Ôn thi đại học: Mũ - Logarit (GV: Nguyễn Duy Tình)

Phần A. Kiến thức cơ bản
I. Định nghĩa luỹ thừa và căn
. Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a.
. Với n nguyên dương lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là 
. Với n nguyên dương chẵn và a là số thực dương, có đúng hai căn bậc n của a là hai số đối nhau; căn có giá trị dương kí hiệu là , căn có giá trị âm kí hiệu là -.
. Số âm không có căn bậc chẵn.
Số mũ 
Cơ số a
Luỹ thừa 
 a
 = a0=1
 a > 0
 a > 0
II. Tính chất của luỹ thừa
.Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa.
 am.an = am+n; ; (am)n = amn
 (a.b)n = an.bn; 
III. Tính chất của lôgarit
 Giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa.
. loga1 = 0; logaa = 1; ; logaab = b.
. loga(bc) = logab + logac; ; logabn = nlogab.
. hay logab.logbc=logac.
IV. Hàm số mũ y=ax(a>0,a≠1)
a>1
0<a<1
. y’>0 với mọi x
. Hàm số đồng biến trên R
.; 
. Bảng biến thiên 
+
0
y=ax
+
x
-
. Đồ thị 
0
x
 1
y
. y’>0 với mọi x
. Hàm số nghịch biến trên R
.; 
. Bảng biến thiên 
+
y=ax
x
0
-
0
1
y
x
V. Hàm số logarit y = logax (a > 0 và a ≠ 1)
a>1
0<a<1
. y’>0 với mọi 
. Hs đồng biến trên 
.
. Bảng biến thiên
x
0
+
y=logax
+
-
. Đồ thị 
x
y
0
1
. y’<0 với mọi 
. Hs nghịch biến trên 
.
. Bảng biến thiên
x
0
+
y=logax
-
+
. Đồ thị 
x
y
0
1
Phần B
Phương trình Mũ – Logarit
(phương trình – bất phương trình – hệ phương trình)
A. Phương trình mũ:
I. Phương trình mũ cơ bản:
 	 ĐK: 
* : ptvn
* : 
	TH1: Nếu m = an thì ta có: 
	TH2: Nếu thì ta có: 
II. Các dạng phương trình và phương pháp giải
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số: 
Ví dụ và bài tập:
B. Phương trình Logarit
I. Phương trình logarit cơ bản:
C. Bất phương trình mũ
D. Bất phương trình logarit
E. Hệ phương trình mũ – logarit
F. Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit:
1. Biến đổi thành tích:
VD1: giải pt 
NX: tuy rằng cùng cơ số 2 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 2 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích: 
VD2: giải pt 
NX: tuy rằng cùng cơ số 3 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 3 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích: 
TQ: Trong trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích
II. Đặt ẩn phụ nhưng hệ số vẩn còn chứa ẩn
VD1: Giải pt . Đặt t = 3x, khi đó ta có 
NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x)
- pp này chỉ sử dụng được khi phương trình có nghiệm t tương đối đơn giản và dể tính (là một số chính phương)
VD2: giải pt . Đặt t = log3(x+1), ta có .Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì pt f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì với mọi u, v thuộc (a; b) ta có 
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và hàm g là hàm hằng hoặc hàm giảm trong (a; b) thì pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong (a ;b).
ĐL lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên và F’(x) tồn tại trên (a;b) thì luôn : .
áp dụng vào giải pt: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì có nghiệm thuộc (a; b)
ĐL Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì pt f(x) = 0 sẽ không có quá 2 nghiệm thuộc D.
áp dụng: vì trong chương trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm như sau: 
CM đồ thị lồi hoặc lõm trên (a;b)
Nếu lõm thì cm 
Nếu lồi thì cm 
KL: pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b)
Lưu ý: a. Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm được 2 nghiệm ( thường là dễ nhẩm ) khi đó mới hoàn thành, còn mới nhẩm được 1 nghiệm thì chưa KL pt có nghiệm duy nhất ( vì ĐL chỉ kl pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b))
	b. Nếu áp dụng để CM pt có 2 nghiệm thì trong trường hợp đồ thị lõm ta phải chỉ ra được ít nhất một giá trị x0 thuộc (a;b) sao cho f(x0) 0 )
VD1: giải pt 	 
HD: ta có VT là hàm đb còn VP là hàm nb suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1
VD2: giải pt . PT tương đương , giả sử pt có nghiệm là khi đó: 
xét hàm số , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo đl lagrange tồn tại sao cho: , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của pt.
NX: pt có 4 cơ số khác nhau nhưng không bđ về cùng cơ số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên. ( ta có thể bđ pt thành )
VD3: giải pt . Viết lại pt dưới dạng , xét hàm số là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ). Vậy pt viết lại dưới dạng 
NX: - pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số nhưng không s/d được pp Đặt ẩn phụ nhưng hệ số vẩn còn chứa ẩn nên ta dùng pp trên ( s/d tc 2).
- Để s/d pp này ta bđ pt về dạng ( chú ý phải xét f là hàm đb hoặc nb )
VD4: Giải pt . Dễ dàng ta nhẫm được 2 nghiệm : 0 và 1. Ta CM không có nghiệm nào khác. 
xét hàm số hs lõm, suy ra pt có không quá 2 nghiệm
VD5: CMR hệ có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0.
HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số . 
Nếu x < -1 thì suy ra hpt vô nghiệm. 
Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm
VD6: Cho CM ( D – 2007)
HD: BĐT . Xét hàm số với x > 0
Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến do đó với ta có ( đpcm)
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các pp trên.
1.Dạng 1: khác cơ số:
VD1: Giải pt . Đặt t = khi đó pt trở thành: 
2. Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
VD1: giải pt 
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có pt 
VD2: giải pt . Đặt , pt tương đương 
3. Dạng 3: ( đk: b = a + c )
VD1: giải pt . Đặt , pt trở thành 
VD2: Giải pt . Đặt t = x+4 suy ra pt tương đương 
VD3: Giải pt áp dụng PP II và dạng này.
4. Dạng 4: , với 
Pp: đặt rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta được . Xét 
VD: Giải pt . Đặt . Khi đó pt được chuyển thành hệ . Xét hàm số suy ra x=y, khi đó ta có . Xét hàm số áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta tìm được 2 nghiệm của pt: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển về thành hệ
VD: Giải PT: 
HD: Viết PT dưới dạng , đặt .
 Nhận xét u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 
Bài tập
Bài 1: Giải phương trình:	e.	f.	g.
Bài 2:Giải phương trình:	
a.	b.	 c.
e.	f. l. 
g.	h.	 i.
Bài 3:Giải phương trình:	
20. 
21. 
22. 
Bài 4:Giải các hệ phương trình:
a.	
b.	
b.	
d.	
e . với m, n > 1.
Bài 5: Giải và biện luận phương trình: a . . 	b . 
Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm:	
Bài 7: Giải các bất phương trình sau: a. 	b. 	c.	d.
	e.	f. 
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
	a.	b. 	c.	d.	e.	f.
Bài 9: Giải bất phương trình sau: 
Bài 10: Cho bất phương trình: 	a. Giải bất phương trình khi m=.
	b. Định m để bất phương trình thỏa.
Bài 11: a. Giải bất phương trình: (*)
	 b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: 
Bài 12: Giải các phương trình:
	a. 	b. 
c. 	d.	e.
Bài 13: Giải các phương trình sau:
	a.	b.	c.
	d.	e. f.
g. 
Bài 14: Giải các phương trình sau:
a.	
b.
c.	
d.
e.	
f.
g.	
h.	
i.
Bài 15: Giải các phương trình:
a.	b.
c.	d.
e. 	f. 
g. 
i. 
Bài 15: Giải các hệ phương trình:
	a.	b.	c.	d.	e.	f.
Bài 16: Giải và biện luận các phương trình:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 17	: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
	a. 	b. 
Bài 18: Tìm a để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.	
Bài 19: Giải bất phương trình:
a. 	
b. 	
c. 
d. 
e. 	
f. 
g. 	
h. 	
i. 
j. 	
k. 	
l. 
m. 	
n. 	
o. 
p. 
q. 	
r. 
s. 
t. 	
u. 
v. 
Bài 20: Giải bất phương trình:a. b. 	
c. 	d. 
Bài 21: Giải hệ bất phương trình:
a. 	b. c. 
Bài 22: Giải và biện luận các bất phương trình():
a. 	b. 	c. 	d. 
Bài 23: Cho bất phương trình: thỏa mãn với: . Giải bất phương trình.
Bài 26: Giải và biện luận bất phương trình:
Bài 24: Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm: 
Bài 25: Cho bất phương trình: 
Giải bất phương trình khi m = 2.
Giải và biện luận bất phương trình.
Một số phương pháp hay
 giải phương trình – bất phương trình mũ logarit:
1. Biến đổi thành tích:
VD1: giải pt 
NX: tuy rằng cùng cơ số 2 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 2 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích: 
VD2: giải pt 
NX: tuy rằng cùng cơ số 3 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 3 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích: 
TQ: Trong trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích
II. Đặt ẩn phụ nhưng hệ số vẩn còn chứa ẩn
VD1: Giải pt . Đặt t = 3x, khi đó ta có 
NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x)
- pp này chỉ sử dụng được khi phương trình có nghiệm t tương đối đơn giản và dể tính (là một số chính phương)
VD2: giải pt . Đặt t = log3(x+1), ta có .Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì pt f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì với mọi u, v thuộc (a; b) ta có 
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và hàm g là hàm hằng hoặc hàm giảm trong (a; b) thì pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong (a ;b).
ĐL lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên và F’(x) tồn tại trên (a;b) thì luôn : .
áp dụng vào giải pt: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì có nghiệm thuộc (a; b)
ĐL Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì pt f(x) = 0 sẽ không có quá 2 nghiệm thuộc D.
áp dụng: vì trong chương trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm như sau: 
CM đồ thị lồi hoặc lõm trên (a;b)
Nếu lõm thì cm . Nếu lồi thì cm 
KL: pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b)
Lưu ý: a. Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm được 2 nghiệm ( thường là dễ nhẩm ) khi đó mới hoàn thành, còn mới nhẩm được 1 nghiệm thì chưa KL pt có nghiệm duy nhất ( vì ĐL chỉ kl pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b))
	b. Nếu áp dụng để CM pt có 2 nghiệm thì trong trường hợp đồ thị lõm ta phải chỉ ra được ít nhất một giá trị x0 thuộc (a;b) sao cho f(x0) 0 )
VD1: giải pt 	 
HD: ta có VT là hàm đb còn VP là hàm nb suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1
VD2: giải pt . PT tương đương , giả sử pt có nghiệm là khi đó: 
xét hàm số , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo đl lagrange tồn tại sao cho: , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của pt.
NX: pt có 4 cơ số khác nhau nhưng không bđ về cùng cơ số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên. ( ta có thể bđ pt thành )
VD3: giải pt . Viết lại pt dưới dạng , xét hàm số là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ). Vậy pt viết lại dưới dạng 
NX: - pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số nhưng không s/d được pp Đặt ẩn phụ nhưng hệ số vẩn còn chứa ẩn nên ta dùng pp trên ( s/d tc 2).
- Để s/d pp này ta bđ pt về dạng ( chú ý phải xét f là hàm đb hoặc nb )
VD4: Giải pt . Dễ dàng ta nhẫm được 2 nghiệm : 0 và 1. Ta CM không có nghiệm nào khác. 
xét hàm số hs lõm, suy ra pt có không quá 2 nghiệm
VD5: CMR hệ có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0.
HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số . 
Nếu x < -1 thì suy ra hpt vô nghiệm. 
Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm
VD6: Cho CM ( D – 2007)
HD: BĐT . Xét hàm số với x > 0
Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến do đó với ta có ( đpcm)
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các pp trên.
1.Dạng 1: khác cơ số:
VD1: Giải pt . Đặt t = khi đó pt trở thành: 
2. Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
VD1: giải pt 
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có pt 
VD2: giải pt . Đặt , pt tương đương 
3. Dạng 3: ( đk: b = a + c )
VD1: giải pt . Đặt , pt trở thành 
VD2: Giải pt . Đặt t = x+4 suy ra pt tương đương 
VD3: Giải pt áp dụng PP II và dạng này.
4. Dạng 4: , với 
Pp: đặt rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta được . Xét 
VD: Giải pt . Đặt . Khi đó pt được chuyển thành hệ . Xét hàm số suy ra x=y, khi đó ta có . Xét hàm số áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta tìm được 2 nghiệm của pt: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển về thành hệ
VD: Giải PT: 
HD: Viết PT dưới dạng , đặt .Nhận xét u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: