Ôn luyện thi tốt nghiệp lớp 12 môn Toán

Ôn Luyện Thi tốt nghiệp lớp 12
Chương I . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Phần I . Tập khảo sát và khảo sát đồ thị hàm số 
 1.Biểu thị một điểm trên hệ trục tọa độ Oxy
 VD : Biểu diễn các điểm sau trên hê trục Oxy 
 (1;0) (0:-2) (1;2) (-2/3;1/3) (0;2) (-1;3) (-3;0) (1/2;-3) 
2. Vẽ đường thẳng lên hê trục Oxy : quan sát các đt : x = -1 ; x = 2 ; y = -1 ; y = 2
2.Sơ đồ khảo sát đồ thị hàm số 
Sơ đồ 1 ( chương trình chuẩn )
Sơ đồ 2 ( chương trình nâng cao )
1.TXĐ : D = ?
2.Sự biến thiên
 a, Chiều biến thiên
- Tính y’ , giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( Nếu pt y’ = 0 vô nghiệm khi đó
 y’ > 0 hoặc y’ < 0 với mọi x thuộc D tùy thuộc vào từng bài toán ) 
- Lập bảng xét dấu y’ => Tính đồng biến , nghịch biến của hàm số
b, Cực trị
Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số ( Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến => không có cực trị
c, Giới hạn 
d, Bảng biến thiên
3.Đồ thị
- Chọn điểm 
- Vẽ đồ thị ( Dựa vào BBT để định dạng đồ thị )
1.TXĐ : D = ?
2.Sự biến thiên
a.Giới hạn 
b.Bảng biến thiên
- Tính y’ , giải pt y’ = 0 tìm nghiệm 
( Nếu pt y’ = 0 vô nghiệm khi đó 
y’ > 0 hoặc y’ < 0 với mọi x thuộc D tùy thuộc vào từng bài toán ) 
Bảng biến thiên
c.Chiều biến thiên
d. Cực trị 
( Dựa vào BBT để đọc )
3.Đồ thị
- Chọn điểm
- Vẽ đồ thị 
3.Các dạng hàm số khảo sát 
Hàm số bậc 3 : y = ax3+bx2+cx+d ( a )
Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4+bx2+c ( a )
Hàm số hữu tỉ dạng : y = ( ad - bc ) c 
4.Hàm số bậc 3 : y = ax3+bx2+cx+d ( a )
Ví dụ 1 : ( Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm Phân biệt và hệ số a > 0)
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
 y = x3- 3x + 1 [
1. TXĐ : D = R
2.Sự biến thiên
a. Giới hạn 
b.Bảng biến thiên 
Ta có : y’ = 3x2- 3
 y’ = 0
x
 -1 1 
y’
 + 0 - 0 +
y
 3 
 -1
c.Chiều biến thiên
- Hàm số đồng biến trên các khoảng .......
- Hàm số nghịch biến trên khoảng ....
d.Cực trị 
- Hàm số đạt cực đại tại : x = -1 ; yCĐ = 3
- Hàm số đạt cực tiểu tại : x = 1 ; yCT = -1 
3.Đồ thị 
- Điểm uốn 
 y’’ = 6x ; y’’ = 0 =>x = 0 => y = 1 U(0;1)
- Chọn điểm 
 x = -2 => y = -1 ( -2 ; -1)
 x = 2 => y = 3 ( 2 ; 3 )
Đồ thị nhận điểm uốn U (0;1) làm tâm đối xứng
Chú ý : Hai giá trị giới hạn ta có thể điền sau khi lập BBT 
- Các em có thể sử dụng máy tính để tìm nghiệm ( a = 3 ; b = 0 ; c = -3 )
- Tìm giá trị của y ta thay giá trị nghiệm vào hàm số ban đầu [
- Khi xét dấu y’ ta xét dấu của khoảng ngoài cùng bên phải . Khoảng này cùng dấu với a từ đó => khoảng còn lại 
- Hình dạng đồ thị
+ Điểm uốn 
- Tính y’’ ; giải pt y’’ = 0 để tìm hoành độ điểm uốn . thay vào y => tung độ điểm uốn 
Chú ý :- Chỉ nên tìm điểm uốn đối với hàm số bậc 3 . Các hàm số khác không cần thiết phải tìm. 
-Không nên tìm tìm giao với Ox thay vào đó ta chọn lấy 2 điểm kế cận 2 giá trị nghiệm nằm ngoài khoảng 2 nghiệm 
- Trong đây kô nói đến giao với Oy vì điểm này chính là điểm uốn ta đã tìm
Cực đại
(-1 ; 3)
Cực tiểu
( 1 ; -1)
Điểm uốn
 ( 0 ; 1)
Bước 1 : Vẽ trục tọa độ Oxy và biễu diễn các điểm Đồ thị 
CĐ , CT , Điểm uốn. Các điểm đã chọn lên trên hệ trục Oxy.
Bước 2 : Quan sát BBT để suy ra hình dạng của 
đồ thị ( các điểm bôi đen ) 
Chú ý : Khi vẽ đồ thị phải đi qua các điểm đã chọn .
Ví dụ 2 : ( Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và hệ số a < 0 )
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
 y = -x3 + 3x2 – 2 
1. TXĐ : D = R
2. Sự biến thiên
a. Giới hạn 
b. Bảng biến thiên
 Ta có y’ = -3x2 + 6x 
 y’ = 0 
x
 0 2 
y’
 - 0 + 0 -
y
 2 
 -2 
c. Chiều biến thiên ( Tự ghi kết quả )
d. Cực trị ( Tự ghi kết quả )
3. Đồ thị
- Điểm uốn 
 y’’ = -6x + 6 ; y’’ = 0 => x = 1 => y = 0 
 U( 1; 0 )
- Chọn x = -1 => y = 2
 x = 3 => y = -2
-Đối với hàm số bậc 3 : 
+; khi a < 0
+ ;khi a > 0
+ Pt : -3x2+6x = 0 ( Bấm máy tính như sau : a = -3 ; b = 6 ; c = 0 )
+ Dạng đồ thị ( Giống hình dạng mũi tên trên Bảng biến thiên ) 
+ Chọn : x = - 1 vì -1 nằm bên trái và kế cận 0 ; chọn x = -3 vì -3 nằm bên phải và kế cận 2 
+ Tất cả các điểm đã tìm phải được biểu thị như trên hình 1 
 Đồ thị nhận điểm U( 1;0 ) làm tâm đối xứng
 Hình 1 Đồ thị 
Ví dụ 3 : ( Phương trình y’ = 0 vô nghiệm với hệ số a > 0 )
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
Khảo sát hàm số 
 y = 2x3-6x2+7x-2 ( a = 2 )
1. TXĐ : D =R
2. Sự biến thiên 
a. Giới hạn 
 ;
b. Bảng biến thiên
 Ta có y’ = 6x2 - 12x + 7 > 0 
 ( Vì ; a > 0 ) 
x
y’
 +
y
c. Chiều biến thiên : 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
d. Cực trị : Hàm số không có cực trị
3. Đồ thị
x=1
- Điểm uốn 
 y’’ = 12x – 12 y’’ = 0 => => y = 1
 U(1;1)
- Chọn điểm 
Giao với Oy : x = 0 => y = -2 ( nhánh trái )
 Chọn : x = 2 => y = 4 ( nhánh phải ) 
M
 - Chú ý : cho tam thức : f(x) = ax2-bx+c
 + Nếu a > 0 => f(x) > 0 
 + Nếu a f(x) < 0 
- Ta có thể bấm máy tính ( với a = 6 ;
 b= -12 ; c = 7 . khi đó các nghiệm trên màn hình hiện lên có : i hoặc R1 tức là pt vô nghiệm trên R . 
Cách chọn điểm : Lấy giá trị hoành độ của điểm uốn làm tâm . Ta chọn 2 điểm kế cận bên trái và bên phải của điểm uốn
Bên trái
x uốn
Bên phải
x = 0
xuốn= 1
x = 2
y = -2
y = 1
y = 4
 Hướng dẫn vẽ : 
B1: Biểu thị các điểm đã tìm lên Oxy
B2: Qua điểm uốn kẻ 1 đoạn thẳng ngắn 
 Xuyên qua điểm uốn 
 B3: kéo dài 2 đầu đoạn thẳng cho và uốn cho đi qua 2 điểm đã chọn(0;2);(2;4)
Đoạn thẳng hướng lên qua điểm uốn theo mũi tên của y ở Bảng biến thiên
 Biểu thị điểm Đồ thị 
 Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn U ( 1;1 ) làm tâm đối xứng
Ví dụ 4 : ( Phương trình y’ = 0 vô nghiệm với hệ số a < 0 ) 
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
Khảo sát hàm số 
 y = - x3+2x2-3x +1 ( a = -1 )
1. TXĐ : D =R
2. Sự biến thiên 
a. Giới hạn 
 ;
b. Bảng biến thiên
 Ta có y’ = -3x2 +4x -3 < 0 
 ( Vì ; a < 0 ) 
x
y’
 -
y
 c. Chiều biến thiên : 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
d. Cực trị : Hàm số không có cực trị
3. Đồ thị
x=
- Điểm uốn y’’ = -6x + 4 
y’’ = 0 => => y = U
- Chọn điểm 
Giao với Oy : x = 0 => y = 1 ( nhánh trái )
 Chọn : x = 1 => y = -1 ( nhánh phải ) 
M
 - Chú ý : cho tam thức : f(x) = ax2-bx+c
 + Nếu a > 0 => f(x) > 0 
 + Nếu a f(x) < 0 
- Ta có thể bấm máy tính ( với a = -3 ;
 b= -4 ; c =-3 . khi đó các nghiệm trên màn hình hiện lên có : i hoặc R1 tức là pt vô nghiệm trên R . 
Cách chọn điểm : Lấy giá trị hoành độ của điểm uốn làm tâm . Ta chọn 2 điểm kế cận bên trái và bên phải của điểm uốn
Bên trái
x uốn
Bên phải
x = 0
xuốn= 
x = 1
y = 1
y = 
y = -1
 Hướng dẫn vẽ : 
B1: Biểu thị các điểm đã tìm lên Oxy
B2: Qua điểm uốn kẻ 1 đoạn thẳng ngắn 
 Xuyên qua điểm uốn 
 B3: kéo dài 2 đầu đoạn thẳng cho và uốn cho đi qua 2 điểm đã chọn(0;1);(1;1)
 Biểu thị điểm Đồ thị
 Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Một số bài tập tự rèn luyện 
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau :
y = x3 -3x2+1 b, y = 2x3 + 6x2 – 5
y = -x3+3x – 2 b, y = x3 + x2+x -3
y = - x3- 3x +2 b, y = x3-3x2+3x-1
5. Hàm số bậc 4 dạng trùng phương 
 Dạng : y = ax4 + bx2 + c ( a )
Cách khảo sát và vẽ giống hàm số bậc 3 
Chú ý : Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c 
 y’ = 4ax3 + 2bx 
Nếu a và b cùng dấu ( a.b > 0 ) Phương trình 
y’ = 4ax3+2bx = 0 có 1 nghiệm duy nhất là x = 0 . Khi đó hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là ( 0 ; c) ( là điểm CĐ nếu a 0 ) 
Nếu a và b trái dấu ( a.b < 0 ) Phương trình 
y’ = 4ax3 + 2bx = 0 có 3 nghiệm phân biệt là : x = 0 ; x = ; x = 
Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị .
Ví dụ 1: {phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ( tức là a.b > 0 )}
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
Khảo sát hàm số 
 y = x4 + 2x2 - 1 ( a = 1 ; b = 2 => a.b > 0 )
1. TXĐ : D =R
2. Sự biến thiên 
a. Giới hạn 
 ;
b. Bảng biến thiên
 Ta có y’ = 4x3 + 4x 
 y’ = 0 => x = 0 => y = -1 
x
 0 
y’
 - 0 +
y
 -1 
 c. Chiều biến thiên : 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0 ) 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 ; )
d. Cực trị :
 Hàm số có 1 điểm cực tiêủ là : ( 0 ; -1 ) 
3. Đồ thi
- Chọn điểm 
 Chọn : x = -1 => y = 2 ( nhánh trái )
 x = 1 => y = 2 ( nhánh phải ) 
- Nhận xét : Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . 
M
-Chú ý : phương trình : 4x3 + 4x = 0
4x(x2+1) = 0 x= 0 ( vì x2+1 >0 )
Ta có thể bấm máy tính ở dạng phương trình bậc 3 như sau :
 a = 4 ; b = 0 ; c = 4 ; d = 0 
Những nghiệm trên máy tính có : i hoặc 
R1 ta không lấy 
- Đồ thị có dạng là 1 Parabol có đỉnh là điểm ( 0 ; 1 ) 
Cách chọn điểm 
Bên trái
xđỉnh 
Bên phải
x = -1
x = 0
x = 1
y = 2
y = -1
y = 2
 Hướng dẫn vẽ : 
Hình dạng đồ thị 
+ Đối với đồ thị hàm số bậc 4 dạng trùng phương Giao điểm của đồ thị với Oy là 1 điểm cực trị của hàm số 
 Các bạn tự vẽ Đồ thị của hàm số này ( là 1 Parabol có hình dạng như trên )
Ví dụ 2: {phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm x = 0 ; x = ; x = }
 ( tức là a.b < 0 )
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
Khảo sát hàm số 
 y = - x4 + 2x2 +1 (a = -1 ; b = 2 => a.b < 0 )
1. TXĐ : D =R
2. Sự biến thiên 
a. Giới hạn 
 ;
b. Bảng biến thiên
 Ta có y’ = - 4x3 + 4x 
 y’ = 0 
x
 -1 0 1 
y’
 + 0 - 0 + 0 - 
y
 2 2 
 1 
 c. Chiều biến thiên : 
H số ĐB trên các khoảng ( ; -1 ) và (0;1) 
H số NB trên các khoảng (-1;0) và ( 1 ; )
d. Cực trị :
 Hàm số có 1 điểm cực tiêủ là : ( 0 ; -1 ) 
 Hàm số có 2 điểm cực đại là ( -1;2) và (1;2)
3. Đồ thi
- Chọn điểm 
 Chọn : x = -2 => y = -7 ( nhánh trái )
 x = 2 => y = -7 ( nhánh phải ) 
- Nhận xét : Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . 
M
-Chú ý : phương trình : 4x3 + 4x = 0
4x(x2+1) = 0 x= 0 ( vì x2+1 >0 )
Ta có thể bấm máy tính ở dạng phương trình bậc 3 như sau :
 a = 4 ; b = 0 ; c = 4 ; d = 0 
Những nghiệm trên máy tính có : i hoặc 
R1 ta không lấy 
- Đồ thị có dạng là 1 Parabol có đỉnh là điểm ( 0 ; 1 ) 
Cách chọn điểm 
Ta nên chọn 2 điểm đối nhau thuộc 2 nhánh ngoài kế cận 2 điểm cực trị là 
 x= -2 và x = 2 ( Khi thay 2 giá trị này vào sẽ cho cùng 1 tung độ y vì hàm số đã cho là hàm chẵn )
 Hướng dẫn vẽ : 
Hình dạng đồ thị 
+ Đối với đồ thị hàm số bậc 4 dạng trùng phương Giao điểm của đồ thị với Oy là 1 điểm cực trị của hàm số . 
Bài Tập : Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a. y = -x4-x2-1 ; b. y = x4-2x2-3 ; c. y = x2(4 - x2)
6.Hàm số hữu tỉ dạng : 
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
TXĐ : D = R \ {}
Sự biến thiên 
Giới hạn ( Đối với dạng hàm số này ta phải tính 4 giới hạn )
 => Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là : 
( Giới hạn này có thể dần đến hoặc Tùy thuộc vào bài toán . Ta kô cần tính chỉ cần nhớ là được . Vấn đề là hoặc sẽ là của giá trị nào thì sau khi vẽ Bảng biến thiên ta điền vào sau . )
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là : y = 
Bảng biến thiên 
 Ta có ( Khi tính đạo hàm ta chỉ cần liệt kê các hệ số 
 a ; b ; c ; d từ hàm số rồi tính ad – bc từ đó điền kết quả của y’ vào bài toán là được )
+ Nếu ad – bc > 0 => y’ > 0 
Bảng biến thiên như sau 
x
y’
 + +
 y
 Nhìn vào Bảng Biến thiên ta có thể điền được : 
+ Nếu ad – bc y’ < 0 ( Lập BBT tương tự như trên )
Chú ý : Đối với hà ... iệm cân ngang là : y = 2
b.Bảng biến thiên
 Ta có y’ = 
x
 -1 
y’
 + +
y
 2
2 
c.Chiều biến thiên 
Hsố ĐB trên các khoảng ( ; -1) và (-1; )
d.Cực trị : Hàm số không có cực trị
3.Đồ thị 
- Giao với Ox : y = 0 => x = 
 Oy : x = 0 => y = -1
Chọn : x = -2 => y = 5 ; x = -3 => y = 
2 điểm thuộc nhánh trái 
( ứng với x < - 1 ) là 
(- 2; 5) ( -3 ; 7/2)
M
 Liệt kê : a = 2 ; b = -1 
 c = 1 ; d = 1
=> ad – bc = 3 
 ; J
( Hai giá trị này chưa ghi . Tiệm cận đứng vẫn ghi bình thường ) 
Sau khi vẽ xong Bảng biến thiên thì điền 2 giá trị hoặc vào J
Cách chọn điểm :
-Tìm giao với Ox ( cho y = 0 => x = ? )
-Tìm giao với Oy ( cho x = 0 => y = ? )
Xét xem hoành độ x của 2 điểm này lớn hơn -1 hay nhỏ hơn -1 ) => 2 điểm này thuộc nhánh nào .
Chọn thêm 2 điểm thuộc nhánh còn lại 
Chú ý cách chọn điểm ở bài bên 
Cách vẽ đồ thị: 
B1 :Vẽ 2 đường tiệm cận : Đứng ; Ngang
B2 : Biểu thị các điểm đã chọn lên hệ trục Oxy 
Chú ý : Đồ thị không bao giờ cắt các đường tiệm cận 
2 điểm nhánh phải ( x >-1)
( 0;-1) ; (1/2;0)
 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận : điểm (-1 ; 2) làm tâm đối xứng
Ví dụ 1: ( Dạng y’ < 0 có nghĩa ad – bc < 0 )
Các bước khảo sát thông qua các ví dụ
Hướng dẫn
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 
1.TXĐ : D = R \ {0}
2. Sự biến thiên 
a. Giới hạn và tiệm cận 
 => Đường tiệm cận đứng là : x = 0 ( trục Oy )
Đường tiệm cân ngang là : y = -1
b.Bảng biến thiên
 Ta có y’ = 
x
 0 
y’
 - -
y
 -1 
 -1
c.Chiều biến thiên 
Hsố NB trên các khoảng ( ; 0) và (0; )
d.Cực trị : Hàm số không có cực trị
3.Đồ thị 
- Giao với Ox : y = 0 => x = 2
- Chọn : x = 1 = > y = 1 
 x = -1 => y = -3 ; x = -2 => y = -2
 - Đồ thị nhận điểm (0;-1) làm tâm đối xứng 
M Liệt kê : a = -1 ; b = 2 
 c = 1 ; d = 0
=> ad – bc = -1 
 ; J
( Hai giá trị này chưa ghi . Tiệm cận đứng vẫn ghi bình thường ) 
Sau khi vẽ xong Bảng biến thiên thì điền 2 giá trị hoặc vào J
Cách chọn điểm :
Trong bài này ta không tìm giao với Oy vì truc Oy chính là tiệm cân đứng của đồ thị .
Tìm giao với Ox : cho y = 0 => x = 2
 ( Hoành độ = 2 > 0 nên điểm này thuộc nhánh phải . Vì vậy ta cần chọn thêm 1 điểm thuộc nhánh phải và 2 điểm thuộc nhánh trái nữa . 
( Nhánh phải là điểm có x > 0) 
Cách vẽ đồ thị: 
B1 :Vẽ 2 đường tiệm cận : Đứng ; Ngang
B2 : Biểu thị các điểm đã chọn lên hệ trục Oxy 
Chú ý : Đồ thị không bao giờ cắt các đường tiệm cận 
Biểu thị điểm và vẽ các đường tiệm cận 
 Chỉ cần vẽ tiệm cận ngang y = -1 Đồ thị 
Bài Tập : Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau 
a. b. c. d. e. 
7. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số 
Bài toán 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm . 
 Cho hàm số y =f(x) có đồ thị ( C ) .
 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M0(x0 ;y0) có dạng :
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
 Œ
 Ba yếu tố quan trọng của phương trình là :
x0
y0
y’(x0) Hay f’(x0)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M0(x0 ;y0) thuộc đồ thị ( C ). 
Giải : 
Bước 1 : Tính f’(x0) hoặc y’(x0)
Bước 2 : Thay các giá trị vào phương trình tiếp tuyến dạng Œ
Ví dụ : Cho hàm số y = x3-3x2-1 ( C ) 
a. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm A(1; -3)
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng -1
Giải :
Nội dung
Hướng dẫn
 Ta có y’ = 3x2- 6x
a. y’(1) = -3 . Phương trình tiếp tuyến tại A của đồ thị có dạng : 
 y + 3 = -3(x -1 ) => y = -3x 
b. x0 = -1 => y0 = -5 
=> y’(-1) = 9 . 
Phương trình tiếp tuyến có dạng :
 y + 5 = 9(x+1) => y = 9x + 4
c. Ta có y0 = -1 => phương trình 
 x3-3x2-1 = -1 
+ Tại điểm x = 0; y = -1 => y’(0) = 0
PTTT có dạng : 
y + 1 = 0(x – 0) => y +1 = 0
+ Tại điểm x = 3 ; y = -1 => y’(3) = 9
PTTT có dạng : 
y + 1 = 9(x – 3) => y = 9x – 28
Vởy có 2 pttt với đồ thị thỏa mãn bài toán .
a.Đề bài đã cho 2 yếu tố vậy ta phải tìm yếu tố thứ 3 là y’(x0) . ( x0 = 1 ; y0 = -3 ) 
- Tìm y’(1) ta chỉ việc thay x = 1 vào Vế trái của y’ là được :
=> y’(1) = 3.12 – 6.1 = -3
b. Đề bài cho 1 yếu tố là : x0 = -1 . Ta cần tìm 2 yếu tố còn lại ( y0 và y’(x0) )
- Tìm y0 bằng cách thay x = -1 vào phương trình hàm số : y0 = (-1)3-3(-1)2- 1 = -5
- Tìm y’(-1) tính như trên 
c. Đề bài cho 1 yếu tố đó là y0 ta cần phải tìm 2 yếu tố còn lại là ( x0 và f(x0) )
 - Tìm x0 ta thay y0=-1 vào phương trình hàm số sau đó giải phương trình này ta sẽ tìm được các giá trị x0 ( nếu pt vô nghiệm nghĩa là không có x0 => không có PTTT )
- Với mỗi x0 ta sẽ tìm được 1 giá trị y’(x0) => 1 phương trình tiếp tuyến 
- Có 2 giá trị x0 nên có 2 tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có tung độ bằng -1
Lưu ý : Các dạng hàm số khác ta cũng làm tương tự như vậy . 
Bài tập ví dụ :
1.Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 -7 
a.Viết pttt với đồ thị hàm số tại điểm B(0 ; -7) 
b. Viết pttt với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2
c. Viết pttt với đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng -9
2.Cho hàm số 
a.Viết pttt với đồ thị hàm số tại điểm B(-1 ; -3) 
b. Viết pttt với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0
c. Viết pttt với đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng y = 1
 Bài toán 2 : Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số , số nghiệm của phương trình .
I.Củng cố : 
Nhắc lại về bất phương trình bậc nhất :
Dạng : ax + b > 0 hoặc ax + b < 0 ()
Cách giải 
Bất phương trình ax + b > 0 ( với a > 0 )
Bất phương trình ax + b > 0 ( với a < 0 )
 ax + b > 0 
( a là số dương nên khi nhân hoặc chia cả 2 vế với a thì Bpt vẫn giữ nguyên chiều )
ax + b > 0 
- ở bước 2 để tìm x ta chia cả 2 vế cho 
a ( nhưng do a < 0 nên Bpt đổi chiều )
Ví dụ
Hướng dẫn
a. 2x – 3 > 0 2x > 3 x > (a =2 >0)
b. m – 1 0 )
c. -1 < 2m + 1 < 3 -2 < 2m < 2 
 -1 < m < 1
d. -3m + 6 2
Bất phương trình kép :
e. 3 < -2m + 1 < 5 2 < -2m < 4 
 -1 > m > -2 ( -2 < m < -1 )
- Chia cả 2 vế cho 2
- Xem m là ẩn số 
- Chuyển 1 đồng thời sang 2 vế ta được :
2 < 2m < 2 ( tiếp đến ta chia cả 2 vế cho 2 )
- Từ bước 2 : -3m < -6 
 Ta chia cả 2 vế cho -3 => BPT đổi chiều 
- Chuyển 1 đồng thời sang 2 vế ta được 
 2 < -2m < 4 ( Chia cả 2 vế cho -2 nên BPT đổi chiều ) 
II. Bài toán : Cho hàm số y = f(x) đồ thị C
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
b.Dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :
 f(x,m) = 0 
Giải : Câu b
Bước 1 : Đưa phương trình về dạng : f(x) = f(m) 
Bước 2 : Số nghiệm của phương trình  bằng số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng 
 d : y = f(m) song song hoặc trùng với trục Ox
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận như sau : ( kết quả biện luận )
Ví dụ : 
Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cảu hàm số 
b.Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
 x3 – 3x + 1 = m Œ
c. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 - x3+3x + m = 0 
d. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 x3 – 3x +2m – 2 = 0 Ž
e. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
 
g. Tìm m để phương trình : x3 – 3x + 2m – 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
h. Tìm m để phương trình : x3 – 3x + 2m – 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương .
Giải a.Tự giải : 
b. Hướng dẫn : Tìm cách đưa pt về dạng f(x) = f(m)
Chú ý : Đường thẳng y = f(m) song song với Ox . Nó dùng Oy làm thanh trượt 
Dựa vào đồ thị ta thấy : 
+ Nếu f(m) > yCĐ => phương trình có 1 nghiệm ; + f(m) = yCT => Pt có 2 nghiệm 
+ Nếu f(m) phương trình có 1 nghiệm ; + f(m) = yCĐ => Pt có 2 nghiệm
+ Nếu yCT Phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
Nội dung
Hướng dẫn
b.Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d : y = m 
( song song với Ox )
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận như sau :
+ m > 3 => pt có 1 nghiệm 
+ m = 3 => pt có 2 nghiệm ( 1 kép , 1 đơn )
+ -1 pt có 3 nghiệm phân biệt
+ m = -1 => pt có 2 nghiệm (1 kép , 1 đơn )
+ m pt có 1 nghiệm 
c.Ta chuyển pt (2) về dạng :
 x3-3x + 1 = m +1 
Số nghiệm .... và đường thẳng d : y = m + 1
Dựa ....... 
m+1>3m>2 : pt có 1 nghiệm
m+1=3m=2 : pt có 2 nghiệm 
-1<m+1<3-2<m<2 : pt có 3 nghiệm Pb
m+1=-1m=-2 : pt có 2 nghiệm
m+1<-1m<-2 : pt có 1 nghiệm
d.Ta chuyển pt (3) về dạng :
 x3-3x + 1 = -2m + 3
Số nghiệm .....và đường thẳng d : y = -2m+3
Dựa .....
-2m+3 > 3m < 0 : pt có 1 nghiệm
-2m+3 = 3m = 0 : pt có 2 nghiệm
-1<-2m+3< 30 < m < 2 : pt có 3 nghiệm
-2m +3 = -1m = 2 : pt có 2 nghiệm 
-2m +3 2 : pt có 1 nghiệm
e. Ta chuyển pt (4) về dạng :
 x3 – 3x +1 = 3m – 2
( Giải tương tự )
g. Ta chuyển pt về dạng : 
 x3 – 3x +1 = -2m +2 (5)
Số nghiệm ..... và đường thẳng d : y =-2m+2
Dựa vào đồ thị để pt có 3 nghiệm phân biệt ta phải có :
-1 < -2m+2< 3 
-3< -2m<1
Câu này đề bài đã cho ở dạng f(x) = f(m) rồi nên ta không cần chuyển nữa 
- Chú ý : yCĐ = 3 ; yCT = -1 
c. Cách chuyển : -x3+3x +m = 0
B1: Nhân cả 2 vế với -1 ta được 
 x3 – 3x – m = 0
B2 : chuyển m từ vế trái sang vế phải ta đc 
 x3 – 3x = m 
B3: Cộng cả 2 vế với 1 ta được 
 x3 – 3x + 1 = m +1 
( Hoàn thành việc chuyển )
d. Cách chuyển : x3 – 3x + 2m – 2 = 0
B1: Chuyển 2m – 2 sang Vế phải ta được :
 x3 – 3x = -2m + 2
B2: Cộng cả 2 vế với 1 ta được :
 x3 – 3x + 1 = -2m +3
( Hoàn thành việc chuyển )
e. Cách chuyển : 
B1: Nhân cả 2 vế với -3 ta được :
 x3 – 3x – 3m +3 = 0
B2: Chuyển -3m +3 sang vế Phải ta được :
 x3 – 3x = 3m – 3
B3: Cộng cả 2 vế với 1 ta được :
 x3 – 3x +1 = 3m – 2
g. Là 1 trường hợp của biện luận 
h. Ta thấy Nếu y ( 1 ; 3) thì đồ thị có 2 nhánh âm và 1 nhánh dương . Do đó để pt (5) có 3 nghiệm trong đó có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương thì ta phải có :
 1<-2m+2<3
-1<-2m<1
8. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Bài toán : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D ; [a;b] thuộc D 
 Tìm Min và Max của hàm số trên [a;b]
Các bước giải bài toán :
Bước 1 : Tìm TXĐ
Bước 2 : Tính y’ 
 giải pt y’ = 0 tìm các nghiệm x0 thuộc [a;b ] (nếu pt : y’ = 0 có nghiệm)
Bước 3 : Tính các giá trị 
 f(a) ; f(b) ; các giá trị f(x0) nếu có
Bước 4 : So sánh kết quả => Min ; Max
Ví dụ :
1. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số 
 y = x3-3x2+2 trên [1;3]
Giải : 
+ TXĐ : D = R
+ y’ = 3x2-6x ; y’ = 0 
+ Ta có : y(1) = 0 ; y(2) = -2 ; y(3) = 2
+ Vậy 
2.Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
 y= -x4-2x2+1 trên [1;2]
+TXĐ : D = R
+ y’ = - 4x3- 4x ; y’ = 0 
+ Ta có : y(1) = -2 ; y(2) = -23
+ Vậy : 
3.Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
 trên [0;2]
+ TXĐ : D = R \ {-1} => 
+ y’ = với mọi x thuộc D => hàm số ĐB trên [0;2]
+ Ta có : y(0) = -1 ; y(2) = 
+ Vậy : 
Bài Tập : Tìm Min ; Max của các hàm số sau trên [-2 ; 2]
a. y = x3-x2+x-1 b. y = -x3+3x – 4 c. y = 
Ghi Chú : Trong quá trình biên soạn có nhiều lỗi mong các bạn thông cảm!
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao nhất trong 2 kì thi sắp tới !