Ôn tập Toán - Ứng dụng để giải phương trình

Ưùng dụng để giải phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1).
	Nếu ta giải bằng phương pháp đại số thì ta phải giải rất phức tạp.
	Ta nhận xét thấy có tích và Nên ta liên tưởng ngay tới tích vô hướng và độ dài vectơ.
	Ta đặt với điều kiện: 1 £ x £ 3.
	Khi đó: (1) có dạng: 
	Nên theo Định nghĩa và tính chất tích vô hướng thì cùng phương.
	=> 
	giải phương trình này bằng phương pháp đại số ta được hai nghiệm là: x=1 và x = 1 + 
Ví Dụ 2: Giải phương trình: 
Giải.
Ta giải bằng phương pháp vectơ như sau:
	Ta đặt với điều kiện: £ x £ .
	Khi đó ta có: (vì: )
	Mà nên phương trình vô nghiệm.
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Cho phương trình: 
	Tìm m để phương trình có nghiệm.
	Giải.
	Ta nhận thấy trong căn có dạng như độ dài vectơ:
	xét trong mặt phẳng Oxy ta lấy: A(-1/2;0); B(1/2;0) và M(x; Ư 3/2).
	Khi đó: 	và
	Aùp dụng tính chất của vectơ ta có: với mọi M bất kỳ và mọi m £ 1 thì luôn tồn tại M để nên để phương trình đã cho có nghiệm thì m £ 1.
	Vậy với mọi m £ 1 thì phương trình luôn có nghiệm.
ỨNG DỤNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Phương pháp: ta vẫn dùng cách Đánh giá như BĐT sau đó kiểm tra điều kiện dấu bằng có đạt được hay không nếu dấu bằng sảy ra thì ta có cực trị.
Các em học sinh thường mắc sai lầm là cứ Đánh giá cực trị mặc dù dấu bằng không sảy ra. 
Ví dụ 1: Tìm gía trị nhỏ nhất của hàm số: trong đó a và c là tham số.
Giải.
	Ta thấy có căn và trong căn có tổng bình phương nên ta nghĩ đến phương pháp vectơ.
Xét trên mặt phẳng Oxy, đặt khi đó và 
Aùp dụng tính chất: .
Dấu bằng sảy ra khi cùng hướng => c-x =x => x=c/2.
Vậy GTNN của hàm số f(x) là tại x = c/2.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số 
Giải.
Ta có: 
Xét trên mặt phẳng Oxy, đặt khi đó và 
Aùp dụng tính chất: .
Dấu bằng sảy ra khi ta chọn x=-1 và y = ¾. 
Vậy GTNN của hàm số f(x) là 5.
Sau đây là một số bài áp dung:
Bài 1: Tìm gía trị lớn nhất của hàm số: trong đó a và c là tham số.
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số 
Ưùng dụng để c/m BĐT.
 Ví du 1:Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với mọi M bất kỳ ta có:
	MA2+MB2+MC2 ³ MA.GA+MB.GB+MC.GC ³ GA2+GB2+GC2.
* Ta c/m: MA.GA+MB.GB+MC.GC ³ GA2+GB2+GC2 trước như sau:
	Theo Định nghĩa tích vô hướng ta luôn có: 
MA.GA+MB.GB+MC.GC 
³ 
=+ GA2+GB2+GC2³ GA2+GB2+GC2 => đpcm.
 Dấu “=” khi M trùng G.
* Ta c/m: MA2+MB2+MC2 ³ MA.GA+MB.GB+MC.
 	MA2+MB2+MC2+ GA2+GB2+GC2
= (MA2+ GA2)+(MB2+GB2 ) +(MC2+ +GC2)
	³ 2(MA.GA+MB.GB+MC). ( Theo BĐT côsi).
=> MA2+MB2+MC2³ 2(MA.GA+MB.GB+MC)- (GA2+GB2+GC2)
=> MA2+MB2+MC2³ MA.GA+MB.GB+MC (Theo kết quả trên).
Nên ta có đpcm.
Ví dụ 2: Cho x,y,z là ba số dương và x+y+z £ 1. chứng minh rằng:
Giải.
	Bài này ta dùng các phương pháp khác thì khá phức tạp. 
	Ta nhìn thấy trong các căn có dạng tổng các bình phương nên ta nghĩ ngay tới công thức độ dài vectơ. Ta có BĐT về vectơ sau: dấu bằng khi chúng cùng hướng. Ta suy ra: 
Nên ta có: 
Ta lại có:= 81-80 
	³ 18(x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -80
	³ 18.9 -80 = 82. 	(ta dùng côsi)
	Vậy (dấu “=” khi x=y=z=1/3).
Ví dụ 3: cho a;b;c là các số thực bất kỳ. Chứng minh: 
Giải. 
	Trên mặt phẳng Oxy ta đặt 
	Ta có: nên 
	Bài toán này được giải xong.
Qua bài này ta nhận thấy biến c không tham gia nhiều vào quá trình chứng minh nên ta có thể thay c bằng những biểu thức khác phức tạp hơn hoặc tạo ra bài toán cực trị thì bài tập vẫn giải bình thường. Ta có các bài tập sau.
Bài 1: Cho a;b Ỵ R. Chứng minh: 
Bài 2: Cho a;b Ỵ R sao cho a2+ b2= 2008. tìm GTNN của:
Các bạn có thể có rất nhiều bài tập hay qua cách khai thác bài tập trên và dạng toán như trên. Chúc các bạn thành công.
Ví dụ 3: Cho a,b Ỵ R. Chứng minh: .
Giải.
	Ta thấy trong biểu thức ở mẫu có dạng độ dài vectơ nên ta nghĩ ngay phương pháp vectơ. Và trên tử có ab nên ta dùng vectơ trong không gian.
	Xét trong mặt phẳng Oxyz, ta đặt Khi đó 1-ab chính là tích vô hướng của a+b là tích có hướng của 
	nên ta liên tưởng tới các công thức này.
	Ta có:
	Nên 
	Suy ra: Đó là đpcm.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G’. Hãy so sánh: AA’ + BB’ +CC’ và 3GG’.
Giải.
	Vì G và G’ là trọng tâm tam giác nên ta nghĩ ngay đến đẳng thức vectơ:
khi đó: (tách các điểm và chen G ;G’ vào):
Nên áp dụng tính chất của độ dài vectơ ta suy ra: 
Dấu ‘=” sảy ra khi cùng hướng.
	 A	 A’
	 B’	
	 G’
	 G
 B
	 M’
	 M
	 C	C’
Khai thác một bài toán và giải bằng nhiều cách nhìn khác nhau.
Trong mỗi bài toán nhiều khi ẩn chứa rất nhiều cách khai thác khác nhau. Trong mỗi cách giải dều có cái hay riêng nên khi giải bài tập toán ta nên giải theo nhiều cách và phân tích linh hoạt để thấy được những điều đằng sau nó.
Sau đây là cách khai thác thông qua một ví dụ mong các bạn khi giải toán đừng nên chấp nhận khi đã giải xong một cách.
Bài toán: 
Cho x;y Ỵ R: 36x2+16y2 = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: 
P= y-2x+ 2008.
Giải quyết.
Đầu tiên ta nhận thấy số 2008 chỉ tham gia vào bài toán như là hằng số nên ta không cần quan tâm vào nó.
Ta đặt u= y-2x. bây giờ ta tìm GTLN và GTNN của u.
Cách 1.
	Ta nhìn theo hệ phương trình có nghiệm.
	Ta được hệ hai phương trình: u=y-2x (1) và 36x2+16y2 = 9 (2).
	Từ (1) ta rút y theo x ta được: y= u+2x thay vào phương trình (2).
	 36x2+16(u+2x)2=9.
	 100x2+ 64u.x+16u2-9 = 0. 
	Để phương trình bậc hai trên có nghiệm thì D ‘ ³ 0 
 -576 u2+900 ³ 0.
 u2 £ 1.5625
 u Ỵ [-1.25; 1.25].
	Vậy: umax = 1.25 và umin = -1.25.
	Nên 	Pmax = 2009.25 
	Pmin = 2006.75.
Cách 2.
	Ta nhìn vào điều kiện ta thấy: 36x2+16y2 = 9 	 (6x)2+(4y)2 = 32.
	 (2x)2+ (4/3.y)2=1.
	Nên ta có thể nghĩ đến đường tròn lượng giác và các giá trị lượng giác.
	Ta được: 6x= 3cos t và 4y = 3 sint.
	Suy ra: x = ½. Cost và y =3/4. sint.
	Khi đó: u = ¾. Sint – cost.
	Sử dụng bất đẳng thức: 
Ta được: nên umax = 1.25 và umin =-1.25.
Ta có ngay kết quả như trên.
Cách 3.
	Ta nhìn vào điều kiện ta thấy: 36x2+16y2 = 9 	 (6x)2+(4y)2 = 32
	Ta thấy giống như cấu tạo của bất đửng thức Bunhiacôpxki:
	(ab+cd)2 £ (a2+c2)(b2+d2). Dấu “=” khi a/b=c/d.
	Ta tạo ra: u= (4y)/4 + (6x)/3.
	Aùp dụng ta dược: u2 £ [(6x)2+(4y)2] (1/16+ 1/9) = 25/16.
Nên : 5/4 £ u2 £ 5/4 => -1.25 £ u £ 1.25.
Ta được kết quả như trên.
Cách 4.
	Ta thấy u= y-2x có thể dùng công thức tích vô hướng được và có bình phương nên có dạng công thức độ dài liên quan đến 4y và 6x.
	Sử dụng phương pháp vectơ, trong Oxy đặt: 
	Ta có u=y-2x = .
	Aùp dụng tính chất tích vô hướng: .
	Mà 
	Nên suy ra: -1.25 £ u £ 1.25.
	Ta được kết quả như trên.
Cách 5.
Ta có thể xem điều kiện như là đường tròn tâm O bán kính 3 trong mặt phẳng OXY với X= 6x và Y=4y ( chuyển hệ trục Oxy thành OXY.
	Còn u= y-2x y = 2x+u là một đường thẳng với tham số là u.
	Ta giải như bài toán quy hoạch tuyến tính bằng cách di chuyển đường thẳng y=2x+u song song đường thẳng y=2x ra thành hai tiêùp tuyến ta được các tiếp điểm chính là các GTLN và GTNN của u.
Cách này giải hơi phức tạp nên ít ai nghĩ tới. Các bạn hãy tự giải bài này.