1) Phương pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tương đương về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngược lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a3 + b3 + abc ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c)
tương đương a3 + b3 + abc ≥ a2b + ab2 + abc
tương đương (a+b)(a2_ab+b2) ≥ ab (a+b)
tương đương (a+b) (a-b)2 ≥ 0
Phép biến đổi tương đương áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị I - Phép biến đổi tương đương 1) Phương pháp chung - Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tương đương về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngược lại) - Một số ví dụ; VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a3 + b3 + abc ab (a + b + c) Lời giải: Ta có a3 + b3 + abc ab (a + b + c) a3 + b3 + abc a2b + ab2 + abc (a+b)(a2_ab+b2) ab (a+b) (a+b) (a-b)2 0 Ta có: a; b; > 0 a + b > 0 (a - b)2 0 a, b (a + b).(a - b)2 0 (Luôn đúng) a, b > 0 a3 + b3 + abc ab (a+b+c) (ĐpCM) VD2: Cho a, b, c > 0 CM: Lời giải: Ta có a2b2 + b2c2 + c2a2 abc (a + b + c) 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 2 abc(a + b + c) (a2b2 + b2c2 - 2ab2c)+ (a2b2 + a2c2- 2a2bc) + (b2c2 + c2a2 - 2abc2) 0 b2(a - c) + a2(b - c)2 + c2(a - b)2 0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 ) Vậy bất đẳng thức được chứng minh. VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của Cm: Bài làm Đặt M = có M = (Vì a; b; c > 0) có Vậy VD4 :Cho ab 1 CM: Bài giải Ta có (1) (Vì ab ) ( Luôn đúng ) Dấu “=” xảy ra VD5:Cho CM: Bài làm áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có: Tương tự: mà : Dấu “=” xảy ra a = b = c = d VD6: Cho abc Với: A B C (ha ; hb ; hc lần lượt là các đường cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của ) A C ha B a b c Bài làm: Gọi S là diện tích ABC tương tự: (1) Lại có A B C a b c (Quan hệ cạnh – góc trong ) Đpcm Dấu”=” xảy ra (=) VD7 : CM: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Từ đó chứng minh: Với a , b , c , > 0 Bài giải: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (*) 2(a2 + b2 + c2 ) - 2.(ab + bc + ca) 0 (=) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 ( luôn đúng ) Dấu “=” xảy ra (=) a = b = c Ta có : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 a8 + b8 + c8 a4b4 + b4c4 + c4a4 áp dụng (*) a8 + b8 + c8 a4b4 + b4c4 + c4a4 a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2 Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 ; p là nửa chu vi Cm: Bài giải Từ bất đẳng thức (x ; y không âm ; xy 0 ) (Dễ dàng CM được BĐT Côsi) Ta có: Cộng từng vế của BĐT trên ta được: *Chú ý : Biến đổi ngược lại ta sẽ được một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tương đương thực sự. VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n (*) Bài làm: Có a > b (1) luôn đúng (*) luôn đúng Đpcm *Một số bài tập áp dụng: 1) Cho C/m: 2) Cho a , b , c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 CMR: ( Chú ý BĐT Nesôlsit ) 3) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 CM: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 (*) 4) CM: 5) CM: (a, b, c, d 0) 6) CM: 7) CM: a) b) 8) Cho a, b, c 0 CMR: II - áp dụng BĐT để tìm cực trị - Một số BĐT thường gặp để tìm cực trị * BĐT Côsi: Cho n số không âm: a1, a2,......an ta có: (a1+ a2+ ... + an ) * BĐT Bunhiacôpxki: Cho 2 bộ số (a1, a2,...an) và (b1, b2,,...bn) Ta có: Dấu “ = ” xảy ra * BĐT trị tuyệt đối * BĐT trong tam giác Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm được cực trị Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ như -A; ; A2 ... để bài toán thêm ngắn gọn * Sau đây ta xét một vài ví dụ cơ bản VD1: Tìm max có biểu thức: A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm và x+y+z=1 + Có một bạn giải như sau: áp dụng BĐT: Ta có: *Chú ý: Lời giải trên là hoàn toàn sai lầm do chưa tìm ra dấu bằng khi áp dụng BĐT. + Ta có lời giải hoàn chỉnh như sau: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: Nhân từng vế của (1) và (2) ta được Dấu “=” xảy ra x = y = z = ** Tương tự ta dễ mắc phải sai lầm trong ví dụ sau - Tìm min của A = 2x +3y biết 2x2 + 3y2 5 Lời giải sai: Gọi B = 2x2 + 3y2 ta có B 5 Xét A + B = Mà Cộng từng vế của (1); (2) *Chú ý : Sai lầm ở đây chính là ở chỗ ta chưa xét dấu bằng ở cả hai BĐT * Một số bài tập cơ bản áp dụng BĐT Côsi: 1) Tìm min của L ời giải: Tương tự giải bài B,C +) 2) Tìm max của A = (2x-1) (3-5x) Bài giải Tương tự chúng ta dễ dàng giả được phần B; C 3) Cho a, b, c > 1 Tìm min của Xét: áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 4 (a -1); ta có: Tương tự với ta tìm được min A = 48 4) Cho a, b, c không âm CMR a + b + c = Tìm min của A = Dễ dàng CM được áp dụng BĐT trên ta có: Tương tự: Dấu “=” xảy ra (=) * áp dụng BĐT Bunhiacopxki 1) Tìm min; max của Bài làm áp dụng BĐT Bunhia copxti có 2 bộ số (3; 4) và ta có Có: Tương tự giải cho B * Chú ý thêm BĐT suy ra từ BĐT Côsi Dựa vào BĐT trên ta giải bài tập sau: Cho x; y > 0 TM: Tìm max; CM: Theo BĐT ta có Dấu “=”xảy ra x = y = z Tương tự: Cộng từng vế 3 BĐT trên Dấu “=” xảy ra (=) x= y = z = * Một bài toán tìm cực trị ta có thể áp dụng nhiều BĐT để giải Vídụ : Cho 3 số dương a, b, c ; a +b +c = m là 1 hằng số Tìm min của A Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta có: Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có: Tương tự: Cộng từng vế Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có: Cách 4: Giả sử áp dụng BĐT Trêbưsép cho 6 số trên * Một số bài toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối. Ví dụ: Tìm min ; max của Hướng dẫn: Đổi: *áp dụng BĐT về 3 điểm * Một số bài tập Bài 1: Tìm min của Bài 2: Tìm min; max của p = x2+y2 với x, y là 2 số thoả mãn x2+ xy + y2 = 1 Bài 3: Tìm max p a) A = 4x3 - x4 b) B = với c) với và Bài 4: Tìm max a.a’ với Bài 5: Tìm min của a) với x, y, z TM: xy + yz + zx = 1 b) với x, y, z TM: Bài 6: Cho a, b >0 ; a + b =1 Tìm Max Bài 7: Cho a, b, c, d >0 Tìm min của (ĐS = 4) Bài 8: Cho x, y, z, t > 0 TM x + y + z + t = 1 Tìm Min của (ĐS = 16) Bài 9: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có a + b + c = m là một hằng số Tìm Max của Bài 10: Cho x, y, z TM Tìm Min của xyz ĐS = Bài11: Cho 3 số dương x, y, z > 0 TM Tìm Min của xyz ĐS: 8 x=y=z=2 Bài12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = 1 Tìm Max của ĐS: b) Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác Tìm Max của biểu thức
Tài liệu đính kèm: