Ôn tập hình học không gian oxyz

ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ
Giáo viên biên soạn : Hoa Hoàng Tuyên
1/ a) Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7;4), C(x;y;6)
Tìm x,y để A,B,C thẳng hàng.
	 b) Cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2)
Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA+MB nhỏ nhất
	2/ Chứng minh 4 điểm A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) là các đỉnh của một hình chữ nhật
Tính độ dài các đường chéo, xác định tọa độ của tâm hình chữ nhật đó
Tính côsin của góc giữa hai vectơ AC và BD.
	3/ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. biết A(1; 0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
	4/ Chứng tỏ tám điểm sau đây là tám đỉnh của một hình hộp và tính thể tích của hình hộp đó : (0;0;0),(3;0;0), (0;5;1), (3;5;1), (2;0;5), (5;0;5), (2;5;6), (5;5;6)
	5/ a) Tìm trên trục Oy điểm cách đều hai điểm A(3;1;0), B(-2;4;1)
	 b)Tìm trên mp (Oxz) điểm cách đều 3 điểm
	A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;-1)
	6/ Cho hai điểm A(2;-1;7), B(4;5;-2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz)tại điểm M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? Tìm tọa độ điểm M.
	7/ Cho 3 vectơ (3;7;0), (2;3;1), (3;-2;4).
Biểu thị vectơ (-4;-12;3) theo 3 vectơ , , 
	8/	a) Cho hai vectơ (1;m;-1) và (2;1;3). Tìm m để 
	b) Cho hai vectơ (1;log35;m) và (3;log35;4). Tìm m để 
	c) Cho hai vectơ (2;;1) và (sin5t; cos3t; sin3t). Tìm t để 
	d) Cho vectơ (2;-1;4). Tìm vectơ cùng phương với , biết rằng = 10
	e) Cho (2;-1;0). Tìm cùng phương , biết rằng .=10
	9/ Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1)	
Chứng minh 4 điểm không đó đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.
TÍnh diện tích cac mặt của tứ diện ABCD.
Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD
Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
	10/ Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1).
Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
Tính chu vi, diện tích tam giác ABC
Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
Tính độ dài đường cao hA của tam gaic1 ABC kẻ từ A
Tính các góc của tm giác ABC
Xác định tọa độ trưc tâm tam giác ABC
Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
	11/ Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD = 5. Tìm tọa độ đỉnh D.
	12/ Cho 4 điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.
	13/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
chứng minh A’C (AB’D’).
Gọi M là trung điểm của AD, n là trung điểm của BB’. Chứng minh A’C MN.
Tính co6sin của góc giứa hai vectơ MN và AC’.
Tính VA’CMN.
	14/ Viết phương trình mặt cầu:
Có tâm I(1;0;-1), đường kính bằng 8.
Có đường kính AB với A = (-1;2;1), B = (0;2;3).
Có tâm O(0;0;0) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm (3;-2;4), bán kính bằng 1.
Có tâm I(3;-2;4) và đi qua A(7;2;1).
Có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxy)
Có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxz)
Có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oyz)
	15/ Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương của một mặt cầu ? Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính bán kính của nó.
x2 + y2 + z2 – 2x - 6y - 8z + 1 = 0
x2 + y2 + z2 +10x +4y +2z + 30 = 0
x2 + y2 + z2 - y = 0
2x2 + 2y2 + 2z2 -2x - 3y + 5z - 2 = 0
x2 + y2 + z2 - 3x +4y – 8z + 25 = 0
	16/a) Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;-4),B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
	b) Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz
	c) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1;1;1), B(1;2;1),C(1;1;2), D(2;2;1).
	17/a) Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0
Xác đỉnh m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất
	b) Cho phương trình :
	x2 + y2 + z2 + 2xcos - 2ysin - 4z - (4 + sin2) = 0
Xác định để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.
	18/ trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
Đi qua 3 điểm A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6).
Đi qua điểm Mo(1;;3;-2) và vuông góc với trục Oy.
Đi qua điểm Mo(1;;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B = (0;2;-3), C(1;-4;1).
Đi qua điểm Mo(1;;3;-2) và song song với mặt phẳng
	2x - y + 3z +4 = 0
Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;1) và vuông góc với mặt phẳng 
	2x - y + 3z +4 = 0
Đi qua điểm M(2;-1;2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z +4 = 0.
Đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng
() : 2x + y + 2z +5 = 0 và (’) : 3x + 2y + z – 3 = 0 
	19/a) Bốn điểm A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6), D(3;2;1) có thuộc cùng một mặt phẳng không ?
	b) Tìm để bốn điểm A(1;2;1), B(2;a;0), C(4;-2;5), D(6;6;6) thuộc cùng một mặt phẳng.
	c) Cho 3 điểm A(1;1;1), B(3;-1;1), C(-1;0;2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không ?
	20/ cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng
	(P): 3x - 8y + 7z – 1 = 0
	a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
	b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) so cho ABC là tam giác đều.	
	21/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;4), cắt các trục tọa độ Ox,Oy;Oz lần lượt tại các điểm A, B,C sao cho OA = OB = OC 0
	22/ Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
Đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 
x - y + z -4 = 0 và 3x – y +z -1 = 0
	b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y + 2z – 4 = 0 và x + y – z +3 = 0, đồng thời song song với mp x + y + z - 2 = 0
	c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x - y + z – 2 = 0 và x + 4y – 5 = 0, đồng thời vuông góc với mp 2x – z + 7 = 0
	23/ cho 3 mặt phẳng 
	(P): x + y + z – 6 = 0
	(Q): mx – 2y + z + m – 1 = 0
	(R): mx + (m – 1)y – z + 2m = 0
	Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau, tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng.
	24/a) Cho mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4;3;0). Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và điểm M.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng () có phương trình x + 2y – 2z + 5 = 0
Cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp (BCD).
Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm I nằm trên mp x + y + z – 3 = 0
	25/a) Viết pt mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng () có phương trình 2x + y - z = 0 một góc 60o.
	b) viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3;0;0), C(0;0;1) và tạo với mp(Oxy) góc 60o.
	26/ Cho tứ diện ABCD với A(3;5;-1), B(7;5;3), C(9;-1;5), D(5;3;-3). Viết pt mặt phẳng cách đều bốn đỉnh tứ diện đó.
	27/ cho hình chop tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. gọi I là trung điểm cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABI).
	28/ cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’ và A’B.
Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP).
Tính thể tích tứ diện AMNP.
	29/ viết phương trình tham số hay chính tắc của đường thẳn d, biết : 
d là giao tuyến của hai mặt phẳng:
(): x – 3y + z = 0 và (’): x + y – z + 4 = 0
d là giao tuyến của mặt phẳng y – 2z + 3 = 0 với mặt phẳng tọa độ (Oyz).
	30/ Viết phương trình đường thẳn trong mỗi trường hợp sau:
Đi qua A(2;0;-1) và có vec tơ chỉ phương = (-1;3;5)
Đi qua A(-2;1;2) và song song với Oz
Đi qua A(2;3;-1) và B(1;2;4)	
Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng d:	
Đi qua A(1;2;-1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : x + y – z + 3 = 0 và (P’) : 2x – y + 5z – 4 = 0
Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y – 2z + 1 = 0
Đi qua A(2;-1;1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là 1(-1;1;-2) và 2(1;-2;0).
	31/a) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d : 
	trên mỗi mp sau : mp(Oxy), mp(Oxz), mp(Oyz), mp(P) : x + y + z – 7 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng:
	d : 
trên mặt phẳng (Q) : x + 2y – 2z – 2 = 0.
	32/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 đường thẳng:
	d1:	d2:
	d3: 	d4:
Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
	33/a) Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2).
Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A(1;1;0).
	34/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’, trong đó d là giao tuyến của hai mp :
	(P) : 2x + y + 1 = 0	và	(Q) : x – y + z – 1 = 0
	d’ là giao tuyến của hai mp : 
	(P’) : 3x + y – z + 3 = 0	và	(Q’) : 2x – y + 1 = 0
Chứng minh d và d’ cắt nhau
Viết phương trình chính tắc của các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’.
	35/a) Tìm tọa độ hình chiếu (vuông góc) của điểm M(1;-1;2) trên mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z + 12 = 0.
	b) Cho 4 điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). Tìm tọa độ hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC).
Cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1). Tìm tọa độ hình chiếu của gốc O trên mặt phẳng (ABC).
	36)a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(2;-3;1) qua mp (P): x + 3y – z + 2 = 0. 
	b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A(0;0;1) qua mặt phẳng : 6x + 2y +2z – 6 = 0.
	c) Tìm tọa độ điểm đố xứng của điểm B(2;3;5) qua mặt phẳng : 2x + 3y + z – 17 = 0.
	37/a) Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4). Tìm tọa độ hinh chiếu H của A trên đường thẳng BC
Cho đường thẳng d : và điểm M(4;-3;2). Tim tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
	38/ viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :
	a) d: 	d’ : 
	b) d: 	d’ : 
	39/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD, A’D’.
Tính khoảng cch1 giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ ( I là tâm của đáy ABCD).
Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Tính góc giữa hai mp (PAI) và (DCC’D’).
	40/ Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp (ABCD) và SA= 2a. gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD.
Tính khoảng cách từ đỉnh A tới mp(BCM) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,CN.
Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mp(BCM).
	41/a) Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mp
	(Q) : x + y + z + 1 = 0	và	(Q’) : x – y + z – 1 = 0
	Và cho hai mặt phẳng (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0
	 (P2): x + 2y +2z + 7 = 0
	Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1) và (P2).
cho đường thẳng d : và hai mặt phẳng
	(P1) : x + y – 2z + 5 = 0
	(P2) : 2x – y + z + 2 = 0
	Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1) và (P2).
	42/ trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1 đi qua điểm M(-23;-10;0), có vectơchỉ phương 1(8;4;1) và đường thẳng d2 đi qua điểm M’(3;-2;0), có vectơ chỉ phương 2(2;-2;1).
viết phương trình các mặt phẳng (P1), (P2) lần lượt đi qua d1, d2 và song song với nhau.
Tính khoảng cách giữa d1, d2.
Viết pt đường thẳng song song với Oz và cắt cả d1, d2.
	42/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1;2;-1), B(-1;1;1), C(1;0;1).
Chứng minh OABC là một tứ diện vuông đỉnh O.
Chứng minh rằng điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.
Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành hai phần, tinh1ti3 số diện tích hai phần đó.
Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).
	43/ Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho mặ cầu :
	 	(S) : x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0
	Và hai đường thẳng
	d: ,	d’ : 
Viết pt mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d.
Viết pt mặt phẳng (Q) tiếp xúc (S) và song song với cà d, d’.
	44/ dung phương pháp hình học hãy giải các bài toán sau : 
Chứng minh 
Chứng minh 
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
	Với 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chứng minh:
	Dấu = xảy ra khi nào?
	45/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình: 
	d : ,
	(P) : 3x + 5y – z -2 = 0
	a) Tìm tọa dộ giao điểm A của đường thẳn d với mp(P). Tính góc giữa d và (P).
	b) Viết pt mặt phẳng (P’) đi qua M(1;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d.
	c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc d’ của d trên mp(P)
	d) Cho điểm B(1;0;-1), hãy tìm tọa độ giao điểm B’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của BB’
	e) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.
	46/ trong không gian Oxyz cho hai mp
	Và điểm M(1;0;5).
Chứng minh () và (’) cắt nhau. Tính góc giữa () và (’).
Viết phương trình tham số giao tuyến của () và (’).
Gọi H là hình chiếu của M trên mp(), K l;à hình chiếu của M trên mp(’). Tính độ dài đoạn HK.
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng .
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với và cắt .
Ciết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của () , (’) và vuông góc với mp(P) : 
	47/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
	: 
	Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng 
	Và điểm M(1;1;2). 
xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và .
Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với .
Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với .
Viết pt đường thẳng đi qua M, cắt cả và .
Tính khoảng cách giữa và .
Viết pt đường vuông góc chung của và .
	48/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;2), B(0;4;1), C((5;1;-5), D(-2;8;-5) và đườngt thẳng 
d : .
	a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diên.
	b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
	c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
	d) Tìm tọa độ các giao điểm M,N của d với (S).
	e) Viết phương trình các mp tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M,N. Tính góc tạo bởi hai mp đó.
	49/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. xét hai điểm M trên AD’ và N trên DB sao cho AM = DN = k 
(0 < k < a ). Gọi P là trung điểm của B’C’.
	a) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC’.
	b) Tính thể tích khối tứ diện APBC’.
	c) Chứng minh MN luôn song song với mp(A’D’CB) khi k thay đổi.
	d) Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.
	e) Khi đoạn MN nhắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN song song A’C.
	50/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho sáu điểm A(2;0;0), A’(6;0;0), B(0;30), B’(0;40), C(0;03), C’(0;0;4).
Viết pt mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (A’B’C’). tính cosin của góc giữa hai mp đó.
Viết pt giao tuyến của hai mp (ABC) và (A’B’C’). Tính khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, H’ là trực tâm của tam giác A’B’C’. Chứng minh 3 điểm O, G, H’thẳng hàng, xác định tọa độ H’.
Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua (ABC). Điểm O’ có thuộc mp(A’B’C’) không ? 
Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng mặt cầu đó cũng đi qua B’ và C’.
Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song với mp(Oxy).