Ôn tập Toán 12 - Số phức, cộng, trừ, nhân, chia số phức

SỐ PHỨC	Học sinh: .........................................
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC	Lớp: ................................................ 
Khái niệm số phức
1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = −1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
Ÿ i: đơn vị ảo.	 Ÿ a: phần thực.	Ÿ b: phần ảo.
Chú ý: 
z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực .
z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo.
0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức 
1) z = 2 + , z = − i .	2) z = −3 + , z = −i3.
2. Cho hai số phức z = a + bi, z’ = a’ + b’i 
 	z = z’ Û .
Ví dụ: Tìm x và y, biết (2x +1)+(3y − 2)i = (x + 2)+(y + 4)i 
II. Biểu diễn hình học số phức: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) 
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0
Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực
 Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo
Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức 
A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(−3 – 3i), D(3i), E(−2i), F(4).
III. Phép cộng và phép trừ số phức
Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i
Trừ hai số phức: z – z’ = z + (−z’) = (a – a’) + (b – b’)i
Chú ý: 
Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán).
Số đối của z = a + bi là – z = − a – bi 
Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
biểu diễn số phức z = a + bi, biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì 
 biểu diễn số phức z + z’.
 biểu diễn số phức z − z’. 
Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: 
(3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (−2 + 3i).
IV. Phép nhân số phức
	zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i 
Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán và phân phối).
Ví dụ: Tính (2 − i)(1 + 2i), (2 + i)(2 − i), (2 + i)(1 + 2i), 
V. Số phức liên hợp và môđun của số phức:
1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi là . Như vậy:
Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của 2 + 3i, − 4 − , i, −i
Chú ý: 
Ÿ Hai số phức liên hợp các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox.
Ÿ .	Ÿ	Ÿ .
2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm và được kí hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy:	
Chú ý: 
 và |z| = 0 .
.
Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 
 2 + 3i, −4 − , i, −i
VI. Phép chia cho số phức khác 0.
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số .
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số nghịch đảo của z là . Như vậy: Nếu thì .
 Chú ý: 
Với , ta có .
Để tính ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với (nhân lượng liên hợp).
Với , = và .
Ví dụ: Tính 
VII. Căn bậc hai của số phức.
Định nghĩa: Cho số phức . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = được gọi là một căn bậc hai của .
¯ Trường hợp là số thực:
 = a = 0. Có đúng một căn bậc hai là 0.
 = a khác 0.
a > 0: có hai căn bậc hai là .
a < 0: có hai căn bậc hai là 
¯ *Trường hợp = a + bi , b khác 0. z = x + yi là căn bậc hai của khi và chỉ khi 
Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số phức 
 Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
–1, –i2, – 5 + 12i, i.
, , 
VIII. Công thức nghiệm của phương tŕnh bậc hai hệ số phức (nâng cao) xét , gọi là một căn bậc hai của .
Ÿ Nếu pt có hai nghiệm là 
Ÿ Nếu = 0 pt có nghiệm kép: .
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ĐS: 0 và 4
c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ĐS: –16 và 37
d) ĐS :và 
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của z = x + yi:
a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2)
b) ĐS: và 
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
a) ĐS: 
b) ĐS: –1 + i ; 1/2
c) ĐS: 2/3 + 4i
d) ĐS: 0, –1, 
e) ĐS: 0, i, –I f) ĐS: bi (b
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) ĐS: x = 1/2 và x = –7/2
b) = 2 ĐS: y = 
c) 2|z – i| = ĐS: y = 
Bài 5: Tìm số phức z thỏa: ĐS: 0, 1 , –1
Bài 6: Phân tích ra thứa số :
a) a2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) 
b) 2a2 + 3 ĐS:
c) 4a4 + 9b2 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) 
d) 3a2 + 5b2 ĐS: 
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a) ĐS: ; b) ĐS: i
c) ĐS: –i; d) ĐS: 
e) 	 ĐS: 
f) ĐS: 
g) ĐS:; h) (2 – i)6 ĐS: − 117 – 44i
Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) –1 + 4ĐS:; b) 4 + 6 ĐS:
c) –1 – 2ĐS: ; d) –5+ 12.i ĐS: (2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
a) ĐS: 
b) ĐS: 
c)* x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
d)* 3i.x2 – 2x – 4 + I = 0 
ĐS: ;
Bài 10: Giài các hệ phương trình :
a) ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i) b) 
Tự luyện
Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau
a)(4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i); (1 + i)2 – (1 - i)2; (2 + i)3 – (3− i)3
b) (i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. (CĐ – 2009 )
c); ; 
d) 
Cho số phức z = x + iy . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau: z2 – 2z + 4i; .
Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
a) .	b).	c) .	
d) e).	f) 
g) Cho z = 3 − 2i. Tìm phần thực & phần ảo của z2 + z 
Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: (BT09)
a). b).
c). d). e). f)
Tìm số phức z thỏa mãn i:
a) và .	b) .
c) và (ĐHKB – 2009)
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) .	b).
c) . (ĐHKD – 2009)
d) là số thực tùy ý, 
 là số ảo tùy ý.
e) .	f).
7) Giải các phương trình sau:
a) z2 – z + 1 = 0. b) z2 + (-2 + i)z – 2i = 0. c) z2 = z + 1.
d) z2 + 2z + 5 = 0.e) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
f) (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0. g) 8z2 – 4z + 1 = 0, 
h)2z2 – iz + 1 = 0 ( TN2009). i) . (CĐ09)
i) z2 + 2z + 10 = 0 (z1 và z2 là nghiệm). 
Tính giá trị biểu thức (ĐHKA – 2009)