trình. Các bạn có thể xem 
cách này như một bài tập. các bạn hãy làm và so sánh sự ưu việt giữa 2 phương pháp. 
• Trong bài trên ta hạn chế phương pháp lũy thừa vì nếu muốn khử 2 căn thức khác bậc trên, ta phải 
^6 phương trình. Ta sẽ gặp khó khăn và sẽ đối mặt với 1 phương trình “kinh khủng” và ta phải giải 
“xịt khói” mới có thể ra nghiệm. 
VD3. Giải hệ phương trình : 
( )
( )



=+++
=−+
2411
13
yx
xyyx
 (đề thi ĐH năm 2005) 
Giải: 
Đặt: 




−=+
+=+
ty
tx
21
21
 (-2≤t≤2) 
 




+−=+
++=+
441
441
2
2
tty
ttx

 




+−=
++=
34
34
2
2
tty
ttx
Phương trình(1) trở thành: 2t2+6- )43)(43( 22 tttt −+++ =3 
www.VNMATH.com
 4 

 910 24 +− tt =2t2+3 
 


 
 hoặc 

 t=0 
 x=y=3 
VD4. Định m để phương trình sau có nghiệm: 
Giải: 
Để phương trình có nghiệm: 
mxf =)(
 Min f(x)≤m ≤Max f(x) 
Đặt 




−=−
+=+
txm
tmx
33
312
 (-1/3≤t≤3) 

 




+−=−
++=+
2
2
693
9612
ttxm
ttmx

 cộng vế với vế => 5m=10+10t2 
 2t2+2=m 
 f(t)=m 
Với f(t)= 2t2+2 miền xác định: D=[-1/3;3] 
F’(t)=4t =>f’(t)=0 
 t=0 
t -∞ -1/3 0 3 +∞ 
F’(t) - 0 + 
 20/9 20 
 2 
F(t) 
M có nghiệm 
 2≤m≤20 
VD3. Bài tập tự luyện 
1) Giải hệ phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
3) Giải hệ phương trình: 2 1 1 1
3 2 4
x y x
x y
 + + − + =

+ =
 (đề thi dự bị1A – 2005) 
4) Giải phương trình: 1 sin( ) 1 cos( ) 1x x− + + = (đề thi dự bị2A – 2004) 
www.VNMATH.com
 5 
Bài II: Các cách giải phương trình và bất phương trình 
vô tỉ. 
1) Lũy Thừa 
Phương pháp lũy thừa là phương pháp tổng quát nhất để giải phương trình có căn. Khi gặp các phương 
trình có dạng căn phức tạp nhưng khi chúng ta biết “mẹo lũy thừa” thì có thể giải bài toán một cách dễ 
dàng. Đây là một phương pháp cơ bản, các bạn phải thực tập nhuần nhuyễn vì phương trình trong đề thi 
đại học có lúc rất dễ nhưng ta lại không để ý. các bạn hãy theo dõi các ví dụ sau. Nhưng trước hết hãy 
lưu ý vấn đề sau: 
• Đặt điều kiện 
• Lũy thừa chẵn thì hai vế không âm 
• Các dạng cơ bản: 
 BA = 
 



=
≥
2
0
BA
B
 BA < 
 



≤≤
≥
20
0
BA
B
 BA > 
 










>
≥



≥
<
2
0
0
0
BA
B
A
B
VD1. 
Giải: 

 







=−+−+
≥−
≥−
≥
10)5(25
010
05
0
xxxx
x
x
x
 
 




−=−
≤≤
xxx
x
552
50
2
 
 



+−=−
≤≤
22 1025)5(4
50
xxxx
x

 



=+−
≤≤
056
50
2 xx
x
 
 x=1 ∨ x=5 
VD2. 132 −<+− xxx 
Giải: 

 2 x = 3−x + 1−x 
 




−++−++<
≥
)1)(3(2134
1
xxxxx
x
 





−>−+
≥
132
1
2 xxx
x

 



+−>−+
≥
1232
1
22 xxxx
x
 
 



>
≥
1
1
x
x
 
 x=1 
www.VNMATH.com
 6 
VD3. 
Giải: 
Đk: 2x+1>0 
 x>1/2 
Bpt 
 (4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36 
Đặt t = (x2-x) bpt trở thành: 
(4t+1)(t+2)≥36 

4t2+9t-34≥0 

t≤-17/4 hoặc t≥2 

 x2-x≤-17/4 hoặc x2-x≥2 

 x≤1 hoặc x≥2 
VD4. Giải bất phương trình : 
Giải: 

 









≥−−
>−
=+−
02
0
0
2
2
2
xx
xx
xx
 10 =∨=⇔ xx 
Lưu ý: 
Ở bất phương trình trên các bạn không nên lũy thừa để tính toán vì quá trình lũy thừa và nhân phân phối 
rất mất thời gian. Hơn nữa, khi quy về một phương trình hệ quả, chúng ta giải rất dễ sai vì khi giao các 
tập nghiệm sẽ không có giá trị nào thỏa mãn. 
Trong bài trên tôi sử dụng cách đánh giá theo kiểu như sau: 
A B ≥0 
 








≥
>
=
0
0
0
A
B
B
 Đó chính là mấu chốt của bài toán 
VD5. Giải phương trình : 
Giải: 

 

 

 














 −
=−
≥−
≥




 −
−
2
2
4
538
053
0
4
532
x
x
x
x
 
 x=3 
www.VNMATH.com
 7 
Lưu ý: 
Trong phương trình trên các bạn phải “để ý” và “nhanh” một chút vì nếu như ta để nguyên phương trình 
đề cho để lũy thừa thì đó là một điều “không còn gì dại bằng” ta sẽ đối mặt với chuyện lũy thừa 2 lần => 
một phương trình bậc 4. Phương trình này ta không thể bấm máy tính. Nhưng nếu giải tay thì phải giải “xịt 
khói” mới ra trong khi thời gian không chờ đợi ai. Đồng thời chúng ta không cần giải điều kiện vội vì giám 
khảo chỉ quan tâm đến bài làm và kết quả. Chúng ta hãy chỉ viết “cái sườn” của điều kiện. sau khi giải ra 
nghiệm chỉ việc thế vào điều kiện là xong. 
2) Phương pháp đặt ẩn phụ: 

 CÁCH GIẢI: ( )
( )
( ) 0)();(
0)();(
0)();(
=
≤
≥
n
n
n
xuxuf
xuxuf
xuxuf
 t= n xu )(  Phương trình hữu tỉ hoặc hệ phương trình 

 BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
VD1. 
Giải: 

 Đặt t= => t>0 ; t
2+2= x2 + x 

 3t=2(t2-1) 

 t=-0.5 (loại) hoặc t=2 

x2+x=6 
 x=2 hoặc x=3 
VD2. 
Giải: 
T= 1−x 
 



=+
≥
xt
t
1
0
2 
Phương trình trở thành: 

 

 t2+1-(t+1)=2 
 t2-t-2=0 
 t=2 hoặc t=-1 

x=5 
VD3. 
Giải: 
 
 => 
pt trở thành: t2+t+2=8 
 t=2 ∨ t=-3 
TH1: t=2 
www.VNMATH.com
 8 

 

 
TH2: t=-3 

 

 

 LOẠI II: ( )nn xvxuf )()( + { ≥0; ≤0; =0 } 
Phương pháp chung: 




=
=
vxv
uxu
m
n
)(
)(
 => Đưa về h ...  số thể tích của tứ diện và hình cầu ngoại tiếp tứ diện. 
Câu 5: Cho 2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh rằng: 3 3 3 3 1a b c abc+ + − ≤ . 
B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chỉ được chọn Câu 6 hoặc Câu 7) 
Câu 6: (Chương trình chuẩn) 
 a. Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua H(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C 
sao cho H là trực tâm ∆ABC 
b. Trong Oxyz viết phương trình mặt cầu tâm I ∈ Oz, đi qua A(1;1;1) và cắt (Oxy) một đường tròn dài 2π 
c. Giải phương trình : 0 1 2 22 3 4 .... 120 , x
x
xC C C C N
−+ + + + = ∈ 
Câu 7: (Chương trình nâng cao) 
I/ Trong Oxyz cho A(3;0;0) B(1;-2;8) và mặt phẳng (P):x-2y+2z+6=0 
a Tìm M∈(P) sao cho AM BM+

 

 nhỏ nhất. 
 b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và cắt (P) theo giao tuyến d hợp với AB góc 900 
II/ Giải hệ phương trình : 
2 2
3 5 5 3
4 2 5.4
log log log .log
x x y x y
y xy xy
x y x y
− −
 + =
 + =
www.VNMATH.com
 55 
ĐỀ 12: 
A. PHẦN CHUNG: 
Câu 1: Cho hàm số (C) ( ) ( )
3
2 162 2 1
3 3
xy mx m x−= + − − + 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m =0 
2. Chứng minh rằng (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. 
Câu 2: 
3. Giải phương trình: ( )sin 3 sin 3 cos 1x x x+ = − 
4. Giải bất phương trình : 20.522 2
4log log 0, 25 log
x
x
x
+ ≥ 
Câu 3: Tính tích phân: 
1
4
0 1 2
xI dx
x
=
−
∫ 
Câu 4: Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng a. Lấy trên các đươgn tròn đáy (O) và 
(O’) các điểm A, B sao cho AB=2a. tính góc giữa hai đường thẳng OA, O’B và thể tích tứ diện O’OAB 
Câu 5: Cho a,b>0 và 
1 1 1
a b ab
+ =
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất: 
2 2a b abP
ab a b
+
= +
+
B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chỉ được chọn Câu 6 hoặc Câu 7) 
Câu 6: (Chương trình chuẩn) 
a. Trong Oxy cho ∆ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2;1), A∈Oy và đường thẳng 
BC:3x y 10 0− − = . Tìm tọa độ A,B,C biết góc BAC bằng 450 và 0A By y> > 
b. Trong Oxyz cho A(0;1;0), B(1;-2;2). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, B và cách A một 
khoảng bằng 
2
2
c. Giải phương trình : 44 1 0z + = 
Câu 7: (Chương trình nâng cao) 
a. Trong Oxy cho ( ) 2: 2P y x= có hai tiêu điểm là F . Đường thẳng d quay quanh F cắt (P) tại M,N. 
Chứng minh rằng 
1 1
MF NF
+ không đổi. 
b. Trong Oxyz viết phương trình tham số đường thẳng qua M(1;-2;2). d⊥ OM và d hợp với Oy một góc 
450 
c. Tìm hệ số của 6x trong khai triển thành đa thức của biểu thức: ( ) ( )1 21 1 nnP x x x+= + + + . Biết hệ số của 
10x bằng 10. 
www.VNMATH.com
 56 
PHỤ LỤC II: Cách giải nhanh bài toán bằng máy tính bỏ túi.Phép chia theo sơ đồ 
Horner. 
 Trong các kì thi quan trọng có môn toán, máy tính bỏ túi được phép sử dụng và trở thành công cụ không 
thể thiếu đối với thí sinh. Tuy nhiên ít ai có thể tận dụng được tối đa các chức năng của máy tính trong 
giải toán. Nay tôi xin giới thiệu một số phương pháp tìm nghiệm bằng chức năng SOLVE của máy tính. Bài 
viết được viết với máy fx-570ES và tôi cũng khuyên các em tập làm quen sử dụng máy này trong quá 
trình giải toán. 
VD1. Tìm nghiệm cố định: ( ) ( )3 22 3 1 6 4 0 1x a x ax− + + − = 
Giải: 
Soạn phương trình (1) vào máy tính. ( )3 22 3 1 6 4 0x A x Ax− + + − = . Dấu = soạn bằng cách nhấn: ALPHA 
+ CALC 
Nhấn tiếp: Shift + SOLVE 
Sau đó, máy hỏi: A=? ta cho ngẫu nhiên A=2 rồi nhấn phím = 
Tiếp đến, dựa vào “linh cảm” mách bảo, ta đoán x=-3, nhấn tiếp phím = 
Máy hiện nghiệm x=0.5. Ta ghi nghiệm này ra giấy. có thể đây sẽ là nghiệm cố định cần tìm??!! 
Nhấn tiếp Shift + SOLVE với A=2 
Lần này ta thử với x=10 
Máy hiện x=2 . 
Thay A=-3;4;5.. và làm tương tự ta chỉ thấy máy báo x=2 
Vậy ta kết luận x=2 là nghiệm cố định. 
Đây chính là cách tìm nghiệm cố định trong bài tập ở trang 35 
VD2. Tìm m sao cho: ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 1y x m x m m x m m= − + + + + − + cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
có hoành độ >1 
Giải: 
Soạn phương trình ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 1 0x A x A A x A A− + + + + − + = vào máy và nhấn Shift + SOLVE. 
Máy hỏi giá trị của A. Ta cho a=3 
Tai lại tiếp tục đoán nghiệm x=-5 
Máy hiện x=1.732281591 . Ta không quan tâm đến nghiệm này vì đây là nghiệm “xấu”. Mục đích của 
ta là tìm nghiệm hữu tỉ để phân tích thành nhân tử. Nhấn tiếp Shift + SOLVE. 
Lần này ta cho A=9 và x=10 
Máy hiện x=10. Ta ghi nhận nghiệm này 
Với A=9 cho x=-5 ta nhận được kết quả x=2 
Thử tương tự với A bằng 1 vài giá trị và thế x=2, x=10 vào ta đều nhận được thông báo x=2. Vậy x=2 
là nghiệm cố định của phương trình. 
VD3. Giải phương trình: ( )sin 2 cos 2 cos 3sin 2 1x x x x+ − + = 
Giải: 
Lúc này “lí trí” mách bảo ta rằng. Cần phân tích phương trình về phương trình tích. Hơn nữa, phải có 
nghiệm “đẹp” mới có thể phân tích được. Ta dùng Shift + SOLVE để tìm nghiệm này. 
Nhập phương trình trên vào máy 
 Nhấn Shift + SOLVE. 
Ta lần lượt thử x bằng các góc đặc biệt như: ; ; ...
3 6 2
pi pi pi± ± ± 
Khi thử đến các nghiệm là à
2 6
v
pi pi
 thì máy hiện rất nhanh. Để kiểm tra ta nnấn: sin( _ ALPHA _X_) 
www.VNMATH.com
 57 
Máy hiện =1 và =
1
2
. Và nếu coi sin(x) là biến thì có thể phân tích phương trình qua 2 nhân tử là 
( )sin 1x − hay ( )2sin 1x − . Ta chọn phân tích theo hướng ( )sin 1x − . 
( )1 3sin 3 1 cos sin 2 cos 2 0x x x x⇔ − + − + + = 
( )23(sin 1) 1 1 2sin sin 2 cos 0x x x x⇔ − + + − + − = 
( ) 23 sin 1 2(1 sin ) sin 2 cos 0x x x x⇔ − + − + − = 
( )( )sin 1 1 2sin 2sin cos cos 0x x x x x⇔ − − + − = 
( ) ( ) ( ) ( )( )sin 1 1 2sin cos 2sin 1 0 sin 1 1 2sin cos 0x x x x x x x− − + − = ⇔ − − + = 
Đến đây, ta đã hoàn thành được ý đồ đưa phương trình đầu tiên về phương trình tích. Việc giải phương 
trình đầu giờ đây đã trở nên dễ dàng. 
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI FX – 570ES 
Câu 1: Trong Oxyz cho: 1
2 2
: 1
1
x t
d y t
z
= +

= − +

=
 ; 2
1
: 1
3
x
d y t
z t
=

= +

= −
a) Tính khoảng cách giửa d1 và d2. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2. 
Giải: 
Để sử dụng chức năng vectơ của máy ta nhấn: MODE + 8 (vector) 
Chọn vectơ A máy hỏi ta chọn hệ vectơ nào (Vct A(m) m?) 
Chọn 1:3 
Nhập tọa độ vecto chỉ phương của d1. (2;1;0) Nhấn tiếp Shift + STO + B để copy các thông số của vectơ 
A vào vectơ B. 
Sửa tọa độ của vectơ B thành (0;1;-1) 
Ta có ( )1 2(2; 1;0) ; 1;1;3M d N d− ∈ ∈ ( )1;2;3MN⇒ −


 (Bước này ghi ra giấy) 
Nhấn Shift+5(vector) Nhấn 1 (Dim) 3(Vct C) sau đó nhập thông số của vector ( )1;2;3MN −
 
a) Theo công thức: ( )1 2
1 2
;
1 2
; .
;
d d
d d MN
d
d d
 
 
=
 
 

 
 


 
 tương ứng với: 
; .
;
A B C
A B
 
 
 
 

 
 


 
 là các vec tơ được lưu trong máy 
tính. 
Để tính tích có hướng của hai vectơ &A B

 

 ta nhấn: ONShift+53(vct A)x Shift+54= 
Để tính độ dài vector ta dùng chức năng ABS(. bằng cách nhấn phím Shift+hyp 
Để tính tích vô hướng &A B

 

 của ta nhấn ONShift+53(vct A)Shift+5 7:●(dot) Shift+54(vct 
B)= 
Vậy nên để tính độ dài cần tìm ta soạn vào màn hình máy tính như sau: 
(Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB)) 
Kết quả máy hiện:
11
3
. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2: 
www.VNMATH.com
 58 
Việc đầu tiên cần làm đó là ta phải tìm 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α . gọi vector pháp tuyến 
cần tìm là a


 ta thấy: ( )1 1 2
2
;
a d
d A d B
a d
 ⊥
= =
⊥

 


 
 
 


 
 
Nên a


 cần tìm là 1 2;d d  

 

. Để tìm a


 bằng máy tính ta làm như sau: 
ONShift+53(vct A)x Shift+54= 
Màn hình soạn thảo hiện như sau: 
VctAxVctB nhấn phím = để xem kết quả 
Máy hiện: Vct Ans (-1;2;2) 
Vậy ( )1;2;2a = −
 . Mp ( )α đi qua M(2;-1;0) 
Nên ( ) ( ) ( ) ( ): 2 2 1 2 0 2 2 3 0x y z x y zα − − + + + = ⇔ − + + + = 
Thí sinh chỉ cần gi các bước làm vào bài làm, công việc còn lại hãy để cho máy tính. Ta thấy hoàn thành 1 
bài hình học giải tích trong đề thi thật nhẹ nhàng. 
Các bạn có thể thử làm các bài toán có lời giải trong sách giáo khoa hình học 12 hay trong các sách tham 
khảo bằng chiếc máy tính của mình. Sẽ có nhiều bất ngờ đang chờ các bạn khám phá! 
SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG: 
Chia đa thức ( ) 10 1 ....n n nP x a x a x a−= + + + cho ( )x c− ta có: 
( ) ( )( )1 20 1 1....n n n nP x x c b x b x b x b− − −= − + + + + 
Trong đó ( )0;1;2;3;...;ib i n= định bội sơ đồ Horner: 
 a0 a1 a2 a3  
c b0 b1 =cb0+ a1 b2 =cb1+ a2 b3 =cb3+ a3 bi =cbi-1+ ai 
Áp dụng: 
VD1. Tính thương và số dư trong phép chia: 
( ) 4 3 22 8 6P x x x x x= + − − + cho x+2 
Giải: 
Ta có sơ đồ Horner: 
 2 1 -8 -1 6 
-2 2 -3 -2 3 0 
Vậy ( ) ( ) ( )3 22 2 3 2 3 0P x x x x x= + − − + + 
Đến đây, chúng ta đã hiểu phần nào công dụng của sơ đồ horner. Trong bài toán liên quan đến tham 
số, việc tìm được nghiệm cố định và phân tích thành tích sẽ làm công việc giải toán nhẹ nhàng rất 
nhiều. Nghiệm cố định đã có máy tính, còn việc chia đa thức: Hãy để sơ đồ Horner làm cho bạn. 
Ta quay lại với ví dụ đầu phần phụ lục: 
VD2. Phân tích thành tích: ( ) ( )3 22 3 1 6 4 0 1x a x ax− + + − = 
Giải: 
( )3 22 3 1 6 4 0x a x ax− + + − = Ta đã có được nghiệm cố định x=2. vậy nên 
 2 -3(a+1) 6a -4 
2 2 -(3a-1) 2 0 
Vậy (1) ( ) ( )32 2 3 1 2 0x x a x ⇔ − − − + =  
Đây chính là một phần trong bài làm ở Bài3 ở trang 35. 
VD3. Định m để phương trình: ( ) ( ) ( )3 23 4 3 7 3 0mx m x m x m A− − + − − + = 
có 3 nghiệm dương phân biệt. 
www.VNMATH.com
 59 
Giải: 
Ta dễ dàng nhận ra: a+b+c+d=0 ⇒ phương trình (A) có 1 nghiệm x=1 
Sơ đồ Horner: 
 m -3m-4 3m+7 -m+3 
1 m -2(m-2) m-3 0 
Nên ( ) ( ) ( )21 2 2 3 0A x mx m x m ⇔ − − − + − =  
(A) Có 3 nghiệm dương phân biệt ( ) ( )2 2 2 3 0g x mx m x m⇔ = − − + − = có hai nghiệm dương phân 
biệt đều khác 1 
( ) ( )
( ) ( )
2
0
' 2 3 0
2 0
3 0
1 2 2 3 0
m
m m m
mS
m
mP
m
g m m m

≠
∆ = − − − >

−
⇔ = >

−
= >

= − − + − ≠
( ) ( );0 3;4m⇔ ∈ −∞ ∪ 
VD4. Định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 
( ) ( )3 1 1 0 1x m x− − − = 
Giải: 
( ) 31 1x mx m⇔ − + − 
Dùng máy tính ta “mò” được nghiệm: x=1 
Sơ đồ Horner: 
 1 0 -m m-1 
1 1 1 1-m 0 
Vậy (1) ( )( )21 1 0x x x m⇔ − + + − = 
(1) Có 3 nghiệm phân biệt: 2( ) 1 0g x x x m= + + − = có hai nghiệm phân biệt khác 1 
( )
34 3 0 3 341 1 1 1 0 43
m m
m
g m
m
∆ = − > > 
⇔ ⇔ ⇔ < ≠ 
= + + − ≠  ≠
Sơ đồ Horner ứng dụng rất nhiều trong giải toán, nhất là dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số. 
Các bạn nên tập sử dụng sơ đồ này một cách thuần thục. Bài tập áp dụng tôi sẽ nêu lên 2 bài dạng 
chia đa thức nhằm giúp các bạn hoàn thiện kĩ năng. 
BÀI TẬP: 
Bài 1. Nếu x=-m là một nghiệm của phương trình 3 2 2 34 6 0x mx m x m− + + = . Hãy tìm ghiệm còn 
lại. 
Bài 2. Cho biểu thức: ( ) 5 4 3 22 3 7 11 9Q x x x x x= + − − + + 
a. Tính giá trị biểu thức tại x=3 
b. Tìm thương của phép chia (Q) cho x-3 
Gợi ý: Dư số của phép chia (Q) cho x-3 là giá trị của Q(3). 
www.VNMATH.com
 60 
 BẢN QUYỀN THUỘC VỀ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ 
HỒ CHÍ MINH, KHI IN HAY TRÍCH DẪN PHẢI CÓ TÊN TÁC GIẢ HOẶC NHÀ 
XUẤT BẢN 
www.VNMATH.com