Giải phương trình vô tỉ

Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 1 Tel:0978386357 
Giải phương trình vô tỉ 
Dạng 1: Giải phương trình bằng phương pháp nâng lũy thừa 
1. 
2
( ) 0
( ) ( ) ...
( ) ( )
g x
f x g x x
f x g x

  

2. 
33 ( ) ( ) ( ) ( ) ...f x g x f x g x x    
3. 2
2
( ) 0
( ) ( ) ...
( ) ( )
n
n
g x
f x g x x
f x g x

  

4. 
2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ...nn f x g x f x g x x     
Với n là số tự nhiên khác 0. 
Giải các phương trình sau trên tập số thực: 
1. 
2 6 6 2 1x x x    (ĐHXD-2001) 
2. 
2 2 8 3( 4)x x x    (ĐHDL ĐĐ-2001) 
3. 
24 2x x   (ĐH Huế-1998) 
4. 16 17 8 23x x   (ĐHQG HN khối D-2007) 
5. 
22 18 37 4x x x    (CĐXD số 2-2007) 
6. 
23 9 1 2 0x x x     ( Bộ đề TS ) 
7. 2 2 2 1 1 4x x x      (ĐH khối D-2005) 
8. 
22 1 3 1 0x x x     (ĐH khối D-2006) 
9. 4 3 10 3 2x x    (HSGQG bảng A-2002) 
10 
2 27 5 3 2x x x x x      (CĐKTKTCN II-2006) 
11 10 1 3 5 9 4 2 2x x x x       x R ( Dự bị ĐH khối B-2008) 
12 
2 1 1x x   (ĐHXD-1998) 
13. 8 5 20 2 0x x     (ĐH tại chức BK-2006) 
14. 3 1 8 1x x    (CĐ XD số 3-2005) 
15. 3 7 1 2x x    (CĐDL CNTT TPHCM khối A-2007) 
16. 3 1 2x x    ( Thi vào L10 ĐHKHTN, ĐHQGHN 2004-2005) 
17. 
2 5 5x x   ( Thi chọn HSG L9 tỉnh Bình Định 2007-2008) 
18. 3 1 2 3x x    ( Thi vào L10 chuyên ĐH Vinh 2006-2007) 
19.
2 2 3 3x x x    ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2008) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 2 Tel:0978386357 
20. 
2 22 3 2 4 3x x x x     (CĐSP TW TPHCM-2007) 
21. 
22 2 1 2 4 1x x x    ( Thi vào L10 Chuyên Hà Tĩnh 2007-2008) 
22. 
2 1 1x x   (ĐH Huế-1998) 
23. 
26 10 13 2x x x    ( Báo TH tuổi thơ số 90+91) 
24. 
3 334 3 1x x    ( Đề 12 bộ đề TS) 
25. 
3 386 5 1x x    ( Báo THTT số 343) 
26. 
3 3 31 2 3 0x x x      ( Phân viện ĐH An Ninh khối A-2001) 
27. 
2 2( 2) 2 4 ( 1) 4 7x x x x x x       ( Đặng Mạnh Hùng sáng tác 2012) 
28. ( 2) ( 5) ( 3)x x x x x x     (Thi vào L10 PTNK ĐHQG TP HCM-2003) 
29. 
3 2 1 1x x    (ĐH TCKT 2000) 
30. 
32 3 2 3 6 5 8 0x x     ( ĐH khối A-2009) 
Dạng 2: Giải phương trình vô tỉ dạng : ( ) ( ) ( )f x g x h x  
Ở đây các biểu thức dưới dấu căn chỉ là hàm số bậc nhất. 
Giải 
ĐK: 
( ) 0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
h x



 
 Pt đã cho 
 
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
2
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x h x
f x g x h x f x g x
h x f x g x
f x g x h x f x g x
   
   
  
 
  
Giải hệ phương trình này ta tìm được nghiệm của nó ( nếu có), sau đó kết hợp với điều kiện ta 
tìm được nghiệm của phương trình đã cho. 
Giải các phương trình sau trên tập số thực: 
1. 2( 24) 7 7x x x     (CĐSP TW-2007) 
2. 2 9 4 3 1x x x     (CĐMG TW3-2006) 
3. 5 1 3 2 1 0x x x      (ĐHKTQD-2000) 
4. 3 3 5 2 4x x x     ( Dự bị ĐH-2005) 
5. 3 4 2 1 3x x x     (HVNH-1998) 
6. 2 2 3 3 5x x x     (ĐHBKHN-1994) 
7. 3 2 1 3 2x x x     (HVCTQ HCM-1999) 
8. 1 3 2 5 1x x x     (CĐ Y TẾ NGHỆ AN-2007) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 3 Tel:0978386357 
9. 10 3 4 2 2x x x     (CĐSP Đồng Nai-2001) 
10. 2 1 1 4x x x     ( Thi vào L10 THPT Chuyên ĐH Vinh) 
Dạng 3: Giải phương trình vô tỉ dạng: ( ) ( ) ( )f x g x h x  
Trong đó, dưới dấu căn có ít nhất một biểu thức có bậc cao nhất là bậc 2. 
Chú ý: 
A B
AB
A B
  
 
 
Neáu A 0,B 0
Neáu A < 0,B < 0
Giải các phương trình sau trên tập số thực: 
1. 
24 1 4 1 1x x    (HVNH+ĐHQG HN-2001) 
2. 
2( 1) ( 2) 2x x x x x    (ĐHSP HN2-2000) 
3. ( 2) ( 5) ( 3)x x x x x x     ( Thi vào L10 PTNK ĐHQGTPHCM 03) 
4. 
2 22 8 6 1 2 2x x x x      (ĐHBKHN-2001) 
5. 
2 2 23 2 4 3 2 6 5x x x x x x        
6. 4 4 4 0x x x x      
7. ( 1) ( 2) 2 ( 3)x x x x x x     
8. 
2 22 3 3 4 3 3x x x x x       
9. ( 6) ( 5) ( 3)x x x x x x     
Dạng 4: Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp làm xuất hiện nhân tử chung 
Giải các phương trình dau trên tập số thực: 
1. 2 1 2 4 3x x    (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
2. 4 3 1 5x x    (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
3. 5 5 5 4 9x x    (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
4. 2 7 2 12 9x x x      (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
5. 
2( 3) 5 4 2 6x x x x     (CĐSP Quảng Ngãi-2005) 
6. 
2 2( 3) 10 12x x x x     (ĐH Dược-1999) 
7. 
2 2( 3) 1 3 1x x x x     ( ĐHQGHN, khối A-2001) 
8. 10 1 3 5 9 4 2 2 (x )x x x x R        ( Dự bị ĐH, Khối B-2008) 
9. 
21 1x x x x     (ĐHDL Hải Phòng-2001) 
10. 
2 23 2 3 2 2 3x x x x x x         (Thi Vào L10 ĐHKHTN-02) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 4 Tel:0978386357 
11. 
3 2 41 1 1 1x x x x x        (Thi vào L10 Chuyên ĐHQGHN-02) 
12.   25 2 1 7 10 3x x x x       (Thi vào L10 Chuyên ĐHQGHN-02) 
13. 
2 25 6 3 21 19 42x x x x x x         ( Báo THTT- số 372) 
14.
3
4 1 3 2
5
x
x x

    (HVCNBCVT-2001) 
15. 3(2 2) 2 6x x x     (HVKTQS-2001) 
16. 
3 24 1 3 1x x x x     (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
17. 
2 215 3 2 8x x x     (ĐHNT-1997) 
18. 
22 1 ( 1) 0x x x x x x       ( HVKTQS-2000) 
19. 
22 7 2 1 8 7 1( )x x x x x x R          ( Dự bị ĐH-2006) 
20. 
22 1 3 1 0x x x     (ĐH khối D-2006) 
21. 
1 3
1 0
4 2
x
x x

 
 
 ( Dự Bị OLYMPIC 30-4-2006) 
22. 
23 4 1 3 8 26 0x x x x       (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
23. 
23 1 6 3 14 8 0x x x x       (ĐH khối B-2010) 
24 
334 3 1 3 21x x x x      (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
25. 
3 43 9 1 15 5x x x      (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
26. 
235 1 9 2 3 1x x x x      ( Báo THTT số 342) 
27. 
2 32 11 21 3 4 4 0x x x     ( HSGQG bảng B-1995) 
28. 
2 22 4 ( 4)
2
x
x x
x

  

 (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2011) 
Dạng 5. Giải pt vô tỉ bằng phương pháp đưa về tổng các số không âm bằng không 
Giải các pt sau trên tập số thực 
1. 
2 2 5 1 2x x x     (ĐHNN1-1999) 
2. 41 2 (1 ) 2 (1 ) 1x x x x x x        (HVKTQV-1997) 
3. 4 3 2 3 2 11x x x     ( Thi vào L10 Chuyên ĐHQGHN-2005) 
4. 13 1 9 1 16x x x    ( Báo THTT số 340) 
5. 
4 3 22006 1006009 2 2007 1004 0x x x x x       
 ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2006) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 5 Tel:0978386357 
6. 
42 2 2( )( 3 2007) 2005 3 4 30 1 2006x x x x x x x x         
 ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2006) 
7. 
2 2 21 1 2x x x x x x        ( Báo THTT số 292) 
8. 
2 24 3 2 2 1 4 7x x x x x      (ĐVC) 
9. 
4 3 2 24 6 4 2 10 2x x x x x x       (ĐVC) 
10. 
2 3 16 2 2 6 2 5 0x x x x x       (ĐVC) 
11. 
2 23 10 13 2 2 3 0x x x x x        (ĐVC) 
12. 
4 3 21998 998001 2 1999 1000 0x x x x x       
13. 
1
1 1 1 ( )
2
x y z x y z        
14. 
1
2 2004 2005 ( )
2
x y z x y z        
15. 
1
2 2009 2010 ( )
2
x y z x y z        
16. 
1
2 1995 1996 ( )
2
x y z x y z        
17. 4 2 2 4 3 6 5x y z x y z         
18. 
36 36
28 4 2 1
2 1
x y
x y
     
 
19. 
16 4 1225
3 1 665
3 1 665
x y z
x y z
        
  
Dạng 6: Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ 
Giải các phương trình sau trên tập số thực: 
Loại 1: 
1. 
2 24 7 ( 4) 7x x x x     ( Thi vào L10 THPT TP HN-2010) 
2. 
2 23 1 ( 3) 1x x x x     ( ĐHQGHN, Khối A-2001) 
3. 
2 2( 3) 10 12x x x x     (ĐH Dược HN-1999) 
4. 
2 2(4 1) 1 2 2 1x x x x     ( Bộ đề thi TS) 
5. 
2 2( 1) 2 3 1x x x x     (OLYMPIC 30-04-2006) 
6. 
3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x     ( Báo THTT) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 6 Tel:0978386357 
7. 
2 2 2(3 2) 1 2 2x x x x      ( Dự bị OLYMPIC 30-04-2006) 
8. 
24 1 1 3 2 1 1x x x x       
Loại 2: 
1. 
2 1 1x x   (ĐHXD-1998) 
2. 
2 5 5x x   ( Bộ đề TS- đề số 112) 
3. 
3 31 2 2 1x x   ( Bộ đề TS) 
4. 
3 35 3 3 5x x   ( Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2010) 
5. 
33 9 ( 3) 6x x    ( Báo THTT số 264) 
6. 
2 4 97 7 , 0
28
x
x x x

   ( ĐHANND, khối D-2000) 
7. 
2 32 4 , 1
2
x
x x x

    ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2007) 
8. 
3 23 2 3 1 3 2x x x x     ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2008) 
9. 
2( 2) 1 2 2 3x x    ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2007) 
10. 
3 23 481 8 2 2
3
x x x x     ( 45 năm THTT) 
11. 
22 3 1 1x x x     ( Báo TH tuổi thơ 2, số 90+91) 
Loại 3: 
1. 
2 2 11 31x x   ( ĐHCSND-1999) 
2. 
2 22 5 7 10 11x x x x     ( Đặng Mạnh Hùng sáng tác -2009) 
3. 
2 22 3 2 2 4 3x x x x     ( CĐSP TW TPHCM-2007) 
4. 
22 2 4 2x x x      ( Thi vào 10 Chuyên ĐHQGHN-2005) 
5. 1 8 (1 )(8 ) 3x x x x       ( ĐHKTQD-1998) 
6. 
22 1 3 1 0x x x     ( ĐH, khối D-2006) 
7. 
24 4 2 12 2 16x x x x       ( Dự bị ĐH-2003) 
8. 1 4 (1 )(4 ) 5x x x x       ( Cao đẳng BK-2006) 
9. 
2
( 1)( 2) ( 1) 2 0
1
x
x x x
x

     

 ( Vô địch toán Phú Yên 2009-2010) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 7 Tel:0978386357 
10. 
221 1
3
x x x x     ( ĐHQGHN-2000) 
11. 
2 7 4
4
2
x x
x
x
 


 ( ĐH Dân Lập ĐĐ-2000) 
12. 
2 25 10 1 7 2x x x x     ( Thi vào 10 PTNK Trần Phú- Hải Phòng) 
13. 
2 3 2 3( 1 ) ( 1 ) 2x x x x      ( Đặng Mạnh Hùng sáng tác -2007) 
14. 
22 2 2 4 2 2x x x x       ( CĐSP HN-2001) 
15. 
2( 1)( 4) 2 5 2 6x x x x      (ĐHNN-1998) 
16. 
2 12 1 36x x x    
17. 
2 24 2 3 4x x x x     ( ĐH Mỏ Địa Chất-2001) 
18. 
23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        ( HVKTQS-1999) 
19. 
3 2 1 1x x    ( ĐHTCKT-2000) 
20. 
32 3 2 3 6 5 8 0x x     ( ĐH, khối A-2009) 
21. 
2 32 11 21 3 4 4 0x x x     ( HSGQG Bảng B-1995) 
22. 
3 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x      ( HSGQG Bảng A-1995) 
23. 
2 4 233 1 1 0
3
x x x x      ( Thi chọn HSG L9 Tỉnh Thái Bình-2005) 
24. CM phương trình ( 2) 1 2 1x x x    vô nghiệm. ( Thi vào L10 Chuyên ĐHSP 
HN-2004) 
25. 
33 1x x   ( ĐHNT-1996) 
26. 
3 7 1x x   ( ĐH Luật HN-1996) 
27. 
3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x     ( Báo THTT số 337) 
28. 
2 22 2 2x x x x    ( 45 năm THTT) 
29. 
218 18 17 8 2 0x x x x x     ( 45 năm THTT) 
30. 
3 2 33 3 16 9 0x x x x     ( 45 năm THTT) 
Loại 4: 
1. 
2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x       ( 45 năm THTT) 
2. 
2 5 2 5( 1 ) ( 1 ) 123x x x x      ( 45 năm THTT) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu ... 2012x x  ( Đặng Mạnh Hùng sáng tác 2008) 
2. 
2 2 4 1 2x x x     
3. 
2 2 24 5 4 8 4 1x x x x x x        ( CĐSP HN-2005) 
4. 
2 2 23 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x        
5. 
22 4 6 11x x x x      (Bộ đề thi ts) 
6. 
22012 2014 230 13227x x x x      (Đặng Mạnh Hùng sáng tác 2012) 
7. 
2(2 1)
2 1 3 2
2
x
x x

    ( Dự bị ĐH, Khối A-2008) 
8. 
2 215 3 2 8x x x     ( ĐHNT-1997) 
9. 
2 212 5 3 5x x x     ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2007) 
10. 
2
4 3 23 2 7 3 3 2
2
x x
x x x x

      ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2007) 
11. 
2 2 1x x x x x     ( Thi chọn HSG TPHCM-2007) 
12. 
2 2 21 1 2x x x x x x        ( Báo THTT số 292) 
13. 
34 316 5 6 4x x x   ( Báo THTT số 337) 
14. 
24
28 27
2 27 24 1 6
3 2
x x x     ( Báo THTT số 343) 
15. 
2 32 11 21 3 4 4 0x x x     (HSGQG bảng B-1995) 
16. 
3 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x      (HSGQG bảng A-1995) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 10 
Tel:0978386357 
17. 
10 65 527 5 684 0x x   (45 năm THTT) 
18. 
2
2
1 1
2 2 4 ( )x x
xx
      (ĐHNT-1995) 
19. 
2 22 2 1 3 4 1x x x x x      (45 năm THTT) 
20. 
2 2
9
1
x x
x
  

 ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2007) 
21. 
5 315 18 1 3x x x    (ĐVC) 
22. 
5 315 11 28 1 3x x x    (Thi HSG TPHN, L12-2006) 
23. 
3( 1)(2 1 3 6) 6x x x x      ( Vô địch Toán Thái Bình 2009-2010) 
24. 
32( 2)( 4 4 2 2) 3 1x x x x      ( THTT số 369) 
25. 
2 2 4 21 2 1 2 2(1 ) (2 4 1)x x x x x x x         
 (ĐHQGTPHCM, Khối A-2001) 
26. 
9
1 8 (1 )(8 ) 3 2
2
x x x x        (ĐVC) 
27. 
33 6 1 8 4 1x x x    ( Báo THTT số 392) 
28. 
2 23 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x        
29. 
3 3 214 2(1 2 1)x x x x      ( Báo THTT số 378) 
30. 
27 5 12 38x x x x      
31. 
22 3 5 2 3 12 14x x x x      
32. 
21 9 10 29x x x x      
33. 
2 3 4 23 2 1 2 2x x x x x      
34. 13 1 9 1 16x x x    
35. 
21 8 (1 )(8 ) 2 2x x x x x x         
36. 
21 3 2 3 2 0x x x x        
37. 
24 4 32 32 4 16 0x x x x y y         
38. 
2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x          
Dạng 8: Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa 
* Một số kiến thức cơ bản: 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 11 
Tel:0978386357 
 Nếu 1x   thì có một số t với ;
2 2
t
   
 
 
 sao cho : sin t x và một số y với 
 0;y  sao cho cosx y 
 Nếu 0 1x  thì có một số t với 0;
2
t
 
 
 
 sao cho : sin t x và một số y với 
0;
2
y
 
 
 
 sao cho cosx y 
Với mỗi số thực x có ;
2 2
t
  
  
 
 sao cho : tanx t 
 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: 2 2 1x y  , thì có một số t với 0 2t   , sao cho 
sin , cosx t y t  
 Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : 
 Nếu : 1x   thì đặt sin t x với ;
2 2
t
   
 
 
 hoặc cosx y với  0;y  
 Nếu 0 1x  thì đặt sin t x , với 0;
2
t
 
 
 
 hoặc cosx y , với 0;
2
y
 
 
 
 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: 2 2 1x y  , thì đặt sin , cosx t y t  với 
0 2t   
 Nếu x a , ta có thể đặt : 
sin
a
x
t
 , với ;
2 2
t
  
  
 
 , tương tự cho trường hợp khác 
Giải các phương trình sau trên tập số thực: 
1. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 
2 31 4 3x x x   ( HVQHQT-2000) 
2. 
2 3 3 21 1 (1 ) (1 ) 2 1x x x x        
 
 (HSG QG-1984) 
3. 
3 3 2x x x   ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2006) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 12 
Tel:0978386357 
4. 
33 6 1 8 4 1x x x    ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2006) 
5. 2 2 2x x    ( Báo THTT) 
6. 1 8 (1 )(8 ) 3x x x x       (ĐHKTQD-1998) 
7. 
2 3 32(1 1 ) (1 ) (1 ) 5x x x x      
 
 (Thi HSGTPHN, L12-2008) 
Dạng 9: Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp hình học 
Giải các phương trình sau trên tập số thực: 
1. 
2 22 5 2 10 29x x x x      
2. 
2 24 5 10 50 5x x x x      
3. 
2 22 2 2 2 2 2x x x x      
4. 
3 2 2 3 29 18 36 9 9x x x x x     
5. 
2 21 2 5 10x x x     
6. 
2 2 2 452 5 4 40 5
4
x x x x x x        
7. 
2 24 28 53 4 12 13 4 2x x x x      
8. 
21 3 2 10 16x x x x      
9. 
2 3(3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x        
10. 
2 2 2 24 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y         
11. 
2 2 22 2 1 2 ( 3 1) 1 2 ( 3 1) 1 3x x x x x x           
12. 
21 3 2 1x x x x     
ÔN TẬP TỔNG HỢP 
1. 3 6 (3 )(6 ) 3x x x x       
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 13 
Tel:0978386357 
2. 2 7 (2 )(7 ) 3x x x x       
3. 
22 2 4 2x x x      
4. 
3 3 31 2 2 3x x x     
5. 
3 3 32 1 16 2 1x x x    
6. 
2 32( 8) 5 8x x   
7. 
2
2
4
2 8
(1 1 2 )
x
x
x
 
 
8. 
2
2
2
21
(1 1 2 )
x
x
x
 
 
9. 
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x

        
10. 
2 2 2 25 51 1 1
4 4
x x x x x         
11. 
4 4 21 1x x x    
12. 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x        
13. 3 3
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
  

14. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
2 3 13 2 36 0x x x     
15.  3 33 335 35 30x x x x    
16. 
3 3 31 1 5x x x    
17. 3 4 1 8 6 1 1x x x x        
18. 
3
1 2 1
2
xy
x y y x    
19. 
3 3
3 3
(34 ) 1 ( 1) 34
30
34 1
x x x x
x x
    

  
20. 
2 217 17 9x x x x     
31. 3 3x x x   
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 14 
Tel:0978386357 
22. 
4 4 2 22000 2000
2000
1999
x x x x  
 
23. 
4 4 2 21999 1999
1998
1997
x x x x  
 (45 năm THTT) 
24. 
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
x
x x x x
 
 
   
25. 
4 2729 8 1 36x x   
26. 
2 217 (3 )x x   
27. 
4 1 5
2x x x
x x x
     
28. 5 5x x x x     
29. 8 8
1 2
2
2 1
x x
x x
 
 
 
30. 5 1 6x x    
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ 
1.Dạng câu hỏi thứ nhất 
1. Định m để phương trình sau đây có nghiệm 
2 2 3 0x x m    \ 
 (CĐ Kinh tể đối ngoại-2007) 
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 2 1x x m   
( CĐ Tài chính Hải quan-2007) 
3. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 
2( 1)(3 ) 2 3x x x x     (CĐ Công Nghiệp-2007) 
4. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm dương 
2 24 5 4x x m x x     (CĐ Giao thông vận tải 3-2007) 
5. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 
2 2 2 1x mx x    (ĐH khối B-2006) 
6. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực 
phân biệt 
2 2 8 ( 2)x x m x    ( ĐH khối B-2007) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 15 
Tel:0978386357 
7. Tìm tham số a để phương trình 1 8 (1 )(8 )x x x x a       có 
nghiệm (ĐHKTQD-1998) 
8. Tìm m để phương trình 3 6 (3 )(6 ) 0x x x x m        có nghiệm 
 (CĐSP Trà Vinh-2006) 
9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 
4 23 1 1 2 1x m x x     
 (ĐH khối A-2007) 
10. Xác định m để phương trình sau có nghiệm 
2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x          
 (ĐH khối B-2004) 
11.Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 
4 42 2 2 6 2 6 (m )x x x x m       
 (ĐH khối A-2008) 
12. Xác định tham số m để phương trình 7 2 (2 )(7 )x x x x m       có 
nghiệm (ĐHNT-1994) 
13. Tìm m để phương trình 3 2 4 6 4 5x x x x m        có đúng hai 
nghiệm. (Dự bị ĐH khối D-2007) 
14. Tìm m để phương trình 1 2 9 6x x x x m      có hai nghiệm phân biệt 
 (Dự bị ĐH-2009) 
15. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 
4 4 13 1 0x x m x     ( Dự bị ĐH khối B-2007) 
16. Tìm m để phương trình 
2 1x x m   có nghiệm ( Dự bị ĐH khối B-2007) 
17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
4 2 2 4 1x x x m     có 
đúng một nghiệm thực. ( Dự bị ĐH khối D-2008) 
18.Tìm m để phương trình sau có nghiệm  12 5 4x x x m x x      
(HVCNBCVT-1999) 
19. Cho phương trình 
2 2 2 35( ) 4 2 0
3
x m x m      . CMR với mọi 0m  
phương trình đã cho luôn có nghiệm. ( Dự bị ĐH-2005) 
20. Biện luận theo m về số nghiệm của phương trình 
44 44 4 6x x m x x m      
(ĐH Y Dược TPHCM-2000) 
21. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
2 1x m m x   ( Bộ đề TS-101) 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 16 
Tel:0978386357 
22. Biện luận số nghiệm của phương trình 
4 21 4 3 2 ( 3) 2 0x m x x m x        ( Báo THTT số 361) 
23. Xác định tham số m để phương trình 
(4 3) 3 (3 4) 1 1 0m x m x m        có nghiệm thực. 
 (OLYMPIC 30-4-2000) 
24. Xác định tham số a để phương trình 
2 24 2 1 4 2 1 2x x x x a      có 
nghiệm thực. (ĐH Luật HN-1995) 
25. Tìm m để phương trình 
2 22 5 2 5x x x x m      có nghiệm thực. 
 ( Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2008) 
26. Với những giá trị nào của a thì phương trình 
3 31 1x x a    có nghiệm. 
 (ĐHNT-1998) 
27. Với giá trị nào của m thì phương trình 
1
( 3)( 1) 4( 3)
3
x
x x x m
x

    

 có 
nghiệm. (Bộ đề TS-03) 
28. Tìm m để phương trình 
29 9x x x x m      có nghiệm. 
29. Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm 
2 21 1x x x x m      ( Bộ đề TS-142) 
30. Tìm m để phương trình 4 4 4x x x x m      có nghiệm thực. 
31. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 
23 1
2 1
2 1
x
x mx
x

  

 ( Báo THTT số 381) 
32. Tìm m để phương trình 
22 3x m x mx    có nghiệm thực. (ĐH GTVT 1998) 
33. Tìm m để phương trình 
2 22 1x x m x m     có nghiệm thực. 
2. Dạng câu hỏi thứ hai 
1. Xác định tham số m để phương trình 2 4x x m    có nghiệm duy nhất. 
2. Xác định tham số m để phương trình 5 2 (2 )(5 )x x x x m       có 
nghiệm duy nhất. ( Dự bị OLYMPIC 30-4-2007) 
3. Xác định tham số a để phương trình 3 5 (3 )(5 )x x x x a       có 
nghiệm duy nhất. (Đặng Mạnh Hùng sáng tác-2009) 
4. Cho phương trình 
341 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m       
a. Giải phương trình khi m =-1 
b. Xác định tham số m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. 
Trung tâm BDKT & LTĐH HHT Phương trình vô tỷ 
Khu 10-Đại Phúc-Bắc Ninh 
Giáo viên biên soạn: Đặng Mạnh Hùng 17 
Tel:0978386357 
5. Xác định tham số m để phương trình 
32 21 2 1x x m    có nghiệm duy nhất. 
6. Xác định tham số để phương trình 
4 4 1 1x x x x m      có nghiệm duy 
nhất. 
7. Xác định tham số a, b để phương trình 
32 2 2 2 2 33 3(ax ) (ax )b b a x b b      .