Vấn đề 3: Các phương pháp tính tích phân

VẤN ĐỀ 3
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
+, đặt: x = , 
+hoặc , đặt: x = kcos2t, t.
2) Quy tắc đổi biến số dạng 2:
a) Cơ sở lý thuyết: 
b) Cách thực hiện:
+ Đặt sao cho liên tục /[a;b].
+ Tính dt =.
+ Đổi cận: 
x
 a b 
+ Thay vào tính tích phân theo biến t.
c) Chú ý: Nên đặt t là biểu thức nào để khi tính dt ta được phần còn lại.
I) Phương pháp đổi biến số:
1) Quy tắc đổi biến số dạng 1:
a) Cơ sở lý thuyết: 
b) Cách thực hiện:
+ Đặt x = u(t) sao cho u’(t) liên tục/;f(u(t)) được xác định trên;,.
+ Tính dx = u’(t)dt.
+ Đổi cận: 
x
 a b 
x=u(t)
+ Thay vào tính tích phân theo biến t.
c) Trường hợp thường gặp: f(x) chứa:
+, đặt: x = ksint, t.
+hoặc , đặt: x = ktgt, t.
II) Phương pháp tích phân từng phần:
1) Cơ sỏ lý thuyết: (*)
2) Cách thực hiện: Giả sử tính: 
a) Tách biểu thức:f(x)dx để đặt: 
b) Tính: 
c) Aùp dụng công thức (*).
3) Hai dạng tích phân từng phần thường gặp:
a) (P(x) đa thức chứa x)
b) (P(x) đa thức chứa x)
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần.
BÀI TẬP
Bài 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) b) c) d) e) f) 
a) b) c) d) 
 e) f) 
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 
Bài 2: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 
Bài 4: Tính các tích phân sau :
1) a) 	 b) 
2) a) b) (Đề thi TN THPT 1993-1994)
3) a) b) c) (Đề thi TN THPT 1995-1996)
4) a) b) c) (Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)
5) a) b) (Đề thi TN THPT Kì II 1996-1997) 
6) a) b) (Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998_Đề chính thức)
7) a) (Đề thi TN THPT Kì II 1997-1998)
 b) (Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998_Đề dự bị)
8) a) b) (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)
9) a) b) (Đề thi TN THPT Kì II 1998-1999)
10) (Đề thi TN THPT 2000 -2001)
11) Tính tích phân: I = (ĐH KHỐI B 2003)
12) Tính tích phân: I = .(ĐH KHỐI B 2004) 
13) Tính tích phân: I = (ĐH KHỐI D 2004)
Bài 5: Giả sử y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a;a], (a > 0 ).
 1) Dùng phép đổi biến số x = -t, chứng minh rằng: . Từ đó suy ra công thức: (*)
 2) Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân (với giả thiết f(x) 0 trên đoạn [-a;a]), hãy giải thích ý nghĩa hình học của công thức (*).
Bài 6: Giả sử y = f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a;a], (a > 0 ).
 1) Bằng cách đổi biến số x = -t, chứng minh rằng: . Từ đó suy ra công thức: (*)
 2) Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy giải thích ý nghĩa hình học của công thức (*).
Bài 7: Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a;a], (a > 0 ).
Bằng cách đổi biến số x = a-t, chứng minh rằng: . 
Chứng minh rằng: